沪教版上海六年级下学期73角的定义和画法同步学案

1、沪教版（上海）初中数学2019-2020学年度六年级数学同步教学案 角的定义及画法 【学习目标】 1理解角的概念，并能用数学符号表示 2掌握角的大小的比较方法及角的和、差、倍的画法 3理解线段的角的平分线的概念，掌握它们的画法，会用尺规作已知角的平分线 4理解余角、补角的概念及相关的命题，并会进行相关的计算 5直观与实验操作相结合，初步运用几何作图的基本语句说理表达 【知识点梳理】 1角的定义： 定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边 定义2：角也可以看作是一条射线绕着其端点，从起始位置旋转到终止位置所组成的图形 【注意】角的定义1是直接根

2、据角的构成作出的静态定义，而定义2是以动态观点定义的，它强调角的形成过程 2角的表示方法： 角可用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表示，具体的有四种表示方法 OAOB?BA分别，其中用三个大写英文字母表示任一个角，如图所示，记作、为角的顶点，(1)? ”是角的符号“为角的两边上的点，O?在一个顶点处只有(2) 一个角的角，我们也可以用一个表示顶点的大写字母表示，如图所示? (3) 用小写希腊字母表示，记作，如图所示 1? ，如图所示用数学表示单独的一个角，记作(4) 【注意】表示角时应注意以下问题：(1)用三个大写字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧； (2)在一

3、个顶点处有两个及两个以上的角时，其中的任何一个角都不能用一个大写英文字母表示； (3)用小写希腊字母或数字不能表示超过一个以上的角. 3方位角定义及其应用： 定义：轮船、飞机等物体运动的方向与正北方向之间的夹角称为方位角，如图所示 【注意】(1)方位角的正方向与地图中一样，为上北下南，左西右东 处于四个直角平分线上的方向，也分别被称为东南、东北、西南、西北 (2) ?20，这里的“偏”字相当于对于其他方向要用到“偏”这个字，例如：北偏东 (3)?2020?所成，就是以正北方向的射线为始边，绕中心顺时针旋转旋转的意思，北偏东 的角的终边所在的方向一般在表示方向时，始边是正北或正南方向的射线 角的

4、大小比较方法：4 角的大小比较一般有两种方法： 通过比较度数的大小来确定角的大（量法与小学学习方法相同） (1)度量法：用量角器量出角的度数 小?4530?2?1? ，若用量角器测得，?45Q30?2?1? ，叠合法：如下图所示，把一个角放在另一个角上，使它们的顶点重合，并将其中一边也重合，并使(2) 这两个角的另一边都放在这条边的同侧，就可以明显看出两个角的大小OAOBOAECOEDE的同侧；边重合， 如下图所示，先让顶点并且使另一边与重合，再让、边与在 COD?OBOD?AOB 与重合，则表示这两个角相等，如图，记作如果AOD?AOB?AODAOB?ODAOB 小于 如图所示，如果，记作落

5、在的外部，则表示AOD?AOD?AOB?ODAOBAOB 落在如图所示，如果 的内部，则表示大于，记作 5画相等的角： 1度量法 ）（32）对线：将量角器的零度刻度线与角的一边重合； （1）对中：将量角器的中心点与角的顶点重合；（ 读数：看角的另一边落在量角器的什么刻度线上，从而读数 尺规法 2 角的和、差、倍的画法：6 度量法 1 的角差、倍的意义可以画出角度等于两个角和（或差）用量角器分别量出两个角的度数，根据角的和、 尺规作图法 2作两个角的差的要领是“二合同利用尺规可以作一个角等于已知角，作两角的和的要领是“二合异侧” 侧” 7角平分线的概念及画法（作法）把这个角分成两个相等的角，概念

6、：以一个角的顶点引出一条射线， 1 AOB?OC这时，的平分线，这条射线叫做这个角的平分线，如图所示是1?BOCAOB?AOC?AOB?2?AOC?A?BOC. 或22画法 ?画利用量角器画图：量 算(1)(2)利用直尺和圆规作图 8余角、补角的定义 (1)余角的定义：如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中的一个角叫做另一个角的余角 (2)补角的定义：如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角简称互补，其中的一个角叫做另一个角的补角 9余角、补角性质 (1)余角的性质：同角（或等角）的余角相等 补角的性质：同角（或等角）的补角相等(2) 余角、补角是指两个角关系的概

7、念，是相互的，我们不能单独说哪一个角是补角，哪一个角是【注意】(1) 余角，并且只和角的度数有关，和角的位置无关 余角、补角的性质是证明两角相等的常用方法 (2) 角的度量单位、角的换算及角的分类10 角的度量单位是：度、分、秒 (1)1?60?1?1度的 1 分，记作 ，即为1601?60?11 1分的 1秒，记作，即为60 【注意】(1)角度的度、分、秒是60进制，与时间的时、分、秒进制相同，角的度数换算有两种：一种是把度化成度、分、秒的形式；一种是把度、分、秒化成度的形式； 360?180?11? 等份，每一份就是平角，的角1周角 (2)1360的角是指将一个周角分成 (2)角的分类：

8、90?的角叫做锐角(1)小于 90?的角叫做直角等于 (2)90?180?的角叫做钝角(3)大于小于 【典型例题讲解】 【例1】如右图所示，图中有几个角？能用一个大写字母表示的有几个？ 【分析】一个顶点、两条边组成一个角，图中共有8个，顶点处只有一个角时用一个大写B,D?B,?D.字母表示，所以以用来表示角，即 【解析】有8个角，有两个角能用一个大写字母表示 【例2】画出表示下列方向的射线： 25?60?80? 方向南偏西(4)东南方向；(3)方向；北偏西(2)方向；南偏东(1) 【分析】正确理解方位角的概念，正确表示方位角 25?，所成角的终边即为所求的射线，如图所示(1)以正南方向的射线为

9、始边，逆时针逆转 【解析】60?，所成角的终边即为所求的射线，如图所示(2)以正北方向的射线为始边，逆时针旋转 45?，所成角的终边即为所求的射线，如隔所示以正南方向的射线为始边，逆时针旋转 (3)80?，所成角的终边即为所求的射线，如图所示以正南方向的射线为始边，顺时针旋转 (4) 【借题发挥】 .，角的顶点是 ，终边是 (1)如图，角的始边是 AOB?AOBC?D . 在 的 ，点在 的 如图，点(2) OBOA? 的方向. 如图，射线(3)表示 偏西 的方向；射线表示南偏 (4)在图中，共有 个角它们分别是 . 【答案】 OBOAO (1);(2)内部；外部 (3)北；30；东；60 ?

10、AOB,?BOC,?AOC (4)3； 【例3】观察图所示各角，哪个角最大？有没有相等的角？用度量法比较角的大小，看看与观察的结果是否相同？ 用度量法测量角的大小是常用的一种方法，但只为比较两个角的大小，靠观察也能判定【分析】3?2?1? 【解析】估计与相等，最大，?604?330?2150?1? ，测量：， 由以上测量得到的数据可知，测量的结果与观察结果相同“开口”大的角就大，因此估计角的大小要从角的“开口”大小比【方法总结】角的大小与边的长短无关， 较 ?BAC?ACBAC ，使已知射线】4【例和如下图所示，用两种方法画. ?40?;【解析】(1)量出 ?40?ACBAC?BACA就是所作

11、的角如下图所示：，为顶点，为一边作 (2)以 ?COD?COD? ，用直尺、圆规作出，使【例5】如图，已知.OC ；解】(1)作射线【?a?FE 的顶点为圆心、取定的长（如图）半径作弧，分别交、；的两边于点 (2)以 aOCOM 于点以点(3)的长为半径作弧，交为圆心、NEFM 为圆心、(4)以点的长为半径作弧，交前弧于点ODN 3经过点）作射线-（如图2(5)COD? 就是所求作的角 【借题发挥】AOB?AOB?1?2?AOB60?2?1? .，使得和，再画用量角器画1. ?AOBAO?AOB?AOC?AOC?1?1，然后为一条边在使和,以射线2. 如图所示，已知的内部求作?AOB?AOC的

12、大小，并说明理由比较和 AOC?AOB?AOB?AOB?AOCOAOC 【答案】图略；内，所以,且.,因为它们有一条公共边在 ?BACAC?BAC（不要求写作法，但要保留作，用直尺和圆规作3.如图，已知射线，使和 图痕迹） 【答案】?aFE （1） 以两边为的顶点位圆心、取定长、为半径作弧，分别交aACMA 为半径作弧，交（2） 以点位圆心、于点NEFM 3（） 以点的长为半径作弧，交前弧于点为圆心、NAB 4） 经过点作射线（ .即为所求作的角 ?AOB?2? ，作一个角)如图所示( 、已知】6【例 ?AOD?2? （二合异侧）【解析】，?AOB?2? 二合同侧) ( 保留作图痕迹线，了解作

13、图的基本语句 结果如图所示?2?的度【方法总结】两个角的和、差、倍类同于有理数的和、差、倍，如的度数，等于两个? 数和再减去的度数 C2?B1D?A、得任意画一条斜线和横格线相交于点、【例7】如图所示是练习本中的横格线，3?4? 、 3?4?1?21?4? 与与的大小；，(1) 用量角器分别比较与P?4?1，用量角器量的平分线相交于、 (2)用直尺和圆规分别作APD? 的大小出?3541264?2?1，所以【分析】(1)用量角器量得，4?1? 有 如图所示，作图痕迹线要清晰 (2)3?41?124? ；，【解案】(1) ，?90?APD 如图所示， (2) 【借题发挥】COE?OCAODOE?

14、BOD?AOB?90 ，平分1. 如图，已知平分，求 11?AOB?BODAOD?COE?45? 【答案】221?，使得，如图已知，用直尺和圆规求作一个2.（只需作出正确图形，保 2留作图痕迹，不必写出作法） ?BCD?【答案】如图所示，即为所求作的 5?，求这个角2倍多 】【例8一个角的补角比它的余角的【分析】这是一个角的补角与它余角的关系问题，可先从设定这个角入手，再把它的补角、余角用这个角表示出来，根据题意列出方程解决即可 ?90180? ，余角为，则它的补角为设这个角为【解析】?5?,?180?5?180?2?90?180?5 )2( 依题意得，?5 所以这个角的度数为 ?l8.18

15、转化成度、分、秒的形式9】把【例 【分析】该题是换算公式的基本应用，在换算过程中分步进行即可?60?1? 【解析】因为，?10.860?0.18?0.18? 所以 ?601? ， 因为?4860?0.8?0.8 ， 所以 ?48?10?18.18?18 所以 【借题发挥】?0?180的角？说出其中最大角与最小角的度数，并把这两个角1.小于用一副三角尺，能画出多少个大于 画出来? 等、75、90【答案】15135、3045、60105 ?4530?13.4? . (2) . 2. (1)?4625?18?55?6197?17 (4) . (3) . ?424?25?32135?2? (6) (5

16、). . ?513311?51?4?11?132430.75?3626. ；(5) ；(4) (6)(1)【答案】(3) ；(2)； ；O?AOC?90?DOE?90?AB，图中互为余角的角一共有多少对？, 上的一点，如图，3.是直线 对4【答案】 OBOD?AOC?EOC?1的补角和余角的角平分线，分别写出图中、分别是 4.如图，、?COB?BOA?AOD11? 【答案】或的余角是,的补角是 【随堂练习】 1.理解题：一条直线是一个平角，一条射线是一个周角这句话是否正确？【分析】本题考查平角、周角定义平角的图形与直线相似，周角的图形与射线相似，根据图形相似，就认为概念也一致是错误的，平角、周

17、角都是角，角有顶点、两条边、内部、外部而直线、射线不存在这 句话是错误 O?AOB1? )三种方法表示同一个角的图形是能用2. ( 、 、 OAOBO?是一个单独的大写英与表示的是同一个角，【分析】对角的表示方法掌握得不好，误认为 答案选：D.文字母，它只能表示独立的一个角. ?90?BOE那么图中哪些角是锐角？哪些角是钝角？其中哪些角的图中有多少个角小于平角？如果3， 大小相等？?COD,?AOE,?AOB?COE,?AOD,?COB是钝角是锐角，【答案】图中有8个角小于平角，. ?DOE?BOE,?AOB?COD,?AOD?BOC. OAOBOC各表示什么方向 4如图所示，用量角器量角的大

18、小后，写出射线、 OC?50?OB30OA在东南方向上在北偏西方向，【答案】方向，在北偏东BOC?148?COD?90?AOD90?AOB? ，求如图所示，已知：5.的度数 ?BOC?32 【答案】 ?AOB? ，求作如图所示，已知：6.、)不写画法，但要写结论 ( 【课堂总结】 【课后作业】 . 1.在下图中共有多少个角？用符号把它们一一表示出来 个角共8【答案】BDC?BDA?BAC,?BAD,?DAC,?,?CDA,?B,?C, 分别为 ?180 ，且三个角的和是，求这三个角的度数各是多少？2.已知三个角的度数之比为3:4:2?,4060?,80 【答案】.?2014?218?108?36?90?34 . 3.(1). (2) ?471525.3 . . (4) (3) ?25,1847.252421?4071?31. ；【答案】； 4. (1)根据下列语句画图：AOB? (i)作； OCAOB? 的内部作射线 (ii)在；NOBOCOAPMDE (iii)作一条直线与射线