高中数学 精讲优练课型 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数(二) 新人教版必修4

1、1.2.1 任意角的三角函数(二,知识提炼】 1.相关概念 (1)单位圆： 以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆. (2)有向线段： 带有_(规定了起点和终点)的线段. 规定：方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值，反之为负值,方向,2.三角函数线,MP,OM,AT,即时小测】 1.判断. (1)三角函数线的长度等于三角函数值.() (2)三角函数线的方向表示三角函数值的正负.() (3)对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线.(,解析】(1)错误.三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值. (2)正确.凡是与x轴或y轴正向同向的为正值，反向的为负值. (3)错误.对任意角都能作出正弦线、余弦线，

2、但不一定能作出正切线.如角 正切线不存在. 答案：(1)(2)(3,2.角 和角 有相同的() A.正弦线B.余弦线C.正切线D.不能确定 【解析】选C.由于 ，即两角的终边在一条直线上，因而它们的正切线相同,3.已知角的正弦线的长度为单位长度，那么角的终边() A.在x轴上 B.在y轴上 C.在直线y=x上 D.在直线y=-x上 【解析】选B.由题意得，sin=1，故角的终边与单位圆的交点坐标为(0，1)，所以角的终边在y轴上,4.如果MP和OM分别是 的正弦线和余弦线，那么下列结论中正确的是() A.MPOM0 B.MP0OM C.OM0MP D.OMMP0 【解析】选C.作出角 的正弦线

3、和余弦线， 如图所示. 观察图象可知：OM0MP,5.若角的余弦线的长度为0，则它的正弦线的长度为_. 【解析】若角的余弦线长度为0，则角的终边在y轴上，此时其正弦线长度为1. 答案：1,知识探究】 知识点 三角函数线 观察如图所示内容，回答下列问题,问题1：三角函数线的方向有何特点？ 问题2：用三角函数线表示三角函数时其符号是如何确定的,总结提升】 1.三角函数线的意义 正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数的几何表示，这三种线段都是与单位圆有关的有向线段，这些特定的有向线段的数值可以用来表示三角函数值,2.对三角函数线的四点说明 (1)三条有向线段的位置 正弦线为角的终边与单位圆

4、的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线.三条有向线段两条在单位圆内，一条在单位圆外. (2)三条有向线段的方向 正弦线由垂足指向角的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点(1，0)指向与角终边的交点,3)三条有向线段的正负 三条有向线段凡是与x轴或y轴同向的为正值，与x轴或y轴反向的为负值. (4)三条有向线段的书写 有向线段的起点字母在前面，终点字母在后面,题型探究】 类型一 三角函数线的作法 【典例】1.若角(02)的正弦线与余弦线的数量互为相反数，那么的值为() 2.分别作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线,解题探究】1.典例1中

5、，正弦线与余弦线的方向有什么特点？终边落在何处的角的正弦与余弦的绝对值相等？ 提示：正弦线与余弦线的方向一个与坐标轴同向，另外一个与坐标轴反向.终边落在直线y=x或直线y=-x上的角的正弦与余弦的绝对值相等. 2.典例2中，作正弦线、余弦线、正切线的关键是作哪两条垂线？ 提示：过角的终边与单位圆的交点作x轴的垂线， 过点(1，0)作x轴的垂线,解析】1.选D.若角的正弦线与余弦线的数量互为相反数，那么的终边落在直线y=-x上(如图所示)，又因为02，所以= 或,2.作图如下： 图(1)、(2)、(3)、(4)中的MP，OM，AT分别表示各个角的正弦线、余弦线、正切线,方法技巧】三角函数线的画法

6、 (1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线. (2)作正切线时，应从A(1，0)点引x轴的垂线，交的终边(为第一或第四象限角)或终边的反向延长线(为第二或第三象限角)于点T，即可得到正切线AT,变式训练】试作出角= 的正弦线、余弦线、正切线. 【解析】如图： = 的正弦线、余弦线、正切线分别为MP，OM，AT,类型二 利用三角函数线比较大小 【典例】1.若( ，)，则下列各式错误的是（ ） A.sin +cos 0 B.sin -cos 0 C.|sin |cos | D.sin +cos 0 2.设是第二象限角，试比较

7、sin ，cos ，tan 的大小,解题探究】1.典例1中，sin，cos是正数还是负数？角的正弦线和余弦线的长度之间有什么关系？ 提示：sin0，cos0，角的正弦线的长度比余弦线的长度小. 2.典例2中，如何确定 的终边所在区域？可以用什么方法比较sin ，cos ，tan 的大小？ 提示： 的终边在第一象限或第三象限.可以画出 的三角函数线用数形结合的方法比较sin ，cos ，tan 的大小,解析】1.选D.因为 作出角的正弦线和余弦线如图所示， 所以sin0，cos0,2.因为是第二象限角， 所以 +2k+2k，kZ， 所以 +k +k，kZ， 所以 是第一或第三象限的角(如图阴影部

8、分).结合单位圆上的三角函数线可得,1)当 是第一象限角时， sin =AB，cos =OA，tan =CT， 从而得，cos sin tan ； (2)当是第三象限角时， sin =EF，cos =OE，tan =CT， 得sin cos tan . 综上所得，当在第一象限时，cos sin tan ； 当在第三象限时，sin cos tan,延伸探究】典例1中，若是第一象限角，试判断sin+cos的值与1的大小关系. 【解析】如图，角的终边与单位圆交于P点，过P作PMx轴于M点，由三角形两边之和大于第三边可知sin+cos1,方法技巧】 1.三角函数线比较大小的两个关注点 (1)三角函数线

9、是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值. (2)比较两个三角函数值的大小，不仅要看其长度，还要看其方向. 2.sin+cos和sin-cos的符号规律,变式训练】(2015鞍山高一检测)sin1，sin2，sin3，sin4的大小顺序是_. 【解题指南】作出四个角的正弦线，观察图形比较大小.难点是比较sin1与sin2的大小，关键分析哪个角的终边离y轴近,解析】作出1，2，3，4的正弦线如图所示， 因为3，所以 -12- ， 观察图可知：sin40sin3sin1sin2. 答案：sin4sin3sin1sin2,补偿训练】用单位圆及

10、三角函数线证明：正弦函数在 上是增函数. 【证明】设012 ，分别作1，2的 正弦线如图所示： sin1=M1P1，sin2=M2P2. 因为012 ， 所以M1P1M2P2，即sin1sin2，所以正弦函数在 上为增函数,类型三 用三角函数线解三角不等式 【典例】在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围，并由此写出角的集合 (1)sin .(2)cos- .(3)tan-1,解题探究】本例中解三角不等式首先要作出哪些角的终边？ 提示：首先要作出满足sin= ；cos=- ；tan=-1的角的终边,解析】(1)作直线y= 交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域即为角的终

11、边的范围，故满足条件的角的集合为|2k+ 2k+ ，kZ,2)作直线x=- 交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角终边的范围.故满足条件的角的集合为|2k+ 2k+ ，kZ,3)在单位圆过点A(1，0)的切线上取AT=-1，连接OT，OT所在直线与单位圆交于P1，P2两点，则图中阴影部分即为角终边的范围，所以的取值集合是|- +k +k，kZ，如图,延伸探究】 1.(变换条件)若将本例(2)改为求使 有意义的的取值集合，则结果如何？ 【解析】如图，因为2cos-10，所以cos . 的取值集合为2k- ，2k+ (kZ,2.(变换条件)本例(1)中角

12、满足的条件改为：- sin ， 试求的取值集合. 【解析】由三角函数线可知 且 故的取值范围是,方法技巧】利用三角函数线解三角不等式的方法 (1)正弦、余弦型不等式的解法 对于sinxb，cosxa(sinxb，cosxa)，求解关键是恰当地寻求点，只需作直线y=b或x=a与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围. (2)正切型不等式的解法 对于tanxc，取点(1，c)连接该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图象可确定相应的范围,补偿训练】利用单位圆中的三角函数线，确定角的取值范围使 - cos . 【解析】如图中阴影部分就是满足条件

13、的角的取值范围，即 2k+ 2k+ 或2k- 2k- ，kZ,延伸探究】 1.(变换条件)将角满足的条件改为- cos ，求角取值范围. 【解析】如图中阴影部分就是满足条件的角的取值范围，即 2k+ 2k+ 或2k+ 2k+ ，kZ,2.(变换条件)求满足 的x的取值范围. 【解析】要使函数有意义，则 所以 如图所示， 所以,易错案例 三角函数线在解三角方程中的应用 【典例】（2015广州高一检测）已知tan x= ，则x的集合为 （ ） A.x|x=2k+ ，kZ B.x|x=2k+ ，kZ C. D.x|x=k+ ，kZ,失误案例,错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？ 提示：错误的根本原因是在02内寻找正切线为 的角不全面.实际上 与 的终边互为反向延长线，两个角的正切线相同,自我矫正】选D.因为 与 的终边互为反向延长线，所以两角的正切线相同(如图所示)，所以tan =tan =,若tan x= ，则角x的终边落在角 终边上或落在角 终边上，所 以x的集合为x|x=