二项分布经典例题练习题

1、1. n次独立重复试验一般地，由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立 的状态，即A与A，每次试验中P(A) p 0。我们将这样的试验称为n次独立重复试 验，也称为伯努利试验。(1) 独立重复试验满足的条件第一：每次试验是在同样条件下进行的；第二：各次试 验中的事件是互相独立的；第三：每次试验都只有两种结果。(2) n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率P(X k) Cpk(1 p)n k。2. 二项分布若随机变量X的分布列为P(X k) Cnkpkqnk，其中0 p 1-p q 1k 0,1,2L ,n,则称X 服从参数为n,p的二项分布，记作X : B( n,

2、 p)。1. 一盒零件中有9个正品和3个次品，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回，求在 取得正品前已取出的次品数X的概率分布。2. 一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是丄.3(1) 设 为这名学生在途中遇到红灯的次数，求的分布列；(2) 设 为这名学生在首次停车前经过的路口数，求的分布列；(3) 求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.3. 甲乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为1，乙每次击中目标的概率为-.23(1) 记甲击中目标的此时为，求 的分布列及数学期望;(2) 求乙至多击中目标2次的概率；(3)

3、 求甲恰好比乙多击中目标 2次的概率.【巩固练习】1. (2012年高考(浙江理)已知箱中装有 4个白球和5个黑球,且规定：取出一个白球的 2分,取出一个黑球的1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球, 记随机变量X为取出3球所得分数之和.(I )求X的分布列；(n)求X的数学期望e(x).2. ( 2012年高考(重庆理)(本小题满分13分,(I )小问5分,(n )小问8分.)甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜 或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为1 ,乙每次投篮投中的概3率为1,且各次投篮互不影响2(I )求

4、甲获胜的概率；(n)求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望3. 设篮球队A与B进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜 4场则比赛宣告结 束，假定A,B在每场比赛中获胜的概率都是1，试求需要比赛场数的期望.23. ( 2012年高考(辽宁理)电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了 100名观众进行调查下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；将日均收看该体育节目时间不低于 40分钟的观众称为“体育迷”.(I )根据已知条件完成下面的2 2列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关(n)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大

5、量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为 X.若每次抽取的结果是相互独立的,求X的分布列,期望E(X)和方差D(X).5. (2007陕西理)某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下 一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为4、 3、2，且各轮问题能否正确回答互不影响.(I)求该选手被淘汰的概率；(n)该555选手在选拔中回答问题的个数记为 E，求随机变量E的分布列与数数期望.(注：本小题结 果可用分数表示)6. 一批产品共10件，其中7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，

6、在下述三种情况下，分别求直至取得正品时所需次数的概率分别布.(1) 每次取出的产品不再放回去;（2）每次取出的产品仍放回去;（3）每次取出一件次品后，总是另取一件正品放回到这批产品中7. （2007?山东）设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量E表示方程x2+bx+c=0实根的个数（重根按一个计）（I）求方程x2+bx+c=0有实根的概率;8.（本题满分12分）某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动 下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获 额的返券，假定指针等可能地停在任一位置若指针停在活动规则如60得相应金A区域返券（II ）求E的分布列和数学期望;60元；停在B区

7、域返券30元；停在C区域不返券.例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和（I ）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率;（II ）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X（元），求随机变量X的分布列和数学期望.9. （本题满分12分）中国？黄石第三届国际矿冶文化旅游 节将于2012年8月20日在黄石铁 山举行，为了搞好 接待工作，组委会准备在湖北理工学院和湖北师范学院分别招募 8名和 12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm若身高在175cm以上（包括175cm定义为“咼个子”，身咼在175cm以下（不

8、包括175cm定义为“非高个子”，且只有湖北师范学院的湖北理工学湖北师范学“高个子”才能担任“兼职导游”。9158 991612 5 8 9(1) 根据志愿者的身高编茎叶图指出湖北师范学院志愿者身高的中位数;(2) 如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取 5人，再从这5人中 选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？(3) 若从所有“高个子”中选3名志愿者，用 表示所选志愿者中能担任“兼职导 游”的人数，试写出 的分布列，并求 的数学期望。10. 某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，8,其中X5为 标准A，X3为标准B,已知甲厂执行标准A生产该产品，产

9、品的零售价为 6元/件；乙厂 执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执 行标准(I)已知甲厂产品的等级系数X的概率分布列如下所示:56780. 4ab0. 1且X1的数字期望EX=6,求a，b的值;(II )为分析乙厂产品的等级系数 ,从该厂生产的产品中随机抽取 30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下:353385563463475348538343447567用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望11. 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现 故障的时间有关，某轿车制造厂生产

10、甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取 50辆，统计书数据如下：将频率视为概率，解答下列问题：(I )从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的 概率；(II )若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为Xi，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求Xi，X2的分布列；(III )该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品 牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理 由。巩固练习答案【解析】本题主要考察分布列，数学期望等知识点(I )X的可能取值有：3,4,5,6.P(

11、X3)；P(X424)c；c420421 2C5C415C：2P(X 5)； P(X7C342 k6) & 42.故,所求X的分布列为X34(n)所求X的数学期望E(X)为:613E(X)=i P(X i) 1-.i 4-【答案】(i)见解析;(n)1-.【考点定位】本题考查离散随机变量的分布列和期望与相互独立事件的概率，考查运用概率 知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指两事件发生的概率互不影响，注意应用 相互独立事件同时发生的概率公式.解:设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中,则1 1P Ak-, P Bk-, k 1,2,33 2(1)记“甲获胜”为事件C,由互斥事件有一个发生的

12、概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知，P C P A,P a1b1a2 p a1b1a2b2a3的所有可能为：1,2,31919由独立性知：P 1 P A PABi综上知，有分布列23从而,E 1 2 2 3 3（次）3. 解：（1）事件“ X 4”表示，A胜4场或B胜4场（即B负4场或A负4场），且两两 互斥.P（X 4）C4（）4（）0 C40（）0（）4 6 ；（2）事件“ X 5”表示，A在第5场中取胜且前4场中胜3场，或B在第5场中取胜且前4场中胜3场（即第5场A负且4场中A负了 3场），且这两者又是互斥的，所以（3）类似地，事件“ X 6 ”、“ X 7”的概率分别为P（X6

13、） C；（ ）3G）53 农（）2（）522 2 2 2 2 2比赛场数的分布列为4567故比赛的期望为e（x）4 65 6 6 6 7 65-8125 （场）这就是说，在比赛双方实力相当的情况下，平均地说，进行 6场才能分出胜负.4. 【答案及解析】(I)由频率颁布直方图可知,在抽取的100人中，“体育迷”有25人,从而2X 2列联表 如下：由2X 2列联表中数据代入公式计算,得：因为3.0300,即b 2 c 下面针对于c的取值进行讨论当 c=1 时，b=2, 3, 4, 5, 6;当 c=2 时，b=3, 4, 5, 6;当 c=3 时，b=4, 5, 6;当 c=4 时，b=4, 5,

14、 6;当 c=5 时，b=5, 6;当 c=6 时，b=5, 6,目标事件个数为 5+4+3+3+2+2=19因此方程x2+bx+c=0有实根的概率为1936E =0, 1, 2(II )由题意知用随机变量E表示方程x2+bx+c=0实根的个数得到 根据第一问做出的结果得到172117则 P( E =0)= 17 , P( E =1)= 2 = 1 , P( E =2)= 17 ,3636 1836012 的数学期望 EE =0X 17 +1X 1 +2X 17 =1, 3618368. 设指针落在A,B,C区域分别记为事件A,B,C.111则 P(A) -,P(B)

15、-,P(C)-.6 323分(I)若返券金额不低于30元，则指针落在A或B区域.1 1 1 P P(A) P(B)6 324分1即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是663610分(n)由题意得,随机变量XP(X0) 1P(X30)P(X60)P(X90)-P(X120)1211231126113611该顾客可转动转盘2次.的可能值为0, 30, 60, 90, 120.18即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.所以，随机变量X的分布列为:030609012013611分其数学期望1151IEX 0306090120404318936 12 分9、解：(1)根据志愿者的身高编茎

16、叶图知湖北师范学院志愿者身高的中位数为:168 169168.5 2 分2(2)由茎叶图可知，“高个子”有 8人，“非高个子”有12人,“非高个子”为5 123人;按照分层抽样抽取的5人中“高个子”为5 202人,则至少有1人为高个子的概率pC2=1-if710(3)由题可知：湖北师范学院的高个子只有3人，则的可能取值为0,1 , 2,3 ;故P(0)i 10，p(1)詈 36，P(2)罟56，p(”i；13) i 丘，i856即的分布列为:c 10,30c 15 c19E = 0+1 + 2+ 3=0565656568答：（略）12分10.解：（I ）因为 EXi6,所以50.46a 7b 80.16,即 6a 7b 3.2又由Xi的概率分布列得0.4 a b0.11即a b0.5.由 6a 7b 3.2,解得 a 03a b 0.5.b 0.2.X的概率分布（II ）由已知得，样本的频率分布表如下:3456780. 30. 20. 20. 10. 10. 1用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数列如下:345678P0. 30. 20. 20. 10.