《点集拓扑讲义》第六章分离性公理学习笔记

1、第6章分离性公理 6.1 二=,Hausdorff 空间本节重点:掌握2i.-2r-j空间的定义及它们之间的不同与联系;掌握各空间的充要条件;熟记常见的各种与前两章的连通性公理 和可数性公理一样，分离性公理 也是拓扑不变性 质。回到在第二章中提出来的，“什么样的拓扑空间的拓扑可以由它的某一个 度量诱导出来”这一问题.为了回答这个问题势必要求我们对度量空间的拓扑性质有充分的了解.我们将会发现，本章中所提到的诸分离性公理，实际上是模仿度量空间的拓扑性 质逐步建立起来的.对诸分离性的充分研究使我们在6.5中能够对于前述问题作一个比较深刻的（虽然不是完全的）回答.引入：例对于度量空间X，如果x，y X

2、，? x、y，当xm y时，x、y之 间应该有一个距离，这个距离用 d（x,y）表示，定义6.1.1设X是一个拓扑空间，如果X中的任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一个点（即如果x，y X，xm y,则或者x有一个开邻域U使得y；U,或者y有一个开邻域V使得xV），则称拓扑空间X 是一个二空间.拓扑空间自然不必都是 二空间，例如包含着不少于两个点的平庸空间就不 是二空间.定理6.1.1 拓扑空间X是一个亠空间当且仅当X中任意两个不同的单点集有不同的闭包.(即如果 x, y X, xmy,则/.： !. .)证明 充分性：设定理中的条件成立.则对于任何 x, y X, xmy,由

3、于 上，因此或者匚：成立，或者成立.当前者成立时， 必定有/ .(因为否则 - .- - : - : - :/ - J). 这推出x有一个不包含y的开邻域.同理，当后者成立时，y有一个不包含x的开 邻域J .这证明X是一个二空间.必要性:设X是一个J空间.若x, y X, xmy,则或者x有一个开邻域U 使得壬或者y有一个开邻域V使得 0使得: =x对于任何i N成立.证明 由于X是一个订空间，集合半x,i=1,2,是一个有限集， 所以是一个闭集从而二是x的一个开邻域于是存在 N0使得当i AN有 心C虫，因而Xj=x.定义6.1.3 设X是一个拓扑空间如果X中任何两个不相同的点各自有 一个开

4、邻域使得这两个开邻域互不相交（即如果x, y X, xm y,则点x有一个开邻域U,点y有一个开邻域V,使得UP V=J），则称拓扑空间X是一个Hausdorff空间，或I空间.hausdorff空间一定是辽空间，但反之不然.例6.1.1 非Hausdorff的辽空间的例子.设X是一个包含着无限多个点的有限补空间. 由于X中的每一个有限子集 都是闭集，因此它是一个 订空间.然而在拓扑空间X中任何两个非空的开集一 定会有非空的交.这是因为X中每一个非空开集都是X中的有限子集的补集， 而X又是一个无限集的缘故.由此易见 X必然不是一个空间.定理6.1.5 Hausdorff空间中的任何一个收敛序列

5、只有一个极限点.证明 设 ：是Hausdorff空间X中的一个序列，并且有- O使得当i 时有 1 .任意选取M max0使得当i时有I U.于是lim : =y 也就是说，序列： 收敛于X中的任何一个点.作业：P155 345. 6.2 正则，正规，一1空间本节重点：掌握各空间的定义、充要条件及之间的联系.我们先将点的邻域的定义推广到对于集合有效.定义6.2.1 设X是一个拓扑空间，A, U_X.如果A包含于U的内部，即 A_匚，则称集合U是集合A的一个邻域.如果U是A的一个邻域，并且还是 一个开集（闭集），则称U是A的一个开（闭）邻域.定义6.2.2 设X是一个拓扑空间.如果 X中的任何一

6、个点和任何一个不 包含这个点的闭集都各有一个开邻域，它们互不相交（即如果 xX和AX是 一个闭集，使得x】A,则存在x的一个开邻域U和A的一个开邻域V使得 厂 0），则称拓扑空间X是一个正则空间.定理6.2.1 设X是一个拓扑空间.则X是一个正则空间当且仅当对于任何点xX 和 x的任何一个开邻域U,存在x的一个开邻域V使得.证明 必要性设X是一个正则空间.如果x X,集合U是x的一个开邻域， 则U的补集；便是一个不包含点x的闭集.于是x和分别有开邻域 1 1 使 得：T.从而：li -1，所以充分性 设xX和A是一个不包含x的闭集.这时A的补集二是x的一 个开邻域，根据定理中所陈述的条件可见，

7、有 x的开邻域U使得L _J.令 一，所以V是A的一个开邻域，并且易见：一门.这证明 X是一 -个正则空间.定义623 设X是一个拓扑空间如果X中的任何两个互不相交的闭集 各有一个开邻域并且这两个邻域互不相交（即如果A, B_X都是闭集，则存在A的一个开邻域U和B的一个开邻域V使得j - -），则称拓扑空间X是一个正规空间.定理6.2.2设X是一个拓扑空间则X是一个正规空间当且仅当对于任何一个闭集A _X和A的任何一个开邻域U,存在A的一个开邻域V使得/ - _ .证明 证明类似于定理621，请读者自己写出.正贝叽正规性质与 6.1中定义的二=以及Hausdoff诸性质之间并无必 然的蕴涵关系

8、.例6.2.1正则且正规的空间但非 二空间（因而也是非 辽，非Hausdoff空间）的例子.令 X=1,2,3和 T=1,2,3,1,2,3,- .容易验证（X，T）是一个拓扑空间，并且是一个正则且正规的空间.留意点2和点3立即可见它不是一个 0.令& =d （ x，y），则球形邻域B （ x，& /2 ）和B （y, & /2 ）分别是x和y 的开邻域，并且易见它们无交.因此X是一个Hausdorff空间，自然它也是1 空间.现在设A和B是X中的两个无交的闭集.假如 A和B中有一个是空集，例 如B=二.这时我们可以取X为A的开邻域，二为B的开邻域，它们的交当然 是空集.以下假定A和B都不是空

9、集.根据定理2. 4. 9可见，对于x，y X， 如果 xlB，贝U d （x，B）0;如果 yA，贝U d （y，A）0.记& （x）=d（x,B）/2, S （x）=d（x,A）/2并且令显然U和V分别是A和B的开邻域.以下证明 / -.若不然门设ze 17nZ,jed（z內） 成曲不失一般性，设 冷）2可”） .于是我们有d（和”）（列+ d（zji） 2畑（兀这与 d （二，B）的定义（d （:, B）= inf（二，y） |y B）矛盾.这 就证明了 X是一个正规空间.作业：P160 1.23 6.3 Urysohn引理和Tietze扩张定理本节重点：掌握Urysohn引理的内容（证

10、明不要求）；掌握定理6.3.2的证明方法.定理6.3.1 Urysohn引理设X是一个拓扑空间，a ,b是一个闭区间.则 X是一个正规空间当且仅当对于 X中任意两个无交的闭集A和B,存在一个连 续映射f:X a，b使得当xA时f（x）=a 和当xB时f（x）=b .证明（略）定理6.3.2 二空间中任何一个连通子集如果包含着多于一个点，则它一 定是一个不可数集.证明 设C是7空间X中的一个连通子集如果C不只包含着一个点，任意选取，x,y X,x工y,对于r空间X中的两个无交的闭集x和y，应用Urysohn引理可见，存在一个连续映射f:X 0,1使得f(x)=0,f(y)=1.由于C是X中一个连

11、通子集，因此f (X)也连通.由于0, 1 f (X),因此f (X) =0,1.由于0,1是一个不可数集，因此C也是一个不可数集.作业：P168 1. 6.4 完全正则空间，Tychonoff空间本节重点：掌握完全正则空间与空间的定义；掌握正则，正规及完全正则空间之间的关系.定义6.4.1 设X是一个拓扑空间.如果对于任意xX和X中任何一个不 含点x的闭集B,存在一个连续映射f:X 0,1使得f(x) = 0以及对于任何 yB有f(y)=1,则称拓扑空间X是一个完全正则空间.完全正则的订空间称为Tychonoff空间，或丄一匚空间.定理6.4.1每一个完全正则空间都是正则空间.证明 设X是一

12、个完全正则空间.设x X,B是中的一个不含点x的闭集.则 存在连续映射f : X 0,1，使得f(x)=0和对任何bB有f(b)=1.于是 (0,1/2)和1 (1/2,1)分别是点x和闭集B的开邻域，并且它们无交.这 表明X是一个正则空间.根据定理6.4.1明显可见，每一个Tychonoff空间都是二空间.根据Urysohn引理也容易看出，每一个空间都是Tychonoff空间，但反之不真，有关的例子可以参见 6.2习题第5题.定理6.4.2每一个正则且正规的空间都是完全正则空间.证明 设X是一个既正则又正规的空间.设 x X，B是X中的一个不包含 点x的闭集.由于X是一个正则空间，根据定理6

13、. 2 .1，点x有一个开邻域 U使得-.令丄则A和B是X中无交的两个闭集.由于 X是一个正规 空间，应用Urysohn引理可见，存在一个连续映射f: X 0，l使得对于任何 y A有f (y)= 0和对于任何y B有f (y)= 1 .由于x A,故f (x) =0, 这就证明了 X是一个完全正则空间.定理6.4.3Tychonoff定理每一个正则的Lindeloff 空间都是正规空 间.证明 设X是一个正则的Lindeloff空间.设A和B是X中的两个无交的闭集对于每一个x A,由于-;，根据定理621可见，存在x的一个开 邻域上使得二-即_ .集族|x A是闭集A的一个开覆盖.由于Lin

14、deloff空间的每一个闭子空间都是 Lindeloff空间（参见定理534 ），易见A的开覆盖|x A中有一个可数子族，设为-：,仍然 覆盖A.注意：对于每一个i Z+,有二.同理，集合B也有一个可 数开覆盖现在，对于每一个n Z+，令77 t J7 *显然都是开集.对于任何 m n Z+，因为若设men，则有令它们都是开集，并且现在只剩下证明二-和丄-了.不失一般性，我们验证前者：如果Uy-x A,则存在nZ+使得x.另一方面，由于诸与A无交，所以对于 任意i Z+有八：Tych on off ）, 以及正则和正规等拓扑空间的性质统称为分离性公理.现将 满足诸分离性公理的拓扑空间类之间的蕴

15、涵关系列为图表6.1 .度1空间岛空间迟空间爲空间7；空间正规空间作业：P171 1.2.3 6.5 分离性公理与子空间，(有限)积空间和商空间本节重点：掌握各分离性公理是否是连续映射所能保持的性质，是否是可遗传的，可 积的.本书正文中提到的所有的分离性公理有07 JFT7yp 丁-.-I-1（即 卩 Hausdorff），-（即Tychonoff ),=以及正则和正规等，它们都是经由开集或者经由通过开集定 义的概念来陈述的，所以它们必然都会是拓扑不变性质但是我们还是愿意完 全形式地作一番验证，但只是以一种情形为例其它的请读者自己去作.定理6.5.1 设X和Y是两个同胚的拓扑空间如果 X是一个

16、完全正则的 空间，则丫也是一个完全正则的空间.证明 设h: X-Y是一个同胚.对于Y中的任意一个点和任何一个不包含 点x的闭集B,(x)和(B)分别是X中的一个点和一个不包含点(x) 的闭集.由于X是一个完全正则空间，故存在一个连续映射f: X -0,1使得f( ”(x)=0和对于任何y 2 (B)有f (y)= l .于是连续映射g = f :Y-0,1，满足条件：g(x) = 0和对于任何zB有g(z)=1 .（即 Hausdorff ），(即Tychonoff )，以及正则都是可遗传的性质.我们也只是举一例证明之，其余的留给读者自己去作.习题第1题中的结论表明正规和对于闭子空间是可遗传的

17、性质.定理6.5.2正则空间的每一个子空间都是正则空间.证明 设X是一个正则空间，Y是X的一个子空间，设yY和B是Y的一个闭集使得y IB.首先，在X中有一个闭集使得J A Y= B.因此 由 于X是一个正则空间，所以y和F分别在X中有开邻域（对于拓扑空间X而言） 使得:令：，它们分别是y和B在子空间丫 中开邻域，此外易见厂C1 .可积性质，证明（略）正规和7不是有限可积性质.至于本书正文中提到的所有分离性公理都不是可商性质这个结论，可以通过适当的反例来指出.例6.5.1由于实数空间R是一个度量空间，所以它满足本书正文中提到的所有分离性公理在实数空间 R中给出一个等价关系使得对于任意 X， y

18、 R, xy的充分必要条件是或者x，y（ - ，0;或者x，y（ 0，1）； 或者x，y 1，x）将所得到的商空间记为 丫换言之，丫便是在实数空间 中分别将集合A=（- X, 0, B= （0,| ）和C= 1,*）各粘合为一个点所得 到的拓扑空间事实上丫二A, B, C容易验证丫的拓扑便是二,A,B,B,B,C,A,B,C考察点A和点B可见，丫不是订空间，因此也不个单点闭集A和C可见，丫既不是正则空间也不是正规空间此外容易验证 丫是一个二空间.上述例子尚没有说明二不是可商性质.事实上例3.3.1中所给出的实数空 间R的那个商空间是包含着两个点的平庸空间，当然也就不是 二空间了.然而 例3.3.1并不能代替例6.5.1 ,因为平庸空间既是正则空间，也是正规空间.作业：P175 1. 6.6可度量化空间本节重点:掌握三个定理的结论（前两个定理的证明不要求）先回忆一下在第二章中的可度量化空间的定义.一个拓扑空间称为是可度量化的，如果它的拓扑可以由它的某一个度量诱导出来.我们已经在许多章节 中研究过度量空间的一些拓扑性质，这些拓扑性质当然也是可度量化空间所具有的.在这一章中我们部分地回答具有什么样的拓扑性质的拓扑空间是可度量 化空间这个问题.定理6.6.1Urysohn 嵌入定理 每一个满足第二可数性公理的二空间都同胚于