两角和与差的正弦

1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式（对应学生用书（文卜（理）4950页）谦前-考点引领考点删*涉*4* I掌握两角和与差的三角函数公式，能运用两 角和与差的正弦、余弦和正切公式进行简单 的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.了解用向量的数量积推导出两角差的余 弦公式的过程. 能从两角差的余弦公式推 导出两角和的余弦、两角和与差的正弦、两 角和与差的正切公式，体会化归思想的应用.3 + 2 =1.訂 1 - 7X533.（必修4P94习题2（1）改编）若sin a = 5, a5 答案：当10f n n 、3解析：由 a L , J, sin a = 5，得 cos a5 n . 5 n V2=c

2、os a cos sin a Sin=4427n专）则cos（a+讣=5由两角和与差的余弦公式得cos（ a+乎（COSa sin a ）=协.1.（必修4P106习题1改编）计算cos42 cos18 cos48 sin 162 的结果等于 答案：11解析：原式=sin48 cos18 cos48in18 = sin（48 18= sin30 =-.2.（必修 4Pi04习题 5改编）已知 tan（a6j= 3,tang + 寸=则 tan（计答案：1”.n n ,tan（a 汀 tang+B解析：tan（ a+ B ） tan（石）+（石 + B ）=厂1 tan asin 47 sin

3、17 cos 30cos 174. TT 答案:解析:因为所以原式=sin 47 = sin（30 17 = sin 30 cos 17+ sin 17 cos 30 sin 30 cos 17 + sin 17 cos 30 sin 17 cos 30 .巾 1 =sin 30 =-.2cos 17Lxg卅g H dU一s BsooI r-OLm N qs8&u-sqSooBSoo (g gu一s(g + 10)u 一s云- lux B uej u口 e (g 三u_sg (g+ 10)u_s .e - IH g X He eq Soo d u-s OL 一 H q u一S Bsoo I q

4、 Soo B u一s- n F q U一S&S8+ qs8BU一SOL g ugsooH X Iwx uej ,込U2眉W Bue4 耳=rwOLss TH(gi)u_s f (g+B)u 一s 呈卫皑 9fM0LLd 寸舉迫)鶯知识清Ta 3.1. 两角差的余弦公式推导过程设单位圆上两点P1(cos a , sin a ), P2(cos 3 , sin 3 )，则/ P1OP2 =向量 a= Op1 = (cos a , si na ), b= Op2= (cos 3 , si n3 ),则 a b= |a|bcos( 3 = cos( a- 3 )由向量数量积的坐标表示，可知a b= c

5、os a cos 3 +sin a sin 3 ,因而 cos( a- 3 = cos a COS 3 + sin a sin 3 .2. 公式之间的关系及导出过程L 令严翊 *、Il Jl匚” If*fljl书古 rt)和土御Sii:武円式根除3.公式cos( 0-3 ) cos a cosOSin a sin cos( a 3)= cos a COS-35 in a sin sin( sin(*1*1曲式相廉tan(tan(3 ) sin a co Sos a sin3 ) sin a coO Bos a sin tan tan 33 = 1 + tan a tan 3 tan a tan

6、 33 并 1 tan a tan 33333、22a4. asin a + bcos a = va + b sin( + O )其中 cos O =22, sin Opa + bp2-2, tanO =7a2 + b22冷的终边所在象限由a、b的符号来确定.a备课札记课中-At巧点扬 ffi根俑圈题型1例 1(1)求值:* 鼻叫宅科击I巨三角函数式的化简与给角求值化简：tan(6 0 tan & + 0+/3tan & 2sin 50 +sin 10 (1 + V3tan 10 ) 2sin280原式=tan 6 00 + 6 + 00 + 0J;/ n 1- tanJ6 忙anf n 1

7、i ntanL 幼 tant+(2)原式=(2sin5O+sin 10迈s“ 80=2眾sin 50 cos 10 sin 10 cos(60 10=2伍in(50 + 10)= 2屁 申=6.变式训练(1)化简：sin( + 75 )+ cos( + 45 ) 3 - cos( + 15 ); sin50 ( 1 + Wta n10) cos20计算：Y d.cos80 寸 1 cos20解：(1)原式=sin( + 45 + 30 + cos( + 45)p - cos( + 45 30 =爭in( + 45 + |cos( + 45 + cos( + 45 |cos( + 45 )爭si

8、n( + 45 = 0. 因为 sin50 (1 + Vstan10)= sin50 如0 = sin50 cos10 = 1，cos80 V1 cos20 sin10 寸2sin210 =n210sin50( 1 + V3tan10 ) cos20 1 cos20所以cos102。cos80 1 cos20题型2给值求值、求角问题o= V2si n210 = e(1)解:-n已知0a-2sin a的值；3的值.1423 n , tan = 2，cos( a = 10.(Xtan = 2,-sin a = sin (2铁n(2) 0 a7, sinn又 0a2 3 n, 由 cos( a) M

9、l，10a a2sin TcosV_ . a a222sin二cos二= 片2 a2 a2 aM Asi n + cos1 + tan1+ Q 丿3cos a= 75_ 4= 5，-0 3-得Sim a=瞬sin 3 = sin(2 .n由7 3a2tan212 X 24F= 5.a ) a = sin( a )OSa + COS( a0in a =耳2X 3 +羽 X 4 =10510550 n,得 3= 4 n . 或求cos3=-豎，得3= 4n变式训练如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角 a, 3，它们的终边分别与单位圆相交于 A, B两点，已知A , B的横坐标分

10、别为理芈.求：105a,(1) tan( 0 3 的值;(2) 七23的大小.解：由条件得cos a=10，cos3= 5 .a,3为锐角,-sin a = U1 - cos2 a = O2, sin g =寸 1 cos2 g =誓.r 丄 c sin g 17,ta ng=cosr 2.7+1(1) tan( g = 1-tanatang =一因此 tana = snacos atan a + tan g tan2 g =晋1 ta n g4 , L3- tan( c 2 g= 1.1 tan a - tan2 g41 7 x 3tan a + tan2 ga,题型30a + 2 3与有限

11、制条件的求值、证明及综合应用问题g为锐角，a + 2g=乎.4A _I已知 sin g = ms in (2 c g )(m 1)，求证：tan( g = ta na1 m由 g= ( a- g a, 2 a + g= ( ag a 得 si n( g ) a RTSi n( g a , a = msin ( a g )os a cos( a g 9 a ,证明：即 sin( a g Cos a cos( ag )sin即(1 m)sin( a g Cosa = (1 m)cos( a g sin a . 两边同除以(1 m)cos( a g Cos a,A _I得 tan( a g = -

12、tan a (m 1)，即等式成立.1 m备选变式(教师专享)已知 a 任,n ) 且 sin扌+ cos求cos a的值；3fn若 sin( a- g) 5, g W,(1)因为 sin a cosa=,解:n丿求COSg的值.两边同时平方，得 sin a = 2.又 aVn,所以 COS a=- U1 - Sin a=nn因为 aVn, gVn,nn所以一 0)个单位长度 后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是 答案：n6m(m 0)个单位长度后，所得到的n nm+ = 7-+ k n, k Z ,贝U m 的最32解析：函数y= Vcosx + sinx(x R)的图象向左平移函数

13、是y= 2sin( + m +亍) 其图象关于y轴对称，贝U3. (2015南京模拟)已知sin&x J=寻，0 x-4，则吕coJ + x 丿7t答案:2413解析:因为 x (0,所以7 x (0, E因为 sin仔xJ= 13,所以 cosg1213 -又 cos2x = cosnfn*fn、nfn 2 xjj = sin2 打xj = 2sin(-4 x)cos 打Xj= 2cos cosg x J,所以原式= 2cos& x j=务.4. (2015 金陵中学联考)在 ABC 中，已知 si nA = 13si nBsi nC , cosA = 13cosBcosC，则 tanA +

14、 tanB + tanC 的值为.答案：196解析：由题意 cosA, cosB, cosC 均不为 0,由 si nA = 13si nBsi nC , cosA = 13cosBcosC, 两式相除得tanA = tanBtanC,又由 cosA = 13cosBcosC,且 cosA = cos(B + C) = sinAsinB cosAcosB ,所以 sinAsinB = 14cosAcosB,所以 tanBtanC= 14.又 tanB + tanC = tan(B + C)(1 tanBtanC) = tanA(1 tanBtanC), 所以 tanA + tanB + tan

15、C= tanAtanBtanC = 196.1.已知aB均为锐角，且tancos a sin a M ,、=coso，则 tan( + 3)答案：1”Lcos a sin a解析：/ tan =,cos + sin a,1 tan a ,- tan 3= tan1 + tan a3均为锐角，n(X、 3 = 4 a即 a+ 3= 4, tan(计 batanju 1.2.函数 f(x) = sin(x + 2 0 ) 2sin 答案：1解析：f(x) = sin(x + 2 0) 2sin 0 cos(x + 0)=sin(X + 0)0 2sin 0 cos(x + 0)0 COS(X +

16、0的最大值为=sin(x + 0 cos 0+ cos(x+ $ sin $ 2sin $ cos(x + $) =sin(x + 0 cos 0 cos(x+ osin 0=sin(X + 0 一 0 sin x, f(x)的最大值为1.3. 已知 a (, n ) sin a求sin 6 + a)勺值；J5 sin a = *,5 所以 cos a=-寸 1 一 sin2 a= -5. 故 sin& + a卜sincosa + cossin a =(求 coj 2a)勺值.解:X5 = 10 .(1)因为 a 6,n )(2)由(1)知 sin2 a= 2sin a cosa = 2 X

17、誓 x 卜= 4,cos2 a= 1 2si n2 a = 1 2 x = 5，5 n5 ncoscos2 a + sin7-sin26 64.已知函数 f(x) = sin(x+ 7兀)+ cos(x 3 n ) 求f(x)的最小正周期和最小值；44cos(3 a ) = 5，cos(升 a = 5, 0V aV 37 n ,. 7 nf(x) = Sin xcos 丁 + cosxs in-4所以 cosgj 2aJ=3+1x4+ 3f310已知(1)解:x R.卜 cosxcos4 -2，求证:3 n + si nxsi n =4f(32)-2= 0.= /2si nx f2cosx =2sin x n、4丿f(x) min = 2.所以T = 2 n,(2)证明： cos( a = cos a COS B + sin a sin 3=4，54cos(许 a= cos a COs 3 Sin a Sin 3= 5.+，得 cos a cos 3 = 0 ,于是由 0 V aV 界2 cos 3 = 03 = y.故 f( 3=2 f( 3i2= 0.囚I證睢措;录I1. (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，看角，二看名，三看式子结构与特征.2.对于给角求值问题，