两圆方程相减的几何意义(最新整理)

1、方程 x 2 + y 2 + d x + e y + f = 0 与x 2 + y2 + d x + e y + f = 0111222相减后所得的直线方程的几何意义在平常的学习中知道，如果把两相交圆 o1 x2 + y2 + d x + e y + f = 0 和 o2 ：1112x 2 + y2 + dx + e 2y + f2= 0 的 方 程 相 减 所 得 到 的 直 线l：(d1 - d2 )x + (e1 - e 2 )y + f1 - f2 = 0 表示两圆公共弦所在直线方程。但很多同学在用这个结论时没注意到前提条件必须是两圆相交。如果两圆不相交，两圆相减照样可以得到直线l，但

2、l 的几何意义就改变了。因而有必要就两圆的5 种位置关系进行讨论直线l 的几何意义。我就两圆的 5 种位置关系进行研究。一两圆相交设 p (x , y )、 p2 (x 2 , y2 )是两圆的交点， 则有 x 2 + y2 + d x+ e y+ f = 0 和111111 11 11x 2 + y2 + d x+ e y + f = 0 成 立 ， 即p (x , y )、p (x , y) 满 足 方 程221 21 21111222(x 2 + y2 + dx + e y + f ) - (x 2 + y2 + d x + e y + f ) = 0222111即(d1 - d2 )x

3、 + (e1 - e 2 )y + f1 - f2 = 0 。所以直线 l 表示两圆相交弦所在直线。二两圆相切（内切或外切）当把两相交的圆逐渐往两侧移动时，两交点逐渐靠近，最终重合为一点，此时两圆外切， 同时与两圆相交的直线 l 也就与两圆只有一个公共点，直线 l 成为两外切圆的过同一切点的公切线。因此，直线 l： (d1 - d2 )x + (e1 - e 2 )y + f1 - f2 = 0 表示两外切圆的过同一切点的公切线。当把两相交的圆逐渐往中间移动时，两交点逐渐靠近，最终重合为一点，此时两圆内切，同时，与两圆相交的直线 l 也就与两圆只有一个公共点，直线 l 成为两内切圆的过同一切点

4、的公切线。因此，直线 l： (d1 - d2 )x + (e1 - e 2 )y + f1 - f2= 0 表示两内1切圆的公切线。例如，圆o ： (x - a)2 + y 2= a 2 与圆o： (x - b)2 + y 2= b 2 相切2于原点，那么两圆相减得： x = 0 ，该直线与两圆相切于原点。下面就两圆外切情况加以证明。d 2 + e 2 - 4fd 2 + e 2 - 4f设圆o ，圆o的半径分别为 r , r，则 r 2 = 111 ， r 2 = 222 。121 21424由 两 圆 外 切 得 ：=r +r， 化 简 得 ： dd 2 1 - 2 + 1 - 2 ee2

5、 22 22 124r r= -d d-e e+ 2(f+ f )即：d1d2 + e1e 2= f + f- 2r r 又1 2121 21222121 2d2 + e 2 - 4fd2 + e 2 - 4fd2e 2r 2 = 111 ，r 2 = 222 ， 即 ：- 1 - 1 = -2r 2 - 2f ，14242211d2 + e 2 =+() ()2 22 222r 22f2。利用直线 ax+by+c=0 分线段a x1, y1b x 2, y2的比为l= - ax1 + by1 + c ，那么直线l 分o o 的比为ax 2 + by2 + c12(d - d )- d1 +

6、(e- e )- e1 + f - f12 2 12 2 12l= -(d - d )- d2 + (e - e )- e2 + f - f12d 2e 212 d de e2 2 12- 1 - 1 + 1 2 + 1 2 + f - f- 2r 2 - 2f+ f + f- 2r r+ f - f= -222212= -11121 212 d 2e 2d de e2r 2 + 2f - f - f+ 2r r + f - f 2 + 2 - 1 2 - 1 2 + f - f22121 212222212= r1 。又kr2o1o2 k l= -1 ，所以o1o2l（当直线o1o2 与直线

7、 l 的斜率不存在时也成立）；且 o1o2 = r1 + r2 ，所以点o1 到直线 l 的距离为 r1 ，点o2 到直线 l 的距离为 r2 。所以直线 l与两圆相切。 三两圆相离x 2 + y2 + dx + ey + f这里首先得了解式子的含义。因为圆的方程有两种表示，即0x 2 + y2 + dx + ey + f = (x - x )2 + (y - y)2 - r 2 = 0 。当点 p（x，y）在圆外时，式x 2 + y 2 + dx + ey + f子对直线方程(x 2 + y2 + d=表示点 p 到圆的切线长。因而，(x - x ) + (y - y ) - r22200x

8、 + e y + f ) - (x 2 + y2 + d x + e y + f ) = 0 可以变形为：222111x 2 + y2 + d x + e y + f222x 2 + y2 + d x + e y + f111=，即点 p 到两圆的切线长相等。因此，直线 l 的几何意义是：到两相离圆的切线长相等的点的集合。更进一步，如果两圆的半径相等，直线 l 就是两圆的对称轴。四两圆内含同“三”易知，直线 l 上的点到两圆的切线长相等。（注：以上两圆非同心圆） 五范例例：已知圆o1 与圆o2 ： x + y = 1 外切于点 o，且两圆的过点 o 的公切线为 y = x + b ，22已知圆

9、o1 的圆心落在直线上 x - y = 4 ，求圆o1 的方程。解 ： 易 得b = -2。 设 圆o1 ：x 2 + y2 - 1 + l(x - y -2 )= 0 ， 即 ：x 2 + y2 + lx - ly -2l- 1 = 0 ，圆心坐标- l l 落在直线 x - y = 4 ，解得l= -4 。 22,21所以圆o 的方程为x 2 + y2 - 4x + 4y + 4- 1 = 0 。最后，利用几何画版动画演示圆o1 ，圆o2 ，直线 l 的位置关系。“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said,

10、 people who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet