第一节有界线性算子的谱

1、第一节有界线性算子的谱一. 算子代数定义：厶(X)是一复Banach空间，并且为一具有线性运算与乘法运算的代数系统，我 们称英为算子代数。性质：设R,S,T“(X),xC,则有1、结合律:(RS)T = R(ST), Tm+B=rnr(m,neN)；2、a(ST) = (aS)T = S(aT)；3、R(S + T) = RS + R(R + S)T = RT + ST ；4、单位算子/满足：IT = TI = T ；5、7XtX为同构O存在A.BL(X),使得AT = = TB :必左4 = B,称它为T的逆，记作T并称丁为可逆算子。以GZXX)记厶(X)中的可逆算子的全体。6、若S、TwG

2、L(X),贝iJSreGL(X),且(ST)1 =TS(Tny =(T-I)/当Tw GL(X)时约宦厂=(厂丫 0),厂=I,因而对任何乙厂有意义。注：1、算子乘法不满足交换律；2、阿|邙|71，|鬥|井(心)；3、若在厶(X)中SqS、TqT ,则必有SnTn -ST o定义：设丁属于某算子代数，称/(7)=工7”=%/ + 0)为算子幕级数。性质：设通常幕级数有收敛半径R,则当TeMX),|T|/?时级数 ZF-0工0Z1卜工闯Pvs引理3丄1设TeL(X),则X (/_丁尸=工厂“0只要貝右端级数收敛。特別，当|卩|1时上式必成立。推论：若T,SwL(X),T可逆，则00(T + S)

3、-=工厂 l_S 厂 g/r-()只要英右端级数收敛：特别，当|s|适当小时必成立。二、谱与谱半径定义3.1.2设Tw厶(X ),1、若不可逆，即AI-TeGL(X),则称2为丁的谱值。以b(T)记T的 谱值的全体，成其为T的谱：称G(T)= sup U|j1T(D为T的谱半径，它是以原点为中心且包含b(T)的最小的圆的半径。2、令p(T) = Cr(T),称任何的2 e p(T)为T的正则值;称R(A,T) = (AI-Tyi(Aep(T)为预解式，也记为尺(刃或心。3、若2eC,存在XH0,使得7k = /U (这相当于xeN(AI-T),则称2为T的 特征值，并称x为T关于2的特征向量，

4、称N (AI-T)为T关于特征值几的特征子空间。 以7,(7) idT的特征值的全体，称其为T的点谱。性质：1、bp(T)ub(T)；2、若TeL(X),dimXoo,则 N(AI-T) = 0) 2/-T因而勺)=b(T)。3、若dimX=oo,贝ij可能有勺工旷)，即谱值未必是特征值。泄理3.1.3 (Gelfand左理)设T w L(X),则“厂)是非空紧集，且成立谱半径公式：阿呷卩三、某些应用定理3.1.4设幕级数工的收敛半径为R、TwL(X)1、若怙R,则级数工a“T发散。注：若ra(J) = R,级数XaJn可能收敛，也可能发散。第二节算子函数一、解析扩张由定理3.4可推得：若旳0

5、是圆Dr(A)= UeC:|2-|r内的复解析函数,则当TeL(X),ra(T-/)r时，/(门=茲(T 3(3.2.3)n.O有意义，且上式右端级数绝对收敛。因y(T 一人)/) = b(T) 入=兄一入)：几 w cr(T)(,于是0(了一人)/) v 厂 o b(T 如)U 0(0) o b(T) U 几 + 0(0) = Dr(2)所以：(3.2.3)表示一个泄义于集合TeUXy.a(T)Dr().的算子函数/(T)o我们 将/(厂)视为复解析函数/(兄)的某种扩张。特别，熟知的初等函数都可适当地扩张为算子函数。例如，对数函数(1)心(兄 1)n(2 e 0 (0)可扩张为集丁 e厶(

6、X): b(厂)u 0(1)上的算子对数函数类似地，还可左义算子的指数函数正弦函数sinT,等等。但是，在通过深入思考后，我们发现这种推广并非可以简单地实现，我们将会发现以下 的问题：1、幫级数仅能表达圆域内的解析函数。对任意开集Q(czC)内的解析函数/(几)及满足 b(T)uGWTeL(X),应如何定义/(T)?2、/(T)能继承/(刃的哪些性质？3、函数/(T)仅只是/(兄)的形式扩张，还是有某些不可缺少的实质性应用？为解决以上问题，先介绍算子积分的概念。设厶是复平而上任一可求长曲线，T(r)是立义于厶上而取值于厶(X)中的函数(称为 算子值函数)，则可用通常的分割、求和、取极限”的方式

7、泄义丁)沿厶的积分：其中必眄,为厶上顺次排列的分点，6与分别为厶的起点与终点，冬是厶上介于71 与 之间的任一点，5 = rz -rCl z /)。性质：1.当丁匕)对厂连续时，上述积分必存在。2、对任给的/ e X*与xwX有= drF而考虑任意复解析函数的扩张问题。取定非空开集GuC,以H(G)记C内的复解析函数之全体，令Dn=7eL(X):7(T)c=Q设/(Z)eH(Q),TeDn,今探求/(T)的合理泄义。因未必有某个圆0(久)，使得形如式(3.23)的左义式一般不再有效。注意到在复函数理论中，复解析函数不仅可表为幕 级数，而且可表为积分，即有如下形式的Cauchy公式表示：2托iJ

8、L其中厶是0内任一围绕几的简单闭曲线(或称用道，且假定沿英正方向行进时，保持2所在区域在左边)，我们设想将/(T)类似地立义为f(T)=/(r)(r/-n_，r(326)2托iJL定义3.2.1任给/(2)eH(与TeDn,取。内任一用绕b(7)的用逍厶，依式(3.2.6)定义/(T),则得到一个从Q到L(X)的函数/(T),称它为/(几)的解析扩张， 或简称为扩张。注：1、式(3.2.6)右端的积分必存在。2、式(3.2.6)右端的积分不依赖于厶的选择。3、世义式(3.2.3)与(3.2.6)(两者都可使用时)是一致的。4、/(门的确是/(兄)的扩张。首先，显然是一等距嵌入，且此嵌入保持乘积

9、运算。因此，不妨认为Cu厶(X),即将几与2/等 同。显然b()= /l,因此可以认为GuQ。VAeQ,在G内取一围绕;I的围道厶， 则/(2Z) = ?Lj/(r)(rZ-AZ)-,Jr=/(r)(r-2)-W=/W/2tti JL可见/(A/)与/(几)一致。二、解析扩张的性质定理3.2.2 设/(A),(2)e H(Q),/?(2) e , guCuC,TeQ,则1、(/ + g)(T) = /(D + g(T)：2、(M) = /(T)g(C；3、(ho/)(T) = /7(/(T)0定理3.2.3 (谱映射定理)设/(2)e/7(Q),7eZ)n,则有r(/(T) = /(a(T).

10、三、谱分解定理324(谱分解定理)设TeL(X),o-(D = U0,令fl, =2eC: J(2,r, ) )(1 / n),使得可互不相交.令n = (jQ,，则。为开集,b(T)uC 以/亿)记篡之特征函数，则 1Z(A) e H(Q).令 P、= /(T), Xf = RX，以下验证 X, (Id)即为所求.验证(3217)式。显然有恒等式：fiWfjW = 1 (八。i于是，由定理3.2.2得P.P =6jPQ严 IQS j )(3.2.19)r特别,用= A(19S),由工R = I得X=mZXi，这意味着对每个xeX有分解ri% =兀，Xj 已 X：(1 z , e X ,使兀=

11、“，从而由式(3.2.19)有 兀=工6弓儿=工纟号兀=工 = Pix。iji这表明分解式(3.2.20)是惟一的，因而直和分解式(3.2.17)成立，且片就是从X到X, 的投影。下证 X：= 2(弓)(19Sn)。若xwN(P),则x = Ix = p,x+p,x = pixPiX = X/ 反之，若xwXj,则有Ptx = x,这是因为，由Xi的定义，有yeX,使得y = x,所以Ptx = Py = Pty = x .故(力即= a_)x = g = 0,所以N(才)。又 Xi=N(P,gS)是 X 声*/护的闭子空间(有界算子工P,的核是闭子空间)，故式(3.2.17)是拓扑直和。洋i

12、(2) 证明(3218)。任给 xeX ,令 x, = Zx(l i n),贝 ijTx = TD=ZTziii因 TXj = TRX =PXuRX = X故 X,(l in)是 T 的不变子空间。(3) 证明b() = q(l彳 S)。只要证b(G = “。不妨设n = 2 (否则合并cr2,cr3,-,(7w)0 任取20 e 0,使得卜SC|H|,卜2|SC制,故|圈|勺砧|+|陶|勻岡啊|+|网帆卜C(|岡|+|网|)卜|可见S有界，而()/ -T)Sx = T)(Blxl + Bx2) = (AI T)Bxx +(21 T)Bx2=(入J -TJBe + (入)/ -T)B(/ Bl

13、xl eXJ=(人)/ 一 TJBe + (如- T2 )Bx2=x+x2=x o同理：S(I-T)x = xo将推岀I-T可逆，这与入Eb|Ub(T)相矛盾。这就证明了巧ub(7；)。反之，若人e 甲),则必入 ()。否则，A.I-T可逆，这将推出I-TX与；V -驾均可逆。若儿已6,则依上段所证将有入&r(7),矛盾，故必Ao e cr,因此= 第四节Hilbert空间上的有界线性算子以下假立H是给左的复Hilbert空间。一、相伴算子 泄义3.4.1任给T w L(H),由恒等式 决左一个算子T仕L(H),称它为T的相伴算子。下面说明：T*的确存在。首先，任给ywH、由wvW = (xe

14、H)r显然泄义了一个itv e H * ,且帆.卜円卜|。由Riesz表现左理，存在由讥(因而也就由y )惟一决定的y*eH ,使得wv(x) = (xeH),且卜*11 =帆|。只要令T*y = y*，就得到一个确泄的算子y *,它使得恒等式(3.4.2)成立，且P円诽|7|卜下证是线性的，即T * (ay + fiy2) = aTy+pT y2 (ayft e C, yt .y2eH),这只需注意到下而的推理即可：= a+/?=a +0=(Vx e /) o故左义3.4.1是合理的。例：设 A = atj e C,xw ,则 Vx,yeC”，有=工(5代氏=D/X/讦=工耳工石儿= f J

15、j i J这表明a* =石=才,即A*即为A的共辘转置。例：设 TeL(Z?(J)是以 K(x,y)el3(JxJ)为核的积分算子,J =a,b(a b),则 V,veZ?(J),有(y)心 j K(x,y)v(x)clx= f v(x)clx f K(x, yMydy =J u(x)dx K(yx)v(y)dy = 所以T*是以疋而为核的积分算子。命题3.4.2对任给的T、S已LlHa、0已C,成立以下等式：(刃+处)* =齢+如；(73)* = S *T*,(rr)* = (T*)n :(7-1)* = (T*r，(若T 可逆)：厂* = 7:|T*| = |T|；|T|2=|7T*| =

16、 |r*T|.推论：映射是等距共辄同构。二、自伴算子与U算子在线性代数中，对A e C,xn,若有A4* = A*A,则称4为正规矩阵；若A = 4*,则称A为Herinite对称矩阵；若A* = A-1,则称A为U矩阵。定义3.4.3设TeL(H)o若7T* = T*T,则称T为正规算子；若丁 = 丁*,则称丁为自伴算子：若T* = T，则称丁为U算子。注：1、自伴算子与U算子都是正规算子。2、若AeL(H)是自伴算子，则T = ebK是U算子。3、若T e L(H)是U算子，且b(T)不充满复平而上的单位圆周，则必有自伴算子AeL(H),使得T =命题：3.3.4设TeL(H),则以下结论

17、成立：1、T是正规算子 o|7x| = |T*x|(Vxe/7), 2、T是自伴算子OV7xwR(Vxw/7)。3、了是U算子OT.HH是等距同构。泄理 3.4.5 设 TeL(H)01、若T是正规算子，贝il(T)=|T|e2、若T是自伴算子，则b(T)uR；设加,M 是包含b(厂)的最小闭区间，贝IJm = inf . M = sup :lll1|x|-l|T| = supI卜3、若丁是U算子，则V2 e 0-(7),有| = 1，即bDuSj S】表单位圆周。三、正算子泄义3.4.7设T、SeL(H)是自伴算子。若nO(V.yH),则称了为正算子，记作T0：若T SnO,则约)iLTS或SS7注：1、自伴算子是正算子的充要条件是英谱值非负。2、H上的自伴算子