高中数学 情境互动课型 第二章 平面向量 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 新人教版必修4

1、2.4 平面向量的数量积 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义,我们学过功的概念，即一个物体在力 的作用下产生 位移,力 所做的功W应当怎样计算,W=| | |cos 其中是 与 的夹角,功是一个标量，是一个数量，它由力和位移两个向量来确定.这给我们一种启示，能否把“功”看成这两个向量的一种运算的结果呢,从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念,两个非零向量 和 ，作,则 叫做向量 和 的夹角,注意:在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的,向量的夹角的概念,与 同向,O,A,B,与 垂直,特别地,1.了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义.(重点） 2.

2、掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算.（重点、难点） 3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题,注意：向量的数量积是一个数量,已知两个非零向量 与 ，我们把数量 叫做 与 的数量积（或内积）. 记作 其中是 的夹角,规定:零向量与任一向量的数量积为0,1、数量积的定义,探究点1 数量积,思考1:向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负,当 时，它为负值,当 时，它为0,当 时，它为正值,提示,向量的数量积与数乘向量的运算结果有何区别？ 提示：向量的数量积ab是一个实数；数乘向量a是一个向量,即时训练,B,B1,

3、O,A,叫做向量 在 方向上（向量 在 方向上）的投影,2、投影的概念,数量积 等于 的长度 与 在 的方向 上的投影 的乘积,还有其他说法吗,向量 与 的数量积等于 的长度 与 在 的方向上的投影 的乘积,3.数量积的几何意义,提示,投影是向量还是数量？ 提示：投影是数量而不是向量，它可正、可负、可为零,即时训练,思考2:由向量数量积的定义，你能否得到下面的结论,提示,探究点2 向量数量积的性质,提示,提示,向量数量积的性质,已知a，b的夹角为，|a|2，|b|3，分别在下列条件下求ab. (1)135； (2)ab； (3)ab,即时训练,求,在ABC中,变式练习,思考3:回顾实数运算中有

4、关的运算律，你能推导向量数量积的下列运算律吗,探究点3 向量数量积的运算律,提示,O,N,M,设向量 在 上的投影分别是OM，MN，ON,思考4:下列两个运算律成立吗,提示,向量数量积的运算律,若a，b，c是非零向量，且acbc，则ab一定成立吗？ 提示：不一定由acbc可得c(a-b)0a-b0或c(a-b,即时训练,例2.我们知道，对任意a，bR，恒有(a+b)2= a2+2ab+b2,(a+b)(a-b)=a2-b2.对任意向量 是否也有下面类似的结论,设向量a，b，c满足abc0，(a-b)c，ab，若|a|1，则|a|2|b|2|c|2的值是_,解析：由abc0得c-a-b. 又(a-b)c0，(a-b)(-a-b)0，即a2b2. 则c2(ab)2a2b22aba2b22， |a|2|b|2|c|24,4,变式练习,变式练习