专题一(二阶常微分方程解法)(最新整理)

1、二阶微分方程：d 2 y +dx2p(x) dydx+ q(x) y = f (x)，f (x) 0时为齐次f (x) 0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法： (*) y + py + qy = 0，其中p, q为常数； 求解步骤：1、写出特征方程：(d)r 2 + pr + q = 0，其中r 2，r的系数及常数项恰好是(*)式中y , y, y的系数2、求出(d)式的两个根r1, r23、根据r1 , r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解r1，r2的形式(*)式的通解两个不相等实根( p 2 - 4q 0)y = c er1x + c er2 x12两个相等实根( p 2 -

2、 4q = 0)y = (c + c x)er1x12一对共轭复根( p 2 - 4q 0)r1 =a+ ib，r2 =a- ib p4q - p 2a= -，b=22y = eax (c cosbx + c sin bx)12二阶常系数非齐次线性微分方程y + py + qy = f (x)，p, q为常数mf (x) = elx p (x)型，l为常数；f (x) = elxp (x) coswx + p (x)sinwx型ln二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是y + py + qy =其中 p , q 是常数。f ( x)（1）方程（1）的通解为对应的齐次方程y + py + qy

3、 = 0的通解 y 和方程（1）的一个特解 y * 之和。即（2）y = y + y *.我们已解决了求二阶常系数齐次线性方程通解的问题，所以，我们只需讨论求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解 y *的方法。下面我们只介绍当方程（1）中的 f (x) 为如下两种常见形式时求其特解 y * 的方法。一、 f ( x) = elx pm ( x) 型由于方程（1）右端函数 f ( x) 是指数函数elx 与m次多项式 pm ( x) 的乘积，而指数函数与多项式的乘积的导数仍是这类函数，因此，我们推测：方程（1）的特解应为 y* = elxq( x)( q( x) 是某个次数待定的多项式 )y* =

4、 lelxq( x) + elxq( x)y* = elx l2q( x) + 2lq( x) + q( x) 代入方程（1），得elx q( x) + (2l+ p)q( x) + (l2 + lp + q)q( x) elx pm ( x)消去elx ，得q( x) + (2l+讨论p)q( x) + (l2 + lp + q)q( x) pm ( x)（3）210 、如果l不是特征方程r+l2 + lp + q 0pr + q = 0 的根。即由于 pm ( x) 是一个m次的多项式，欲使（3）的两端恒等，那未q( x) 必为一个m次多项式，设为qm ( x) = b0 xm + b1x

5、m-1 +l+ bm-1x + bm将之代入（3），比较恒等式两端 x 的同次幂的系数，就得到以b0 ,b1 ,l,bm-1 ,bm 为未知数的m + 1个线性方程的联立方程组，解此方程组可得到这m + 1个待定的系数，并得到特解y* = elxqm ( x)220 、如果l是特征方程r+pr + q = 0 的单根。即l2 + lp + q = 0 ，但 2l+ p 0欲使（3）式的两端恒等，那么q( x) 必是一个m次多项式。因此，可令 q( x) = x qm ( x)并且用同样的方法来确定q(x) 的系数b0 ,b1 ,l,bm-1 ,bm 。30 、如果l是特征方程r 2 +pr +

6、 q = 0 的二重根。即 l2 + lp + q = 0 ，且 2l+ p = 0。欲使（3）式的两端恒等，那么q( x) 必是一个m次多项式因此， 可令 q( x) = x2 qm ( x)并且用同样的方法来确定q(x) 的系数b0 ,b1 ,l,bm-1 ,bm 。综上所述，我们有结论如果 f ( x) = elx pm ( x) ，则方程（1）的特解形式为y* = xk qm ( x)elx其中qm ( x) 是与 pm ( x) 同次的多项式， k 的取值应满足条件0l不是特征方程的根k =12l 是特征方程的单根l 是特征方程的二重根例 1 求y - 5y + 6y = xe2x的

7、通解。解 特征方程为特征根为齐次方程的通解为r 2 - 5r + 6 = 0r1 = 2, r2 = 312y = c e2x + c e3x因为l= 2 是特征单根，所以，设非齐次方程的特解为y* = x(b0 x + b1)e2 x则y * = 2b0 x2 + (2b0 + 2b1) x + b1e2 xy * = 4b0 x2 + (8b0 + 4b1) x + 2b0 + 4b1e2 x将上述三式代入原方程，得(-2b0 x + 2b0 - b1)e2 x比较恒等式两端的系数，得 xe2 x ，-2b0 = 12b0 - b1 = 0b = - 1解得 02， b1 = -1y* =

8、 -x( 1因此2x + 1)e2x所以方程的通解为y = c1e2x + c2e3x - x( 1 x + 1)e2x2二、 f ( x) = elx pl ( x) coswx + pn ( x) sinwx 型由于方程（1）右端函数为elx pl (x) coswx + pn (x) sinwx，这种形式得到非齐次方 程的特解 y * 的过程稍微复杂些，所以我们这里就只给出结论mmy* = xkelx r(1) ( x) coswx + r(2) ( x) sinwx其中，r(1) ( x)、r(2) ( x)是两个m次多项式，m = maxl, n，mm 1k = 0且若l+ iw不是

9、特征方程的根若l+ iw是特征方程的根例 2 求方程y + y = x cos2x的通解。解 特征方程 r 2 + 1 = 0特 征 根 齐次方程的通解为r1,2 = iy = c1 cos x + c2 sin x这里l= 0,w= 2, m = 1 ，由于l+ iw= 2i 不是特征方程的根，所以设方程的特解为y* = (ax + b) cos2x + (cx + d ) sin 2x代入原方程，得(-3ax - 3b + 4c) cos 2x - (3cx + 3d + 4a) sin 2x = x cos 2x比较两端同类项的系数，得- 3a = 1- 3b + 4c = 0- 3c

10、= 0- 3d - 4a = 0a = - 1 , b = 0, c = 0, d = 4解得39y* = - 1 x cos2x + 4 sin 2x于是39所以非齐次方程的通解为y = c1 cos x + c2 sin x - 1 x cos2x + 4 sin 2x39“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal

11、 theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innova