3高斯公式与斯托克斯公式30003

1、数学分析下册第二十二章 曲面积分石家庄经济学院数理学院 3高斯公式与斯托克斯公式教学目的 学会用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托克斯公式计算第二型曲 线积分.教学内容 高斯公式；斯托克斯公式；沿空间曲线的第二型积分与路径无关的条 件.(1)基本要求：学会用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托克斯公式计算 第二型曲线积分.懂得高斯公式与斯托克斯公式证明的思路，掌握沿空间曲线的 第二型积分与路径无关的条件.(2)较高要求：应用高斯公式与斯托克斯公式的某些特殊技巧.教学建议本节的重点是要求学生学会用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托 克斯公式计算第二型曲线积分.要讲清应用两公式的条件并强调曲面与曲面

2、的边 界定向的关系.教学程序高斯公式定理22.3设有空间区域V由分片光滑的双侧闭曲面S围成.若函数P,Q,R 在V上连续，且具有一阶连续偏导数，则fff f + + dxdydz fl P(x, y,zdydz + Q(x, y,zdzdx+ R(x, y,zdxdy V V/xcy 氏丿=S其中S取外侧.称为高斯公式.川 企Ixdydz 謝 Rx, y,z dxdy证只证V需Z= SJJJ dxdydz 剌P(x, y, z dydzJJJ dxdydz FJQ(x, y, z Jdzdx类似可证V &= S和V勿=S这些结果相加便得到了高斯公式.先V设是一个xy型区域，即其边界曲面S由曲面

3、S2 : Z =Z2(x,y )(x, y 卢 DxyS1 : z = Zi(x, y )(x, y 卢 Dxy及垂直于Dxy的边界的柱面S3组成其中Zi(x,y)Mz2(x,y).于是按三重积分的计算方法有须巩叫Rfff dxdydzJJdxdy J dzV &= DxyZ1(x,y fzU(R(x, y, Z2(x, y )- R(x, y,乙(x, y pxdy= DxyJJ R(x, y, Z2(X, y jpxdy JJ R(x, y,乙(x, y )dxdy= DxyDxyJJ R(x, y, z dxdy JJ R(x, y, z dxdy =S2S1JJR(x,y,zdxdy

4、+ JJ R(x, y,z dxdy=S2-S1其中Si,S2都取上侧.又由于S3在xy平面上投影区域的面积为零，所以JJR(x, y,z dxdy =0S3因此cR川 Fxdydz JJR(x,y,z dxdy + JJR(x, y,z dxdy ffRx, y, zjdxdyV OZ= S2_Si+ S3列 R(x, y,zdxdyS对于不是xy型区域的情形，则用有限个光滑曲面将它分割成若干个 xy型区域来讨论.详细的推导与格林相似.空间区域V的体积公式：川(1 +1 +1 dxdydz qj xdydz + ydzdx + zdxdyV= S1-xdydz + ydzdx + zdxd

5、y V =3 sfly(x - z dlydz+x2dzdy+(y2 + xzdxdy例1计算s,其中s是边长为a的正立方体表面并取外侧.解 应用高斯公式，所求曲面积分等于谓(y(x_z)+敖敎+xz*xdydzI 2 I川(y+xxdydz Jdz Jdy J(y + x jdx a J ay+a idy = a V=000uol2 丿、斯托克斯公式双侧曲面S的侧与其边界曲线L的方向的规定：右手法则.定理22.4 设光滑曲面S的边界L是按块光滑的连续曲线.若函数P，Q，R在S (连同L)上连续，且有一阶连续偏导数，则fcRQIX /许fryX t一 dydz+1 - idzdx +9cz丿

6、Iczex 丿-xdy 亡JP dx+Qdy + Rdz创丿 =L(2)ex其中S的侧与L的方向按右手法则确定.证明先证cP点Pff dzdx - dxdy q Pdx s*dy =L(3)其中曲面S由方程z = g确定,它的正侧法线方向数为(zx,ZyL1)，方向余弦为(cosot,cosP,cosY)，所以cz _ cos。 exCOsYczcos P= cycosY6若S在平面上投影区域为Dxy，L在平面上的投影曲线为现由第二型曲线积分 的定义及格林公式有L、qP(x, y,zdx qP(X, y, z(x,y )dlx - Uf P, y, x, y MxdyL=r= DxyT左 P(

7、x,y,z(x,y)+ 空亘因为刊电列，所以-篇p(x，y，z(x，y)d幼-ncP cP cz、+dxdycz由于科cos PcosY，从而S仔翡肌诡唸閔xdy-nS俚cosVcosdxdyP丿 cosY-nScosY-cosdsZ色丿口竺dzdx-竺 dxdy=S比创综合上述结果，便得所要证明的(3)式.同样对于曲面S表示为x=x(y,z )和y = y z，x )时，可证得|7cR3R17 dydz - dzdx q Rdz S创泳 =L(5)将( 3),( 4),( 5)三式相加即得(2)式.如果曲面S不能以z = z(x,y)的形式给出，则可用一些光滑曲线把S分割为若 于小块，使每一

8、小块能用这种形式来表示.因而这时(2)式也能成立.公式(2)称为斯托克斯公式，也可写成如下形式:dydzexPdzdxQdxdyczR寸 Pdx + Qdy + Rdz=L坐标面的交线，取逆时针方向为正向.解应用斯托克斯公式q(2y + zdx +(x - z dy + (y - X jdz例2计算Lq(2y + z dx +(x - zdy + (y - X dzL川1 +1 dydz +(1+1 dzdx + (1 - 2dlxdy =SJj2dydz+2dzdx-1dxdy 1=S=22单连通区域：如果区域V内任一封闭曲线皆可以不经过V以外的点收缩于属 于V的一点，则称V为单连通区域.非

9、单连通区域称为复连通区域.定理22.5 设O u R3为空间单连通区域若函数在上连续，且有一阶连续偏导数，则以下四个条件是等价的:(i) 对于0内任一按段光滑的封闭曲线L ,有qPdx + Qdy + Rdz L=0.(ii) 对于O内任一按段光滑的曲线L,曲线积分fP dx +Qdy + RdzL与路线无关.只与L的起点及终点有关。(iii) Pdx +Qdy +Rdz是o内某一函数u的全微分，即du = P dx +Qdy +Rdz.垃=JR 哲空立 科，x 氏在O内处处成立.证明略例3 验证曲线积分与路线无关，请求该表J(y+ zdx+(z + xdy+(x + y dzL达式的原函数u(x，y，z).解由于p=y+zQ=z + x R=x +y55护 如 如 芒R cR cP故科 &二乏 勺=戲盘=1,所以曲线积u(x,y,zLJ(y +z dx +(z +x dy +(x+ y dzM oMX分与路线无关.现求xyzJ(yo +zo ds J(zo