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文档简介

1、求一类常系数线性常微分方程特解的有限递推法*方有康*北京航空航天大学北海学院Email: *收入教育数学深圳会议论文集;被写入教材高等数学新讲(2008.10);发表于数学的认识与实践(2009.09)*作者简介:教育数学学会个人常务理事。北京航空航天大学北海学院教授。德国Albert-Ludwigs-University(Freiburg)大学应用数学博士。摘 要 : 对于非齐次项为多项式,指数函数,正(余)弦函数,或它们的乘积形式的常系数线性常微分方程,本文提出了求其特解的有限递推法.它方法统一,计算简洁,便于编程,能解决高阶问题,能在有限步内得

2、出方程的解析特解,因而优于目前广泛采用的待定系数法.关键词:常系数线性常微分方程;递推法;待定系数法MR(2000) 主题分类 11D41中图分类 O175.111. 问题的提出 本文求如下的n阶常系数线性常微分方程的特解: (1.1) (1.2)式中; =1; R;c;.在科学技术上,这是一类很重要的微分方程. 目前国内外的高等数学,工程数学或常微分方程的教科书中都采用待定系数法来求这类微分方程的特解.这需要首先求出所对应的齐次方程的特征根(因为要确定特征方程各特征根的重数),再按是特征根的重数(当(1.1)或(1.2)的右端不含三角函数时)设特解为 ;当(1.1)或(1.2)的右端含三角函

3、数时,按是特征根的重数设特解为 .然后计算的各阶导数,再把它们代回原方程中, 比较方程两边同类项的系数,得出一个线性方程组,然后再解这个线性方程组才能求出的各项待定系数.整个求解过程繁琐,计算量大.特别是方程的右端是高次多项式和三角函数及指数函数的乘积时,求导过程中的各阶导数表达式的项数将以几何级数的方式急剧增加,得出的线性方程组也是一个大型的线性方程组.当方程阶数较大时,待定系数法更是显得无能为力.本文提出的有限递推法无需先求出所对应的齐次方程的特征根,无需设定特解的形式且具有计算简洁,方法统一,便于编程,能解决高阶问题和能在有限步内得出方程的解析特解的特点,很好地解决了待定系数法所遇到的困

4、难.2主要成果 让我们首先来解决方程右边仅为多项式的情况,设方程 (2.1)式中为的次多项式.不失一般性,我们规定上式中0.因为若不然,我们可以令方程左边非零最低阶项为新的,其余各项(可以为零)按的导数的阶数由低到高分别为,且方程右边不变,对这样得出的新方程我们称之为原方程的降阶方程.求出降阶方程的特解再积分,就得出原方程的特解.例如要求的特解,我们先求出的特解,再对其积分就得出原方程的特解了.定理1令方程(2.1)左端导数阶数最小(非零)项为记,则当时(当时,方程的特解显然为), 方程的特解可由如下的递推公式最多在步内推出: , (2.2)对计算 (2.3). (2.4)证明当时, 用(2.

5、1)式的两边对求导次,便得出(2.2)式(此时的高于的各阶导数为零). 因为在上述求导过程中(2.3)式中右边的各项都已求得,所以再按(2.3)进行初等的代数递推便可得出(2.4). 例1 求方程 的特解.解 我们首先求其降阶方程 (2.5)的特解。这里.对方程次求导并删除高于的各项(显然等于零),我们有, (2.6).以代入(2.6)得再代入(2.5)得 .积分之,得所求原方程的特解为.对于方程右端是指数函数,正(余)函数与多项式的乘积形式,我们有如下的定理及其推论.定理2 设是方程 (2.7)的特解,是方程 (2.8)的特解,式中如定理1所定义.令, (2.9)是(2.1)所对应的齐次方程

6、关于的特征多项式, , (2.10) (2.11),则必有. 证明 对,方程(2.7),(2.8)可写为 , (2.12) . (2.13)将(2.13)代入(2.12)得 . (2.14)比较(2.14)两边同阶导数项给出 .当时,方程(2.7),(2.8)可写为 , (2.15)和 . (2.16)将(2.16)代入(2.15)得 =(+2)+()+ =+.对上式应用两个函数乘积的二阶导数的萊布尼茨公式,我们有 , (2.17)比较(2.17)两边同阶导数项得 .一般地,对,将(2.8)代入(2.7)得.代入 (2.9),(2.10)和(2.11)所给出的各的值,我们有=+.对上式用两个函

7、数乘积的阶导数的萊布尼茨公式得出 .于是,.证毕.推论 2.1 方程(1.1)的特解是=Re(); 方程(1.2)的特解是=Im().推论 2.2方程的特解是=. 例2 求方程 的特解.解 先确定方程 (2.18)因为 , 而 ,所以 , , 方程(2.18)为 . (2.19)先求(2.19)的降阶方程 (2.20)的特解.因,将该方程两边对求导一次并删除导数阶数高于1的项(导数阶数高于的项为零),得.以代入(2.20),得,积分得方程(2.18)的特解为 .再由推论2.1得原方程的特解为.由于该题中的非齐次项是三项连乘积,其求导后的项数是按几何级数增加的,且是方程对应的齐次方程的特征根,所

8、以此题若用待定系数法,求解是相当麻烦的, 而这里用有限递推法则简捷得多.例3 求解方程.解 首先确定方程 . (2.21)因为 , 这里,所以 , .于是 方程(2.21)为 . (2.22)先求方程(2.22)的降阶方程 (2.23)的特解. 因为,将方程(2.23)两边两次求导并删除导数阶数高于2的项,得 , (2.24) .以,代入(2.24)得 .再代入(2.23)得.积分之,得方程(2.22)的特解 =.所以原方程的特解为 .注: 当方程右端仅是指数函数与三角函数的乘积时(即方程的右边隐含零次多项式1),若算出了对中最小的使,则不必计算剩余的,因为此时必有.见下例.例4 求方程 的特

9、解.解 先确定方程 (2.25)中的系数. 由于 , ,.0,方程(2.25)的特解就是.于是,原方程的特解为.感谢 鲁东大学唐瑞娜教授及沈阳理工大学王宏栋老师曾就本文的初稿与作者进行过有益的讨论.在此,特向他们表示衷心地感谢! 参 考 文 献1 Din Tong-Ren, Li Cheng-Zhi. Ordinary differential equations (second edition).Beijing. 2002丁同仁,李承治常微分方程(第二版)北京.20022 Grossman ,S. I.: Calculus (Fifth Edition), Saunders College

10、Publishing 1992.一类多维线性规划的二维图解法 方有康北京航空航天大学北海学院关键词:对偶线性规划;二维图解法;最优解 1. 引言 在目前的中外刊物和教科书上,利用图解法只能求含有两个变量的线性规化的最优解.本文利用对偶线性规划及其最优解互补松弛条件,先用图解法求原问题的对偶规划含有两个变量多个约束的线性规化的最优解.再根据图中哪些约束对最优解不起作用,确定原规划中哪些对应的变量应为零这样就把原问题变成了只含有两个变量的线性规划问题,从而可以再用一次二维图解法求解. 含有两个约束的线性规化在实践中是有应用模型的,装载问题就是含有两个约束(

11、重量约束和容量约束)的多变量线性规化.2. 主要结果 定义 对于线性规划的最优解,如果对某个约束成立等式,则称该约束为起作用约束.若去掉某个起作用约束而不改变问题的最优解,. 则称该约束为弱起作用约束.起作用约束集中去掉弱起作用约束,剩余的各约束为强起作用约束.引理(对偶线性规划及其最优解互补松弛条件) 如果线性规划的最优解使得该规划的某些 (例如第i,j个) 约束不起作用,则其对偶规划中相对应的(第i,j个)变量为零.反之则不为零.定理1 一个有唯一解的二维线性规划有且只能有两个强起作用约束.证明 一个有唯一解的二维线性规划的最优解一定是平面可行集的一个极点.该点可能是两条或多条直线的交点.

12、但是两条非平行直线就能唯一地确定一个交点,所以对于一个最优解,有且只能有两个强起作用约束.其余相交于该点的直线都可以去掉且不改变该交点的位置,即不改变最优解与最优值.证毕. 定理2 一个有唯一解的含有两个约束性规划一定可以用两次二维图解法求解. 证明 由线性规划的对偶定理,一个有唯一解的含有两个约束的n维线性规划,其对偶规划存在并且是一个含有n个约束的二维线性规划,可以用图解法求解.由定理1知,该最优解一定是代表两个强起作用约束的两条直线(除去所有弱起作用约束)的交点.又由引理,对应于弱起作用约束的原规划中的所有变量为零,删去这些为零的变量,则原规划变为二维线性规划,可以再用一次二维图解法求解

13、.证毕.解题方法:1. 窗体顶端1.用二维图解法解原问题的对偶线性规划.看最优解处哪些约束(例如第3,第4 个)不起作用,则原问题中相对应的(第3,第4 个变量)为零.2. 删去原问题中为零的变量,用图解法求解. .窗体底端 一类多维线性规划的二维图解法 (全文) 方有康北京航空航天大学北海学院17总黄酮生物总黄酮是指黄酮类化合物,是一大类天然产物,广泛存在于植物界,是许多中草药的有效成分。在自然界中最常见的是黄酮和黄酮醇,其它包括双氢黄(醇)、异黄酮、双黄酮、黄烷醇、查尔酮、橙酮、花色苷及新黄酮类等。简介近年来,由于自由基生命科学的进展,使具有很强的

14、抗氧化和消除自由基作用的类黄酮受到空前的重视。类黄酮参与了磷酸与花生四烯酸的代谢、蛋白质的磷酸化、钙离子的转移、自由基的清除、抗氧化活力的增强、氧化还原作用、螯合作用和基因的表达。它们对健康的好处有:( 1 ) 抗炎症 ( 2 ) 抗过敏 ( 3 ) 抑制细菌 ( 4 ) 抑制寄生虫 ( 5 ) 抑制病毒 ( 6 ) 防治肝病 ( 7 ) 防治血管疾病 ( 8 ) 防治血管栓塞 ( 9 ) 防治心与脑血管疾病 ( 10 ) 抗肿瘤 ( 11 ) 抗化学毒物 等。天然来源的生物黄酮分子量小,能被人体迅速吸收,能通过血脑屏障,能时入脂肪组织,进而体现出如下功能:消除疲劳、保护血管、防动脉硬化、扩张

15、毛细血管、疏通微循环、活化大脑及其他脏器细胞的功能、抗脂肪氧化、抗衰老。 近年来国内外对茶多酚、银杏类黄酮等的药理和营养性的广泛深入的研究和临床试验,证实类黄酮既是药理因子,又是重要的营养因子为一种新发现的营养素,对人体具有重要的生理保健功效。目前,很多著名的抗氧化剂和自由基清除剂都是类黄酮。例如,茶叶提取物和银杏提取物。葛根总黄酮在国内外研究和应用也已有多年,其防治动脉硬化、治偏瘫、防止大脑萎缩、降血脂、降血压、防治糖尿病、突发性耳聋乃至醒酒等不乏数例较多的临床报告。从法国松树皮和葡萄籽中提取的总黄酮 碧萝藏 - (英文称 PYCNOGENOL )在欧洲以不同的商品名实际行销应用 25 年之

16、久,并被美国 FDA 认可为食用黄酮类营养保健品,所报告的保健作用相当广泛,内用称之为 类维生素 或抗自由基营养素,外用称之为 皮肤维生素 。进一步的研究发现碧萝藏的抗氧化作用比 VE 强 50 倍,比 VC 强 20 倍,而且能通过血脑屏障到达脑部,防治中枢神经系统的疾病,尤其对皮肤的保健、年轻化及血管的健康抗炎作用特别显著。在欧洲碧萝藏已作为保健药物,在美国作为膳食补充品(相当于我国的保健食品),风行一时。随着对生物总黄酮与人类营养关系研究的深入,不远的将来可能证明黄酮类化合物是人类必需的微营养素或者是必需的食物因子。性状:片剂。 功能主治与用法用量功能主治:本品具有增加脑血流量及冠脉血流

17、量的作用,可用于缓解高血压症状(颈项强痛)、治疗心绞痛及突发性耳聋,有一定疗效。 用法及用量:口服:每片含总黄酮,每次片,日次。 不良反应与注意不良反应和注意:目前,暂没有发现任何不良反应. 洛伐他丁【中文名称】: 洛伐他丁 【英文名称】: Lovastatin 【化学名称】:(S)-2-甲基丁酸-(1S,3S,7S,8S,8aR)-1,2,3,7,8,8a-六氢-3,7-二甲基 -8-2-(2R,4R)-4-羟基-6氧代-2-四氢吡喃基-乙基-1-萘酯 【化学结构式】: 洛伐他丁结构式【作用与用途】洛伐他丁胃肠吸收后,很快水解成开环羟酸,为催化胆固醇合成的早期限速酶(HMGcoA还原酶)的竞

18、争性抑制剂。可降低血浆总胆固醇、低密度脂蛋白和极低密度脂蛋白的胆固醇含量。亦可中度增加高密度脂蛋白胆固醇和降低血浆甘油三酯。可有效降低无并发症及良好控制的糖尿病人的高胆固醇血症,包括了胰岛素依赖性及非胰岛素依赖性糖尿病。 【 用法用量】口服:一般始服剂量为每日 20mg,晚餐时1次顿服,轻度至中度高胆固醇血症的病人,可以从10mg开始服用。最大量可至每日80mg。 【注意事项】病人既往有肝脏病史者应慎用本药,活动性肝脏病者禁用。副反应多为短暂性的:胃肠胀气、腹泻、便秘、恶心、消化不良、头痛、肌肉疼痛、皮疹、失眠等。洛伐他丁与香豆素抗凝剂同时使用时,部分病人凝血酶原时间延长。使用抗凝剂的病人,洛

19、伐他丁治疗前后均应检查凝血酶原时间,并按使用香豆素抗凝剂时推荐的间期监测。他汀类药物他汀类药物(statins)是羟甲基戊二酰辅酶A(HMG-CoA)还原酶抑制剂,此类药物通过竞争性抑制内源性胆固醇合成限速酶(HMG-CoA)还原酶,阻断细胞内羟甲戊酸代谢途径,使细胞内胆固醇合成减少,从而反馈性刺激细胞膜表面(主要为肝细胞)低密度脂蛋白(low density lipoprotein,LDL)受体数量和活性增加、使血清胆固醇清除增加、水平降低。他汀类药物还可抑制肝脏合成载脂蛋白B-100,从而减少富含甘油三酯AV、脂蛋白的合成和分泌。 他汀类药物分为天然化合物(如洛伐他丁、辛伐他汀、普伐他汀、

20、美伐他汀)和完全人工合成化合物(如氟伐他汀、阿托伐他汀、西立伐他汀、罗伐他汀、pitavastatin)是最为经典和有效的降脂药物,广泛应用于高脂血症的治疗。 他汀类药物除具有调节血脂作用外,在急性冠状动脉综合征患者中早期应用能够抑制血管内皮的炎症反应,稳定粥样斑块,改善血管内皮功能。延缓动脉粥样硬化(AS)程度、抗炎、保护神经和抗血栓等作用。 结构比较辛伐他汀(Simvastatin)是洛伐他汀(Lovastatin)的甲基化衍化物。 美伐他汀(Mevastatin,又称康百汀,Compactin)药效弱而不良反应多,未用于临床。目前主要用于制备它的羟基化衍化物普伐他汀(Pravastati

21、n)。 体内过程洛伐他汀和辛伐他汀口服后要在肝脏内将结构中的其内酯环打开才能转化成活性物质。 相对于洛伐他汀和辛伐他汀,普伐他汀本身为开环羟酸结构,在人体内无需转化即可直接发挥药理作用,且该结构具有亲水性,不易弥散至其他组织细胞,极少影响其他外周细胞内的胆固醇合成。 除氟伐他汀外,本类药物吸收不完全。 除普伐他汀外,大多与血浆蛋白结合率较高。 用药注意大多数患者可能需要终身服用他汀类药物,关于长期使用该类药物的安全性及有效性的临床研究已经超过10年。他汀类药物的副作用并不多,主要是肝酶增高,其中部分为一过性,并不引起持续肝损伤和肌瘤。定期检查肝功能是必要的,尤其是在使用的前3个月,如果病人的肝

22、脏酶血检查值高出正常上线的3倍以上,应该综合分析病人的情况,排除其他可能引起肝功能变化的可能,如果确实是他汀引起的,有必要考虑是否停药;如果出现肌痛,除了体格检查外,应该做血浆肌酸肌酸酶的检测,但是横纹肌溶解的副作用罕见。另外,它还可能引起消化道的不适,绝大多数病人可以忍受而能够继续用药。红曲米窗体顶端窗体底端天然降压降脂食品红曲米 红曲 红曲米又称红曲、红米,主要以籼稻、粳稻、糯米等稻米为原料,用红曲霉菌发酵而成,为 棕红色或紫红色米粒。红曲米是中国独特的传统食品,其味甘性温,入肝、脾、大肠经。早在明代,药学家李时珍所著本草纲目中就记载了红曲的功效:营养丰富、无毒无害,具有健脾消食、活血化淤

23、的功效。上世纪七十年代,日本远藤章教授从红曲霉菌的次生级代谢产物中 发 现 了 能 够 降 低 人 体 血 清 胆 固 醇 的 物 质 莫 纳 可 林 K( Monacolin-k ) 或 称 洛 伐 他 汀 , (Lovastatin) ,引起医学界对红曲米的关注。1985 年,美国科学家 Goldstein 和 Brown 进一 步找出了 Monacolin-k 抑制胆固醇合成的作用机理,并因此获得诺贝尔奖,红曲也由此名声大噪。 红曲米的医疗保健功效如下: 1. 降压降脂:研究表明,红曲米中所含的 Monacolin-K 能有效地抑制肝脏羟甲基戊二酰辅酶 还原酶的作用,降低人体胆固醇合成,

24、减少细胞内胆固醇贮存;加强低密度脂蛋白胆固醇的 摄取与代谢,降低血中低密度脂蛋白胆固醇的浓度,从而有效地预防动脉粥样硬化;抑制肝 脏内脂肪酸及甘油三酯的合成,促进脂质的排泄,从而降低血中甘油三酯的水平;升高对人 体有益的高密度脂蛋白胆固醇的水平, 从而达到预防动脉粥样硬化, 甚至能逆转动脉粥样硬 化的作用。 2.降血糖:远藤章教授等人曾直接以红曲菌的培养物做饲料进行动物试验,除确定含有红曲 物的饲料可以有效地使兔子的血清胆固醇降低 18%25%以上外,又发现所有试验兔子在食 入饲料之后的 0.5 小时内血糖降低 23%33%,而在 1 小时之后的血糖量比对照组下降了 19%29%。说明红曲降糖

25、功能显著。 3.防癌功效:红曲橙色素具有活泼的羟基,很容易与氨基起作用,因此不但可以治疗胺血症 且是优良的防癌物质。 4.保护肝脏的作用:红曲中的天然抗氧化剂黄酮酚等具有保护肝脏的作用。 压乐胶囊压乐胶囊成分压乐胶囊”唯一成分“红曲酵素”大纪事1970:红曲米提取6种他汀,制成降脂药世界第一红曲,是寄生在红曲米上,发酵提取 压乐胶囊的活性生物菌。70年代日本科学家远藤根据本草纲目上记载红曲的“活血”功效的启示,从红曲营养液中分离出优良的6种含胆固醇抑制剂和甘油三酯分解剂的红曲菌,被命名为“莫纳可林”即“他汀类”,此后30多年来,红曲米提取的“他汀”被世界医学界公认为最好的降脂药,在临床上大量使

26、用。 2002: 降压史上历史性突破-6种他丁+2种红曲降压素=“红曲酵素” 2002年,震惊世界的生物领域重大发明,红曲中的降糖、降压、抗癌成分(GABA-GLUCOSAMINE)通过发酵提取,在原来6种他丁的基础上合成“红曲酵素(Monacolin-R),经大量的临床试验,这种复合酵素不仅保留了生物他丁的降脂功效,而且它的降血压效果堪比任何药物,药日新闻撰文品论,红曲酵素的出现,将开辟降压药新时代。 2008: 6年临床证实“红曲酵素”降血压、治心脑、防猝死、能停药 随后的6年,5万名高血压患者临床运用证实:“红曲酵素”对调理器官微血循环、帮助血液进行重新分配,迅速降压,修复受损心脑肝肾作

27、用显著。而且“红曲酵素”降压同时、养心、护脑、清肝、活肾的功效,达到了降压药的顶峰!“红曲酵素”也被世界医学界誉为“可以媲美青霉素的旷世发现!” “红曲酵素”摘取美国医学界最高荣誉“拉斯克奖” “红曲酵素”的发现者日本Biopharm研究所所长远藤章(74岁),因此项发明被授予美国医学界最高荣誉“拉斯克奖”,纽约市长布隆博格将颁奖理由归结于“数千万人因此得以延长生命!”通 知各地消费者:为了打击假冒伪劣产品,保护消费者利益,公司从2011年4月起,正式委托国家GMP认证企业 吉林市隆泰参茸制品有限责任公司生产我公司产品压乐牌鑫康延平胶囊(以下简称压乐)。按照国家规定,压乐产品盒子和说明书做以下

28、相应调整: 1.委托生产企业由原来的“山西天特鑫保健食品有限公司”, 改为“吉林市隆泰参茸制品有限责任公司”。 2.生产地址由原来的“山西省大同县马连庄”,改为“吉林 省桦甸市经济开发区”。 3. 产品企业标准由“Q140200TTX009-2010”改为“Q/HDLTS. 09-2011”. 4.卫生许可证由“晋卫食证字(2007)140000-110039号”, 改为吉卫食证字(2008)第220282-SC4348号。 5.增加了食品流通许可证号SP1101051010090481(1-1)。 6.盒子上增加了“数码钞票花纹防伪”技术,包装上的花纹 清晰,仔细观看,花纹中间有“压乐”字样

29、。 北京鑫康胜生物技术开发有限公司2011年4月6日本店郑重声明:不卖假货!每天解释防伪码的问题真的很累!请顾客买之前先看完。厂家因为不让在网上出售,所以我们的防伪码都要刮掉,那个防伪码对于顾客来讲是查询真伪用的,但是对于代理来讲是厂家用来查串货用的,所以我们网上出售一定要撕掉,希望您理解!如果您不能接受的话,请不要拍,免得没有必要的麻烦!以后凡是因为防伪码被撕申请退货的顾客,本店一律不支持!请您考虑好了再拍!我们盒子上的防伪挖掉了一部分,是查不了的,因为厂家严查网上低价串货,厂家可以从防伪数字查出货源,不能接受的请不要拍!绝对正品,收到可以试用几天满意在确认,不满意可以全额退款!谁能详细给我

30、介绍一下药品串货。谢谢! 浏览次数:697次悬赏分:0 | 解决时间:2010-9-12 16:15 | 提问者:yanyecc 最佳答案 药品串货是一种违规操作。一般来说药品的经营,在地方都是有代理商,代理商是负责独家供货,而药品的生产厂家也会给予市场保护,每个地区不能出现同样品种的经营代理商。串货是指通过厂家发货到其他的地方,再把药品流通到有生产厂家代理商的地方市场去销售,形成了市场冲撞!分享给你的朋友吧:新浪微博 回答时间:2010-9-2 22:29 药品串货对药厂有什么害处 浏览次数:607次悬赏分:0 | 解决时间:2010-10-22 11:52 | 提问者:匿名 最佳答案 首先

31、明确什么是串货。串货的种类有以下3种: 1.良性串货:厂商在市场开发的初期,有意或者无意地选中了市场中流通性强的经销商,使其产品迅速流向市场空白区域和非重要区域。2.恶性串货 :经销商为了获得非正常利润,蓄意向自己辖区外的市场倾销商品。恶意串货形成的5个大的原因:1.市场饱和;2.厂商给予的优惠政策不同;3.通路发展的不平衡;4.品牌拉力过大而通路建设没跟上;5.运输成本不同导致经销商投机取巧。对厂家来说:害处可追溯性差,出了事搞不清状况。价格体系混乱长远看影响品牌发展。消费者得不到应有保证,经销商受到打击,不利于渠道建设。当然也有好处。所以窜货屡禁不止这里学问不小,可以慢慢交流。新浪微博 回答时间:2010-10-22 10:20 | 我来评论 压乐胶囊”唯一成分“红曲酵素”大纪事1970:红曲米提取6种他汀,制成降脂药世界第一红曲,是寄生在红曲米上,发酵提取的活性生物菌。70年代日本科学家远藤根据本草纲目上记载红曲的“活血”功效的启示,从红曲营养液中分离出优良的6种含胆固醇抑制剂和甘油三酯分解剂的红曲菌,被命名为“莫纳可林”即“他汀类”,此后30多年来,红曲米提取的“他汀”被世界医学界公认为最好的降脂药,在临床

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