高等数学(C)2应试指南(第8-12章)

1、第八章 空间解析几何与向量代数知识要点：(本章约占15分)1、 空间直角坐标系: 为了定位空间中的点,在空间中选定一点作为参照物,此即为坐标原点,过作两两垂直的三个数轴,并沿右手螺旋法则依次定义为轴轴和轴.则三个坐标平面把整个空间分割为八个卦限.2、 （向量沿给定方向分解重要依据）平行于非零向量的向量,必有: 由此定理，在空间直角坐标系建立以后，空间中任意一点都唯一对应一个空间向量，将向量沿三个坐标轴方向可以分解为三个向量之和：由此可以建立点向量点的坐标之间三位一体的关系，由此我们可以将向量的运算转化为坐标之间的运算，此即为空间“解析”几何，即用代数的方法来研究空间几何学3、 如何确定点所在的

2、卦限？这里称为点的横坐标，为纵坐标，为竖坐标。当竖坐标大于零时，点所在的卦限数等于横纵坐标所在的象限数，当竖坐标小于零时，点所在的卦限数等于横纵坐标所在的象限数加四4、 向量线性运算的坐标化：设，则：，与同向的单位向量为：点和点的两点间距离公式：5、 向量与三个坐标轴正向之间的夹角称之为方向角，方向角的余弦称为方向余弦：，事实上：6、 向量在向量上的投影为：，这里为两向量之间的夹角7、 两向量之间的内积定义为：，这里为两向量之间的夹角又由，故有此可得两向量之间夹角公式：8、 两向量之间的向量积定义为：为既垂直于又垂直于的向量，且构成右手螺旋法则，且：这里为两向量之间的夹角，这里常用来计算三角形

3、或平行四边形的面积，注意即外积不满足交换律。两相互垂直的向量做内积为实数0，两相互平行的向量做向量积为零向量9、 空间曲面的表示形式：空间曲线的表示形式：（1） 曲面交线的形式：（2） 参数方程形式：10、 旋转曲面:曲线绕直线(一般为坐标轴)旋转得到的曲面平面内曲线绕轴旋转一周所得旋转曲面为:平面内曲线绕轴旋转一周所得旋转曲面为:柱面:直线(一般为平行于坐标轴的直线)沿曲线平移得到的曲面在曲面方程中如果有缺失变量,则必为柱面.如方程中不含变量，其为以平面上圆为准线，以平行于轴的直线为母线的圆柱面11、 空间曲线在平面上的投影：在曲线的方程组表示形式中消去变量，得到一个柱面方程：；称此柱面方程

4、为曲线在平面上的投影柱面，此柱面的准线称为曲线在平面上的投影曲线，也可简称为投影（此知识点在计算三重积分的时候常用于确定柱体在平面上的投影区域，事实上投影曲线所围区域即为）12、 空间中平面的表示形式：（1） 点法式方程：过点且与向量垂直的平面为:（2） 一般式方程:（3） 截距式方程,分别为平面在轴上的截距13、 点到平面的距离公式:14、 空间直线的表示方法:(1) 平面交线:(2) 点向式方程:过点且与向量平行的直线: (3) 参数方程形式: 15、 两平面和之间的夹角为: 两直线和之间的夹角为:直线与平面之间的夹角为: 16、 过直线的平面束定义为过交线的所有平面,此平面束可以表示为:

5、,注意这里缺少一个平面即:(注:若直线方程为,注意其等价于方程组表示形式)第九章 多元函数微分法及其应用知识要点：（本章约占35分）1、 的函数图像为一个空间点集,其相当于将内平面区域在点处沿轴方向平移个单位,由于在内各点处平移幅度不同,故为空间中一曲面2、若动点沿内任意路径趋近于时，对应函数值 总是无限趋近于同一个实数,则称在点处极限为，记为： 多元初等函数在其定义区域内连续的性质以及几个常用的等价无穷小替换在计算多元函数极限的时候很有用3、有界闭区域上的多元连续函数必有界，且能取到最大值和最小值以及介于最大值和最小值之间的任意实数4、在处的一阶偏导数有两个： （注：在实际计算偏导数的时候，

6、只需暂时把除之外的所有其他变量均视为常数，而只对变量求导；计算的时候，只需暂时把除之外的所有其他变量均视为常数，而只对变量求导）的二阶偏导数为一阶偏导数的偏导数，共有四个：；当两个混合二阶偏导数在连续时，二者相等5、 在处的全微分为函数全增量的近似值函数可微则必连续且偏导和均存在；和均连续则必可微。由偏导和存在无法得到函数连续，更未必可微；由函数连续，无法得到偏导和存在，更未必可微。6、 掌握利用复合结构图来计算多元复合函数一二阶偏导的方法（层间用乘，分叉用加，单路求导，多路偏导）7、 三种情况下的隐函数求导法则求一阶偏导：（1）对，我们有：若，则此方程确定隐函数且有：（2）对，我们有：若，则

7、此方程确定隐函数且有：（3）对，我们有： 若，则此方程组确定一组隐函数且有：； ；（注意规律：条件中对谁求偏导非零谁做因变量，几个方程几个因变量）8、已知曲线上一点，求过该点的切线和法平面方程： （1）若曲线为参数方程形式： 已知切点对应参数 则在该点切向量为，故切线为：，法平面为： （2）若曲线为曲面交线形式： 已知切点 则此方程组当时确定隐函数等价于参数方程形式，从而在切点处切向量为，而由：故切向量为，实际上其常数倍也是其切向量，任取其一可得切线为：法平面为：9、已知曲面及曲面上一点求过该点切平面及法线：先求出在该点处的法向量，故切平面为：法线为：10、（判定驻点是否为极值点）若为的驻点，

8、设:,则：（1）当时驻点为极值点，时为极大值点，时为极小值点（2）当时不是极值点（3）当时有可能是也有可能不是，要结合函数本身的性质11、（拉格朗日乘数法求条件极值）求在约束条件下的极值，先作拉格朗日函数，然后解方程组：求出的解即为可能的极值点，然后再加以判别12、多元函数在极值点处若一阶偏导存在则必为驻点（一阶偏导均为0的点），故极值点要么为驻点要么为偏导数不存在的点；多元函数最值点若为内点则必为极值点，若不是内点必为边界点，从而是满足边界约束条件下的条件极值点。综上所述，求多元函数极值，首先要找出定义域内的所有不可导点和驻点，然后依次判定不可导点和驻点是否为极值点。求多元函数在约束条件下的

9、极值点，我们可以利用拉格朗日乘数法求出约束条件下可能的极值点，然后再加以判别是否为极值点。求多元函数的最值，先找出多元函数所有的驻点和不可导点以及在区域边界约束条件下的条件极值点，然后在这些点处计算函数值，函数值最大者为最大值，函数值最小者为最小值。第十十一章 重积分、曲线积分与曲面积分知识要点：（两章共约占35分）1、表示的是以的函数图象为上底以为下底的曲顶柱体的体积；若将体积理解为正值时，其表示此曲顶柱体在平面上方部分的体积减去平面下方部分的体积。 二重积分关于积分区域具有可加性，且2、计算二重积分时注意： （1）直角坐标系下：若为型区域（夹在两竖直线和两横曲线之间）：，则：（2）直角坐标

10、系下：若为型区域（夹在两横直线和两竖曲线之间）：，则：（3）极坐标系下：若夹在两射线和内外两层曲线之间：，则：3、三重积分表示的是以为体密度函数的立体的质量。 三重积分关于积分区域也具有可加性，且4、计算三重积分时注意： （1）空间直角坐标系下：若为柱体（上下底面为曲面侧面为柱面）其中的上底面为，下底面为，在平面内投影为，则：为型区域时：为型区域时：（2）空间直角坐标系下，若夹在两平面和之间，用平面截所得截面的面积容易计算，设为，且被积函数仅为关于变量的函数，则：（3）柱坐标系下（轴不变，平面内的平面直角坐标系换成极坐标系），若为柱体，其中上底面为，下底面为，在平面内投影为，夹在两射线和内外两

11、层曲线之间：，则：5、对弧长的曲线积分表示的是以为线密度的曲线的质量。此曲线积分关于积分区域具有可加性。若的参数方程形式为：，则：6、对坐标的曲线积分（这里为有向曲线）表示的是当质点沿曲线从始点移动到终点的过程中，变力所做的总功。此曲线积分对积分区域也有可加性。若的参数方程形式为：，有向曲线的始点对应的，终点对应，则：7、设闭曲线为区域的边界，称沿的正向指的是沿方向行走时，始终在左手一侧。 格林公式：设为的正向边界曲线，且和在内一阶偏导连续，则：8、设和在单连通区域内具有一阶连续偏导数，则：曲线积分在内与路径无关此曲线积分在沿任意闭曲线的曲线积分为0在内恒成立 当曲线积分和路径无关时，某些曲线

12、积分采用折线或直线路径来计算曲线积分会更为便捷9、对面积的曲面积分表示的是以为面密度的曲面的质量，此曲面积分对于积分区域也具有可加性。 若曲面为的函数图象，且在平面内的投影为，则：10、对于，；若被积函数是关于其中某个自变量的奇函数，不失一般性设为且积分区域沿对折后完全重合，则此积分值为0第十二章 无穷级数知识要点：（本章约占15分）1、等比级数当且仅当时收敛，且 收敛2、比较审敛法：设和都是正项级数，且，若收敛则也收敛；若发散，则也发散3、比值审敛法：设为正项级数，如果；则当时级数收敛，时（或）级数发散；时级数可能收敛也可能发散4、莱布尼兹定理：如果交错级数满足条件：（1）（2）则级数收敛，且其和5、绝对收敛收敛6、的收敛域为，和函数 更一般地：如果幂级数不是仅在