高中数学 第二章 柯西不等式与排序不等式及其应用 2_3 平均值不等式（选学） 新人教B版选修4-5

1、2.3平均值不等式(选学,1.了解算术平均,几何平均,调和平均的概念. 2.理解定理的意义及作用,了解定理的推证过程. 3.能够灵活应用定理证明求解一些简单问题,1.有关概念,2.定理 定理1(算术几何平均值不等式,简称平均值不等式,2)推论1:设a1,a2,an为n个正数,且a1a2an=1,则a1+a2+ann,且等号成立a1=a2=an=1. (3)推论2:设C为常数,且a1,a2,an为n个正数,则当a1+a2+an=nC时,a1a2anCn,且等号成立a1=a2=an,定理2,定理3,加权平均不等式,做一做1】 下列命题是假命题的是(,答案:A,做一做2】 已知x,y,z(0,+),

2、且2x+3y+5z=6,则xyz的最大值为,平均值不等式的应用条件是什么? 剖析:“一正”:不论是三个数的或者n个数的平均值不等式,都要求这三个数或者n个数都是正数,否则不等式是不成立的;“二定”:包含两类求最值问题,一是已知n个正数的和为定值(即a1+a2+an为定值),求其积a1a2an的最大值,二是已知乘积a1a2an为定值,求其和a1+a2+an的最小值;“三相等”:取等号的条件是a1=a2=an,不能只有其中一部分相等,题型一,题型二,题型三,题型四,利用平均值不等式证明不等式,分析:观察求证式子的结构,通过变形转化为用平均值不等式证明,题型一,题型二,题型三,题型四,反思不等式的证

3、明方法较多,关键是从式子的结构入手进行分析,找到证明不等式的突破口,使其出现平均值不等式的形式,题型一,题型二,题型四,题型三,利用平均值不等式求最值,分析:对于x2(1-5x),视x2与1-5x为两项,其和不可能为定值,应把x2拆为两项x,x,故x,x,(1-5x)这三项同时配系数才能使和为定值,题型一,题型二,题型四,题型三,反思本题采用的方法是拆项,把x2变为x,x,再配系数的方法,请思考采用下面的变形错在什么地方,题型一,题型二,题型三,题型四,平均值不等式的应用 【例3】 某同学在电脑城组装了一台电脑,总费用为3 600元.假定在电脑的使用过程中,维修费平均为:第一年200元,第二年

4、400元,第三年600元,依等差数列逐年递增,问:这台电脑使用多少年报废最合算? 分析:要求电脑使用多少年报废最合算,实际上是求使用多少年的平均费用最少,这种年平均费用一般由两部分组成:一部分是电脑成本的平均值,另一部分是电脑维修费用的平均值.这样,电脑的最值报废年限,即: 年平均消耗费用=年均成本费+年均维修费, 电脑最佳报废年限=年均消耗费用最低的年限. 因此,需建立年平均费用y与使用年数x的函数关系式,题型一,题型二,题型三,题型四,所以当x=6(年)时,y有最小值,即这台电脑使用6年报废最合算,题型一,题型二,题型三,题型四,易错辨析 易错点:忽视应用平均值不等式求最值应具备的“一正、二定、三相等”而致错,题型一,题型二,题型三,题型四,1 2 3 4,1若x,yR,且xy0,x2y=2,则xy+x2的最小值是,答案:3,1 2 3 4,1 2 3 4,1 2 3 4,4求证:在表面积一定的长方体中,以正方体的体积最大.