线性代数：LA1-6 若干特殊矩阵_第1页
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文档简介

1、1.6 若干特殊矩阵,一、对称矩阵与反对称矩阵,定义1.6.1,设A是n阶方阵。若AT=A, 则称A,是对称矩阵,例1.6.1 设A是任一n阶方阵，则 A+AT 是对称矩阵，AAT是反对称矩阵,证 因,故,是对称矩阵,若ATA, 则称A是反对称矩阵,故,是反对称矩阵,又,例1.6.2 设A是任一方阵，则A可表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和,例1.6.3 设A 与B 是两个 n 阶对称矩阵，I 是 n 阶单位矩阵。证明：若 A 与 B 均可逆，则,也是对称矩阵,证 由已知条件,利用性质 1.2.5 和性质 1.4.1，我们有,结论,二、对角矩阵,定义1.6.2 下列主对角线以外的元素全为零

2、的n阶方阵,称为对角矩阵,对角矩阵通常简记为,或,当,时,称之为数量矩阵。若 k =1，则数量矩阵即是单位矩阵,对角矩阵的秩等于其非零主对角元的个数,对角矩阵A,可逆,全不为零，当A可逆时,都是对角阵,A, B 为对角阵,则,结论,定义1.6.3 设A 是分块矩阵,若子块A1, A2, , At全是方阵，则称A是准对角矩阵，可简写为,注 在可运算的条件下，准对角矩阵的 和、差、积、幂以及数量乘积仍是 准对角矩阵,例1.6.6 设A是准对角矩阵,当A可逆时,三对角线矩阵,一般简记为,三、三角矩阵,定义1.6.4. 设A与B是两个n 阶方阵,则称A是上三角矩阵，B是下三角矩阵,注 上（下）三角矩阵的和、差、积、幂以及数量乘积仍是上（下）三角矩阵,例1.6.8 可逆的上（下）三角矩阵的逆矩阵也是上（下）三角矩阵,例1.6.7 三角矩阵可逆的充分必要条件是其主对角元全不为

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