课堂导学(1.1.3导数的几何意义

1、课堂导学三点剖析一、求切线方程1 7【例1】 求曲线y - . x上一点P (4,)处的切线方程x4解析：要求过点P(4, 一 7 )的切线方程，只需求出切线的斜率，由导数的几何意义知,4其斜率为f 为此需求出曲线在点 P (4,-)处的导数.412 x f (4)=,165所求切线的斜率为16所求切线方程为 5x+16y+8=0.温馨提示f(x)对x的导数即为在该点处的切线的斜率，应明确导数的几何意义 二、求切点坐标【例2】 在曲线y=x2上过点P的切线，(1) 平行于直线 y=4x-5 ;(2) 与x轴成135的倾斜角分别求点 P的坐标.思路分析：设切点坐标为(X,yo).根据导数的几何意

2、义，求出切线的斜率，然后利用直线 平行、垂直的条件，求出切点坐标f(x X)- f(X)zx设P (x0, y0 )是满足条件的点.(1)因为切线与直线y=4x-5平行，所以2X0=4, xo=2,yo=4，即 P (2, 4)(2)因为切线与x轴成135的倾斜角，所以其斜率为-1加1111、即 2xo=-1，得 xo=,yo=，即 P (,)2 424温馨提示注意利用解析几何中有关两直线平行垂直的条件三、综合应用1【例3】 已知点M (0, -1), F (0, 1),过点M的直线I与曲线y= x3-4x+4在x=2处的3切线平行(1)求直线I的方程；(2)求以点F为焦点，I为准线的抛物线C

3、的方程思路分析：(1)依题意，要求直线I的方程，只需求其斜率即可，而直线I与曲线在x=2处的切线平行，只要求出 f (2)可(2)设出抛物线方程，利用条件求出p即可（2 + ax）3 4（2 +也x） + 4 （汉23 4x2 + 4）解:(1)因为(2)= Iim33=0，所以直线I的斜率为0，其直线方程为y=-1.因为抛物线以点F (0, 1 )为焦点，y=-1为准线，设抛物线方程为x2=2py，则卫=1,p=2.2故抛物线C的方程为x2=4y.温馨提示本题以导数为工具，主要考查了直线方程，抛物线的焦点、准线等基础知识 各个击破类题演练1已知曲线C: y=x3-3x2+2x ,直线l:y=

4、kx,且直线I与曲线C相切于点(xo,yo)(xm 0).求直线I的方程及切点坐标 解：直线I过原点，则k=K（xoz 0）.Xo由点（X,y0）在曲线 C 上的 y=X30-3x20+2X0,y0 2=x 0-3X0+2,X0 y =3X-6x+2,2-k=3x 0-6X0+2.,y 02y 02又 k= - ,. 3x 0-6x0+2=- =x 0-3X0+2,X0X0整理得 2x20-3x0=0,0；.X0=3,此时231y0=,k=-,841因此直线I的方程为y=-丄x,43 3切点坐标为(一，)28变式提示1119已知曲线y=x2+_+5上的一点P ( 2, 一 ),求P处的切线方程

5、x2解:因为k=f咽f （2：x） - f （2）第4页19 15y-=（x-2）,24解：f xf（x ：x） - f （x）zx=lim（x 二x）2 _ x2zx=2x所以在P点处的切线方程为即 15x-4y+8=0.类题演练22x-6y+5=0，求点 P的坐标.在曲线y=x2上过P点的切线垂直于直线 解： 切线与直线y=4x+3平行，斜率为4又切线在X。点的斜率为32y x0=(x +x-10) x=3x 0+1,2 3x o+1= 4,xo= 1,切点为(1 , -8)或(-1, -12)切线方程为y=4x-12或y=4x-8.变式提升2如果曲线y=x3+x-10的某一切线与直线 y

6、=4x+3平行，求切点坐标与切线方程2x-6y+5=0 垂直,设P(X0,yo)是满足条件的点，因为切线与直线1所以 2X0 =-1,3得 x=-9,yo=,439即，9）.类题演练31 2已知函数f(x)=lnx,g(x)= x +a(a为常数)，直线I与函数f(x )、g(x)的图象都相切，且I2与函数f(x)图象的切点的横坐标为 1,求直线I的方程及a的值 解：设直线I与两曲线的切点的坐标分别为A (a,a2)，B (b,-(b-2)2).因为两曲线对应函数的导函数分别为yj =2x2y =(x-2).所以在A、B两点处直线的斜率分别为y1 x=a=2a,y2x=b=-2(b-2).由题意a2(b-2)2a b=2a=-2b+4,”a =2b,即22a -b 2ab+4b=4解得;a = 2或?=0,b =0 b = 2.所以A ( 2, 4)或(0, 0),切线的斜率k=4或0,从而切线方程为 y=4x-4或y=0.变式提升3已知曲线Ci : y=x2与C2： y=-(x-2) 2,若直线I与Ci、C2都相切，求直线I的方程解：由f (1=1，知直线I的斜率为1,切点为(1,f(1),即(1, 0)所以I的