华中师范大学量子力学

1、一、填空题（共 10 题，每题 2 分，共 20 分）1.若某种光的波长为，则其光子的能量为，动量大小为。2.戴维逊革末实验主要表现出电子具有。3.若x, t 是归一化的波函数，则x,t2dx 表示4. 设力学量算符 ? 与 ? 不对易，且其对易子为? ?，则它们的不确F GF , G ik定性关系为。5.厄米算符在自身表象是矩阵。6. 从量子力学的观点看， 氢原子中核外电子的运动不再是圆轨道上的运动，而是电子云的图像，电子云是；7.设氢原子处于态r ,25R21(r )Y1 1 ( ,) ，求氢原R21 (r )Y10 ( , )33子的角动量 z 分量的平均值8.证明电子具有自旋的实验是。

2、9.两个角动量 j11, j 21 耦合的总角动量 J210.共振跃迁意思是。共振跃迁意思是当周期性微扰的频率不等于两能级间的玻尔频率时，即mn 时，跃迁概率不大；当mn 时，即吸收过程和辐射过程，其跃迁概率随时间而增大，称为共振跃迁。二、判断题（共10 题，每题 1 分，共 10 分）1. 光电效应证实了光的粒子性，康普顿效应进一步证实了光的粒子性。2. 若 1,2,n ,是体系的 一系列可 能的 状态，则 这些态的 线性 叠加C11C22Cn n（其中 C1, C2 , , Cn , 为复常数）也是体系的一个可能状态。3. 不同定态的线性叠加还是定态。4. 因为坐标与动量算符均是厄米算符，

3、所以它们的乘积一定是厄米算符。5. 若两个力学量算符不对易，则它们一般没有共同本征态。6. 粒子在中心力场中运动，若角动量 Lz 是守恒量，那么 Lx 就不是守恒量。7. 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：U ( x) U ( x) ，则粒子的波函数一定具有确定的宇称。?8.费米子体系的哈密顿算符H 必须是交换反对称的，波色子体系的哈密顿算符?H 必须是交换对称的。9.全同粒子体系的波函数具有一定的对称性，是来自于全同粒子的不可区分性。10. 自由粒子所处的状态只能是平面波。三、简答题（共5 题，每题 4 分，共 20 分）1. 简述玻尔的量子论，并对它进行简单的评价。2. 处于定态的体

4、系具有哪些性质。3. 隧道效应。4. 跃迁的选择定则及其理论依据。5. 分波法的基本思想。四、证明题（共2 题，每题 8 分，共 16 分）1. 用狄拉克符号证明：（ 1） 厄米算符的本征值是实数；（ 2） 厄米算符不同本征值的本征矢互相正交（非简并情形） 。（8 分）2. 证明，处于 1s，2p 和 3d 态的氢原子，分别在r a0 ， 4a0 和 9a0 的球壳内发现电子的概率最大。（提示：氢原子波函数nlm ( r , , )Rnl (r )Ylm ( ,) ，其中2r1rra02a0R10 (r )a03/2e，R21(r )(2 a0 )3/2a3e，03/22rR32 ( r )2

5、1re 3a0 。（8 分）a081 15a0五、计算题（共3 题，共 34 分）12x21.质量为的一维谐振子的基态波函数为0 ( x)e 2，其中，求粒子出现在经典禁区的概率。 （10 分）1（积分公式： e x2dx,e x2dx 0.75）0202. 已知在 ?2 和 ? 的共同表象中，算符 ? 和 ? 的矩阵表示分别为LLzLx Ly0 1 00i0Lx1 0 1 ， L yi0i ，求它们的本征值和归一化的本征函数，20 1 02 0i0并将矩阵 Lx 和 Ly 对角化。（12 分）1c03.已知某表象中哈密顿算符的矩阵形式Hc30。00c2（ 1） 设 c 1，应用微扰论求哈密顿

6、算符的本征值到二级近似；（ 2） 求精确解，并与上面的微扰论结果比较。 （ 12 分）备用：B 卷一、简答题（每小题4 分，共 36 分）1. 态叠加原理2. 波函数的统计解释及波函数的标准条件3. 全同性原理和泡利不相容原理4. 量子力学基本假设是什么5. 隧道效应6. 哪些实验表明电子具有自旋现象电子自旋角动量是电子自转产生的吗7. 共振跃迁8. 分波法的基本思想9. 电子云二、计算题（共64 分）1. 证明对易关系?, y?ihz?。（8 分）Lx2.设氢原子处于归一化状态r , ,1R21 (r )Y10 ( , )3R21(r )Y1 1 ( , ) ，求其能量、角动量平方22及角动

7、量 z 分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。（12 分）3. 二维矩阵 A, B 满足 A20, AA A A 1,B A A,（1） 证明 B2B ；（2） 在 B 表象中求出 A 的矩阵。（共 12 分）4. 在 某 一 选 定 的 一 组 正 交 基 矢 下 哈 密 顿 算 符 由 下 列 矩 阵 给 出1c0Hc3000c2（ 1）设 c 1，应用微扰论求哈密顿算符的本征值到二级近似；（ 2）求哈密顿算符的本征值的精确解；（ 3）在怎样条件下，上面二结果一致。 （15 分）?01?0i的本征值和本征矢。（8 分）5. 求 Sx210和 Sy2i06. 证明：厄米算符的本征值必为实数。 （5 分）?(1)7. 设电子 1、2 的自旋分别为： S , S ，体系处于对称波函数s1/2 ( S1z) 1/2 (S2 z)12的状态，证明：总自旋角动量z 分量的本征值为。（6 分）?0ei?表象的矩阵表示为 F8. 设算符 F 在 A， 为实常数，求（ 1） F 的e i0本征值及正交归一的本征矢在A 表象的矩阵表示；（ 2）使矩阵 F 对角化的么正变换矩阵 U。（12 分）ii9. 设粒子处于