不等式推理与证明算法初步与复数考点测试35基本不等式

1、考点测试35基本不等式咼考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值 考纲研读1. 了解基本不等式的证明过程2 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题5分，中等难度第步:狂刷小题二基础练；、基础小题a+ bt1 “ a0 且 b0” 是“丁 , ab” 成立的()A.充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件 D .既不充分也不必要条件答案 Aa+ b a+ b0 且 b0? ab,但一 ab / a0 且 b0,只能推出 a0 且 b0.2.已知0x1，则x(3 3x)取得最大值时x的值为()113A.3 B. 2 C. 4 d.答案 B解析/ 0x2)在x= a处取最小值，则

2、a等于()x 2A. 1+ . 2 B . 1 +3 C . 3 D . 4答案 C解析/ x2, x 2 0,1 1 1 f(x)= x+ xZ(x 2) + 口 + 22 x 2 x 2 +2= 2 + 2= 4,当且仅当x 2=，即(x 2)2= 1时等号成立，解得 x= 1或3.又t x 2,x 2 x = 3，即a等于3时，函数f(x)在x = 3处取得最小值，故选C.14.函数f (x) = x + _(x0)的值域为()xA. ( a, 0) B . ( a, 2C. 2 ,+8) D .( -m,+m答案 B解析 f(x)=-x-X：A 21 1x x = 2，当且仅当-x=，

3、即 x = 1时，等号成立.5.设0x2，则函数y= .x4 2x的最大值为（）B乎 C. D.羽A. 2答案解析/ 0x0,. y= x4 2x = 2 x 2 x w 2 x+ j x= 2,当且仅当6.x = 2 x，即x= 1时取等号.x2 + 2x+ 2函数y=xn （x1）的图象的最低点的坐标是（）A.(1 , 2) B . (1 , - 2) C . (1 , 1) D . (0 , 2)答案解析2(x X 1 X 11y = (xx 1) x 2,x X 1xX 1当x = 0时取最小值.7.0ab,则下列不等式中正确的是（A.ab aba-ba+ bB . a ab丁bC.a

4、 abba； bD.aba答案解析a+ b/ 0ab,. a0，即卩 aba, D错误.故选B.&已知a0, b0,a,b的等比中项是1，且11m= b+ , n= a+，贝U n的最小值是（）abA. 3 B . 4 C . 5 D . 6答案 B11 解析 由题意知 ab= 1，二 m= bx - = 2b, n= ax - = 2a,. mx n= 2( ax b) 4 ab= 4, ab当且仅当a= b= 1时取等号.9.若2x x 2y = 1,贝U x x y的取值范围是()A. 0, 2 B . 2, 0C. 2,+s) D .( a, 2答案 Dx yx +y1解析/ 1 =

5、2x+ 2y 2 2x2y= 2 2x +y当且仅当2x=龙=-,!卩x= y= 1时等号成立,1x+y1/口2, 二 2 yw4，得 x + yw 2.10.下列函数中，最小值为 4的是（2A.x + 9y 一x2+ 5B.4y = Sin x+ 亦(0 v xvn)C.X I * xy = e + 4eD.y = log 3x + 4log x3答案 C解析对于A,因为X + 5 5，所以一24y = *x + 5+2的最小值不是4，所以不满寸x + 5足题意；对于 B,令 sin x = t (0 , 1，贝U y = t + , yt44=1 子v 0,因此函数 y= t +1在（0

6、, 1上单调递减，所以 y5,所以不满足题意；对于 ex = 4ex，即x = ln 2时取等号，故满足题意；对于D,C, y2 ex 4ex = 4,当且仅当当 x (0 , 1)时，log3X, Iogx30,所以不满足题意.11.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为 800元.若每批生产x件，贝U平x均存储时间为：天，且每件产品每天的存储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费8用与存储费用之和最小，每批应生产产品（）A. 60 件 B . 80 件 C . 100 件 D . 120 件答案解析若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是罟元，存储费用是的费用y型+語2x

7、8竽.x= 20,当且仅当竽=訓取等号，得x = 80（件）.故选B.围是12 .设 M= 1.x设a R,若关于的不15. (2015 重庆高考)设 a, b0, a+ b= 5,贝U .a+ 1 + b+ 3的最大值为等式f(x) - + a在R上恒成立，则a的取值范围是()474739A面 2 B .-16 16C. 2护，2 D . 2血 39答案 A 解析 当xwi时，关于的不等式f(x) 2 + a在R上恒成立等价于x2+ x 3w- +12321aw x x + 3在R上恒成立，即有x + qx 3 aw x -x + 3在R上恒成立. 由y = x +三111473x 3图象的

8、对称轴为=4v 1,可得在=4处取得最大值一 16；由y= 2 + 3图象的对333394739称轴为=441时，关于的不等式f(x) 2+ a在R上恒成立等价于一3 2x 2R上恒成立，即有一zx+ -w aw - + -在R上恒成立，由于 x1，所以一2 2 2 1=2 3，当且仅当x=时取得最大值一2,3;因为1，所以歹+且仅当=2时取得最小值2,则2 3w aw 2.2 2亠 + w-+ aw x+ 在47由可得一16w aw 2.故选A.14. (2018 天津高考)已知a, b R,且a 3b + 6= 0,则2a +右的最小值为8解析由已知，得2+ *= 2a+ 2SP2a 2

9、一3b= 22b= /2_6= 当且仅当 2a= 23b时等号成立，由a=3b, a 3b+ 6 = 0，得 a= 3, b= 1,故当 a= 3, b= 1 时，2a答案 3 2解析令t = a+1+ b+3,则 t = （、.a+ 1+i;b+ 3）=a+ 1 + b+ 3 + 2 a+ 1 b+ 3w 9+ a+ 1 + b + 3= 18,当且仅当a+ 1 = b+ 3时，73即a=2， b=时，等号成立，所以t的最大值为3 2.16. （2017 江苏高考）某公司一年购买某种货物 600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为 4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和

10、最小，则x的值是答案 30X = 900,即卩 XX一600900解析 设总费用为y万兀，则y= X 6+ 4x= 4x+240,当且仅当XX=30时，等号成立.17. （2017 天津高考）若a, b R ab0,则a + :： + 1的最小值为答案解析 a4 + 4b42 a2 2b2= 4a2b2（当且仅当a2 = 2b2 时“=”成立44a + 4b + 1），二 ab,2 2 /4a b +1 ab1 1 1=4ab+ Ob，由于 ab0，二4ab+ 0b2/4ab王=4 当且仅当14ab= ab时“=”a2= 2b2,成立，故当且仅当14ab=王时,已+ 4； + 1的最小值为4.

11、ab三、模拟小题18. （2018 廊坊一模）已知m0,1 2n0,2m+ n=1，则4m+ 丁勺最小值为（）4mA. 4B . 2 ,2 C. I D . 16答案解析5 n 4m 51 2 1 2 n0, n0,2m+ n=1,则；m+ n=（2m+ 叭 4m+ n=?+扁+下2+4mn9 2 19，当且仅当n = 2, m= 1时取等号.故选 C.236x 2y19. (2018 山东日照模拟)若实数x, y满足xy。，则予+盘的最大值为()A. 22 B . 2 +2C. 4 + 2 2 D . 4 2 2D答案解析xx + y x + 2yx + yx + 2y xxx+ 2y =

12、1 + x+ yxyxy1r2 = 1 +x + 3xy + 2yx 2y3+ 一+ 一 y x因为x xy0，所以 y0,yo.xp=1 + = 1 + x+ 2yx + y x + 2y由基本不等式可知y + - 22 ,当且仅当x=2y时等号成立,所以11 +w 1 +3 + x + 2X3+ 2、2y x1= 4 2 2.20. (2018 四川资阳诊断)已知a0, b0,且2a+ b= ab,则a+ 2b的最小值为()A. 5 + 2 2 B . 8 2C. 5答案解析bb/ a0,b0,且2a+ b= ab,二 a=0,解得b2,即b 20,则 a+ 2b=-b 2b 22+ 2b

13、= 1 + b+2( b 2) + 45+ 2、/g(b 2尸9,当且仅当b= 3, a= 3时等号成立，其最小值为9.一 2 121. (2018 江西九校联考)若正实数x, y满足(2 xy 1) = (5y + 2) ( y 2),则x+无的最大值为()答案 A2 2 2 2 2解析 由(2xy 1) = (5y + 2) ( y 2)，可得(2 xy 1) = 9y (2y + 2)，即(2 xy 1)22,口1222+ (2 y+ 2) = 9y ,得 2x- + 2+- = 9, yy1 22d门2x - + 2+_1222 y y2x - + 2 + - y y 22x + 22

14、y ，当1 2且仅当2x-y=巧时等号成立，所以2x+y+厶18,得2x+y “2,所以 x+i2)的最小值为6，则正数 m的值为x 2答案 4解析 由 x2,知 x 20,又 n0,则 y= (x 2) + 2、/(x 2x2+ 2=昕m厂+ 2，取等号的条件为x 2 = x 2.从而依题意可知2 n 2 = 6，解得m= 4.23. (2018 邯郸模拟)设x0, y0,且x一y2=哄则当x+1取最小值时,2 1x -I2 =y答案12解析/ x0, y0,当1 12x+ y取最小值时，x+ y取得最小值，1x+ 一y_12x=x -2 + yy又 xI2y16y2 1 2x 16yV，x

15、 + 产了 + w，16y12 4x 16y x+- =+ 2y y x4x 型=16, y x x+y 4,当y4x 16y且仅当T =于，即x = 2y时取等号,y x2x1 2 1当 x+ y取最小值时,x= 2y, x + y+y = 16,. x+ 2+ 口二 16, x2+ 16 4= 12.y yy、咼考大题町精做大题能力练、本考点在近三年高考中未涉及此题型.二、模拟大题1.(2018 河北唐山模拟)已知 x, y (0 ,+8), x2 + y2= x + y.(i)1 1求-+严小值;是否存在x, y满足(x+ 1)( y + 1) = 5?并说明理由.2 2(1)因为1 +

16、 !=凹=亠创=2,当且仅当x = y= 1时，等号成立，所以1 +x y xy xy xyx y的最小值为2.不存在理由如下：2 2 因为 x + y 2xy,所以(x+ y)2w2( x2 + y2) = 2(x-y).又 x, y (0 ,+s)，所以 x + yw2.从而有(x+ 1)( y+1) w x + 1 ； y+ l2w 4,因此不存在x, y满足(x+ 1)( y+1) = 5.2. (2018 河南驻马店检测)某地需要修建一条大型输油管道通过240 km宽的沙漠地带,该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称

17、泵站)经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离2为xkm的相邻两增压站之间的输油管道的费用为x +x万元设余下工程的总费用为y万元.(1) 试将y表示成x的函数；(2) 需要修建多少个增压站才能使y最小，其最小值为多少？解(1)设需要修建k个增压站，则(k + 1)x = 240,即即 k =240x1.所以 y= 400k+ (k+ 1)( x2+ x)240240/ 2 ,、=400 1 +(x + x)96000x+ 240x 160.因为x表示相邻两增压站之间的距离，则0x240.故y与x的函数关系是96000x+ 240x 160(0 x2J x 240x 160当且仅当9

18、6000x=240x即x = 20时等号成立,=2X 4800 160= 9440,240240此时 k=_ 1= 20 1= 11.故需要修建11个增压站才能使y最小，其最小值为 9440万元.3. (2018 保定诊断)某商人投资81万元建一间工作室， 第一年装修费为1万元，以后 每年增加2万元，把工作室出租，每年收入租金 30万元.(1) 若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？(2) 若干年后该商人为了投资其他项目，对该工作室有两种处理方案：年平均利润最大时，以46万元出售该工作室； 纯利润总和最大时，以 10万元出售该工作室.问该商人会选择哪种方案？解（1）设第n年获取利润

19、为y万元.n年付出的装修费构成一个首项为1,公差为2的等差数列，n年付出的装修费之和为nx 1+ n ； 1 x 2= n2,又投资81万元，n年共收入租金 30n万元,利润 y = 30n n2 81 (n N*).22令 y0,艮卩 30n n 810,. n 30n+ 810,解得3n27（ n N），从第4年开始获取纯利润.2（2）方案：年平均利润=30n(81 + nn81 81 81=30 7 n= 30 F+ n 三30 2； n n81=12（当且仅当一=n,即n= 9时取等号），n年平均利润最大时，以46万元出售该工作室共获利润12X 9+ 46= 154（万元）.2 2 *方案：纯利润总和 y = 30n n 81 = （ n 15） + 144（ n N）,当n = 15