导数在实际生活中的应用 苏教版选修1 1同步分层练习

1、(二十)导数在实际生活中的应用(建议用时：45分钟)基础达标练一、填空题4 321. 一质点沿直线运动， 如果由始点起经过t秒后的距离为S = -t 2t ,那么速度为24的时刻是秒末.:95902250】【解析】由题意可得t 0,且S = 4t2 4t，令S = 24,解得t = 3( t = 2舍去).答案】32已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y1 3=x3+ 81x 234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为 万件.解析】令y= x2 + 81 = 0,解得x= 9或x= 9(舍去).f(x)在区间(0,9)内是增函数，在区间(9 ,+)上

2、是减函数， f (x)在x= 9处取最大值.答案】93已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少 米.40 000(40 000、解析】设广场的长为x米，则宽为厂米，于是其周长为 y= 2x+ (x0),-(40 000、人所以 y= 2 1 x2 ，令 y，= 0,解得 x= 200( x= 200 舍去)，这时 y= 800.当 0 vxv 200 时，yv 0;当 x 200 时，y 0.所以当x = 200时，y取得最小值，故其周长至少为800米.答案】8004要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm.要使其体积最大，则高为 .:95902251】解析】 设圆锥的高为h cm(0v

3、 hv 20)，则圆锥的底面半径r = 202 h2 = , 400 h2(cm),1?1213.11V= V( h) = 3 n r h = 3 n (400 h ) h= 3 n (400 h h ) , V = 3 n (400 3h )，令 V = 2n (400 3h) = 0,解得h=专.3由题意知V定有最大值，而函数只有一个极值点，所以此极值点就是最大值点.【答案】203cm5.要做一个底面为长方形的带盖的盒子，其体积为72 cm3，其底面两邻边边长之比为1 : 2,则它的长为 、宽为、高为时，可使表面积最小.【解析】设底面的长为2x cm，宽为x cm,则高为36孑Cm，表面积

4、S= 2X2 x x+ 2X x 36 + 2X2 x 36 = 4x2 + 216(x0),xxx216S= 8x _x,由 S= 0,得 x = 3, x (0,3)时,Sv 0, x (3 ,+s)时,S 0, x= 3时，S最小.此时，长为 6 cm,宽为3 cm,高为4 cm.【答案】6 cm 3 cm 4 cmIn x, 0x1与l2垂直相交于点 P,且li,丨2分别与y轴相交于点 A, B,则 PAB的面积的取值范围是:95902252】【解析】由图象易知 P , F2位于f (x)图象的两段上，不妨设P1(X1, ln X1)(0 X11),1贝U函数f (x)的图象在P处的切

5、线l 1的方程为y + ln X1 = X(x X,x即 y = + 1 ln X1.X1宀1x则函数f (x)的图象在 R处的切线12的方程为y ln X2= (x X2)，即y = 1 + ln X2. X2X21 1由I 1丄丨2,得一一X= 1 ,X1 X2 X1X2= 1.由切线方程可求得A(0,1 In X1), B(0 , In X2 1),由知丨1与丨2交点的横坐标XP= 2 X2 =11X1+ X2+X1 X21 2sPAB= 2 X (1 ln x1 ln X2+ 1) X 冇2X1 + X21 .X1 + X11又 * (。“訐2011 ,即卩 0Sx PAE0，右侧L(

6、p) v0,所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，此时，L(30) = 23 000.即零售价定为每件 30元时，最大毛利润为 23 000元.【答案】23 000元、解答题9. 某制瓶厂要制造一批轴截面如图 3-4-3所示的瓶子，瓶子是按照统一规格设计的， 瓶 体上部为半球体，下部为圆柱体，并保持圆柱体的容积为 3 n .设圆柱体的底面半径为 X，圆 柱体的高为h,瓶体的表面积为 S.(1) 写出S关于x的函数关系式，并写出定义域；(2) 如何设计瓶子的尺寸(不考虑瓶壁的厚度)，可以使表面积 S最小，并求出最小值.:95902254】【解】(1)据题意，可知n X

7、2h= 3n，得h = X32,1S= 24(X 0)22326 nn x + n x + 2 n x 子=3 n x + ,S令S= 0,得x= 1,舍负x(0,1)1(1 , +m)S(x)一0+S(x)/极大值9 n当x = 1时，S取得极小值，且是最小值答：当圆柱的底面半径为1时，可使表面积 S取得最小值9n .10. 某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x(0 vxv 1)，那么月平均销售量减少的百分率为x2.记改进工艺后，旅游部门

8、销售该纪念品的月平均利润是y(元).(1) 写出y与x的函数关系式；(2) 改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.解】(1)改进工艺后，每件产品的销售价为 20(1 + x),月平均销售量为 a(1 x2)件,则月平均利润 y= a(1 x )20(1 + x) 15元，所以y与x的函数关系式为 y= 5a(1 + 4x 23x 4x )(0 v xv 1).2 1 2 1由 y= 5a(4 2x 12x) = 0 得 X1 =空或 X2= 3(舍)，当 0 x 0;当?x 1 时，y 0,所以函数 y= 5a(1 + 4x x2 4x3)(0 x 0).已知

9、贷款的利率为 0.0486 ,且假设银行吸收的存款能全部放贷出去.设存款利率为x, x (0,0.0486)，若使银行获得最大收益，则x的取值为【:95902255】【解析】依题意，存款量是kx2,银行支付的利息是kx3,获得的贷款利息是23其中 x (0 , 0.0486).所以银行的收益是y = 0.0486 kx kx (0 x 0;当 0.0324 v x0, f(x)是递增的，当x 当 x =j 3，2 时，f (x) v 0, f(x)是递减的,f (x)取最大值一.【答案】 甘4甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失，并获得

10、一定净收入. 在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x(元)与年产量t(吨)满足的函数关系是 x= 2000 t,乙方每年产一吨产品必须赔付甲方 s 元(以下称s为赔付价格).(1) 将乙方的年利润 VV元)表示为年产量t(吨)的函数，并求出乙方获得最大利润时的年 产量；(2) 甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y = 0.002 t2，在乙方按照获得最大利润的年产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？:95902256】*(t 0),【解】 (1)由题意，得 W 2000 t st = s t 10 ，卫当t=迈，即t=竺时，现得最大值，为兰,SSS乙方获得最大利润时的年产量为 耳吨.S(2)设在乙方按照获得最大利润的年产量进行生产的前提下，甲方在索赔中获得的净收 入为V元.669102102X 10T t = 2 , V= st 0.002 t = 2 4.ss s1068X 109V= -T