高中数学 探究导学课型 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理 新人教版必修4

1、2.3平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1平面向量基本定理,自主预习】 主题:平向向量基本定理 1.在物理中,我们学习了力的分解,即一个力可以分解为两个不同方向的力,试想平面内的任意一向量是否可以分解为其他两个向量的和? 提示:可以,2.如果e1,e2是共线向量,那么向量a能否用e1,e2表示?为什么? 提示:不一定,当a与e1共线时可以表示否则不能表示. 3.如果e1,e2是两个不共线的确定向量,那么与e1,e2在同一平面内的任一向量a能否用e1,e2表示? 提示:可以,根据是数乘向量和平行四边形法则,通过以上探究过程,试总结平面向量基本定理及两向量的夹角. 用文字语言描述:由向量的平行

2、四边法则可知,向量a可以用不共线的向量e1,e2表示.,平面向量基本定理 (1)条件:e1,e2是同一平面内的两个_向量;a是 该平面内_向量. (2)结论:有且只有一对实数1,2,使a=_. (3)基底:_的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有 向量的一组基底,不共线,任意,1e1+2e2,不共线,两向量的夹角 (1)定义:作向量 =a, =b,则_ _叫做向量a与b的夹角. (2)特例:=0,向量a,b_; =90,向量a,b_; =180,向量a,b_,AOB,0180,同向,垂直,反向,深度思考】 结合教材P94例1,你认为应怎样通过作图,用基底e1,e2 表示向量1e1+2e2? 第

3、一步:_; 第二步:_ _,以点O为起点作向量1e1,2e2,以1e1,2e2为邻边作平行四边形则以O为起,点的对角线对应的向量即为所作向量1e1+2e2,预习小测】 1.若向量a,b的夹角为30,则向量-a,-b的夹角为 () A.60B.30 C.120D.150,解析】选B.将向量移至共同起点,则由对顶角相等可得向量-a,-b的夹角也是30,2.已知平行四边形ABCD,下列各组向量中,可以成为 该平面内所在向量基底的是() 【解析】选D.因为 不共线,故可以成为一组 基底,3.在正ABC中,向量 的夹角为_. 【解析】如图,向量 的夹角为ABC=60,向 量 方向相反,所以向量 的夹角为

4、120. 答案:120,4.设D,E分别是ABC的边AB,BC上的点, 若 (1,2为实数),则 1+2的值为_,解析】易知 所以1+2= 答案,备选训练】已知G为ABC的重心,设 试用基底a,b表示向量 (仿照教材P94例1的解析过程,解析】连接AG并延长,交BC于点D,则D为BC的中点,互动探究】 1.在平面向量基本定理中为何要求向量e1,e2不共线? 提示:若向量e1,e2共线,则1e1+2e2与向量e1,e2共线,即向量1e1+2e2只能表示与向量e1,e2共线的向量,无法表示平面内其他的向量,2.对于同一向量a,若基底不同,则表示这一向量a的实数1,2的值是否相同? 提示:不相同,根

5、据平面向量基本定理a=1e1+2e2,向量e1,e2改变时,1,2的值也变化,拓展延伸】平面向量基本定理的实质 这个定理告诉我们,平面内任意向量都可以沿两个不共线的方向分解为两个向量的和,并且这种分解是唯一的.1e1+2e2叫做e1,e2的一个线性组合.由平面向量基本定理可知,如果e1,e2不共线,那么由e1,e2的所有线性组合构成的集合1e1+2e2(1,2R)就是平面内的全体向量,探究总结】 知识归纳,方法总结:用基底表示向量的两种方法 (1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直至用基底表示为止. (2)通过列向量方程或方程组的形式,利用基底表示向量的唯一性求解,题型探究】 类

6、型一:对平面向量基本定理的理解 【典例1】(1)如果e1,e2是平面内两个不共线的向量,那么下列说法中不正确的是(,a=e1+e2(,R)可以表示平面内的所有向 量;对于平面内任一向量a,使a=e1+e2的实数对 (,)有无穷多个;若向量1e1+1e2与2e1+2e2 共线,则 若实数,使得e1+e2=0,则=0. A.B.C.D,2)设向量e1与e2不共线,若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1 +2xe2,则实数x,y的值分别为() A.0,0B.1,1C.3,0D.3,4,解题指南】(1)两个向量可以作为基底的条件是不共线. (2)基底若确定.利用平面向量基本定理分解的1,2唯一

7、,解析】(1)选B.由平面向量基本定理可知,是正确的.对于,由平面向量基本定理可知,若一个平面的基底确定,那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的.对于,当12=0或12=0时不一定成立,应为12-21=0,2)选D.因为向量e1与e2不共线, 所以,规律总结】对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底,关键是看这两个向量 是否共线.若共线,则不能作基底,反之,则可作基底. (2)一个平面的基底若确定,那么平面上任意一个向量 都可以由这组基底唯一线性表示出来,设向量a与b是平 面内两个不共线的向量,若x1a+y1b=x2a+y2b,则,巩固训练】若向量a,b不共线,则c=2a-b,d=3a

8、-2b,试判断c,d能否作为基底. 【解析】设存在实数,使c=d,则2a-b=(3a-2b),即(2-3)a+(2-1)b=0, 由于向量a,b不共线,所以2-3=2-1=0,这样的是不存在的,从而c,d不共线,c,d能作为基底,类型二:用基底表示平面向量 【典例2】如图所示,在ABCD中,点E,F分别为BC,DC边 上的中点,DE与BF交于点G,若 试用a,b 表示向量,解题指南】利用向量的加法运算和中点的有关知识 结合图形求解. 【解析,延伸探究】 1.本例条件不变,试用基底a,b表示 【解析】由平面几何知识知,2.若本例中的基向量 即若 试用a,b表示向量 【解析,规律总结】平面向量基本

9、定理的作用以及注意点 (1)根据平面向量基本定理,任何一组基底都可以表示任意向量.用基底表示向量,实质上是利用三角形法则或平行四边形法则,进行向量的加减法运算,2)要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形,利用已知向量表示未知向量,或找到已知向量与未知向量的关系,用方程的观点求出未知向量,补偿训练】如图,在ABCD中,M,N分别为DC,BC的中 点,已知 用c,d表示 =_, =_,解析】设 则由M,N分别为DC,BC的中点, 得 由,得a= (2d-c),b= (2c-d,答案,类型三:向量的夹角 【典例3】(1)(2016韶关高一检测)已知向量a,b,c满足|a|=1,|b|=2,c=a

10、+b,ca,则a,b的夹角等于_. (2)已知|a|=|b|=2,且a与b的夹角为60,若a+b与a的夹角为,a-b与a的夹角为,求,解题指南】(1)根据条件,作出a,b,c构成的三角形,结合图形求夹角. (2)在图形中作出向量a,b,a+b与a-b,利用平面几何的知识结合向量的知识求解,解析】(1)作 则 (如图所示), 则a,b夹角为180-C.因为|a|=1,|b|=2, ca,所以C=60,所以a,b的夹角为120. 答案:120,2)如图,作 =a, =b,且AOB=60, 以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则 =a+b, =a-b, =a,因为|a|=|b|=2, 且AOB=60,所以OAB为正三角形,OAB=60=ABC, 即a-b与a的夹角=60. 因为|a|=|b|,所以平行四边形OACB为菱形, 所以OCAB,所以COA=90-60=30, 即a+b与a的夹角=30,所以+=90,规律总结】两向量夹角的实质及求解的关键 (1)实质:两向量的夹角,实质上是从同一起点出发的两个非零向量构成的角. (2)关键:求两个向量的夹角,关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合,然后