向量代数与空间解析几何06288

1、第五章向量代数与空间解析几何15.1向量及其运算5.1.15.1.25.1.3向量的概念 向量的线性运算 向量的数量积（点积、内积） 向量的混合积11255.25.35.1.5点的坐标与向量的坐标.5.2.1控件直角坐标系.5.2.2向量运算的坐标表示空间的平面与直线 5.3.15.2.3平面空间直线点、平面、直线的位置关系.9.9111818215.45.3.3曲面与曲线5.4.1曲面、曲线的方程232929第五章向量代数与空间解析几何5.1向量及其运算5.1.1向量的概念即有大小又有方向的量，称为向量（或矢量）。在数学上，往往以有向线段表示向量，其方向表示向量的方向，其长度表示向量的大小。

2、以A为起点，B为终点的有向线段所表示的向量记作?AB （图5- 1 ）。有时也用一个黑体字来表示向量，例如a、 r、V、 F A或a、r、V、F等等。 1向量的大小称为向量的模。向量 AB、a、a的模依次记作| AB |、|a|、| a |。在实际问题中，有些向量与其起点有关（例如质点运动的速度，与该质点的位置有关， 力与力的作用点有关），有些向量与其起点无关。由于一切向量的共性是大小和方向，所以 在数学上我们只研究与起点无关的向量，并称为自由向量（简称向量） 小和方向，而不论他的起点在那。如果两个向量a和b大小相同方向一致，就说两个向量相等，记作 经过平行移动后能完全重合的向量是相等的。，即

3、只考虑向量的大a = b。这就是说,150或0。零向量的起B为起点，作BC = b，连接AC图5-3图5 4模等于1的向量叫做单位向量。模等于零的向量叫做零向量，记作点与终点重合，它的方向是任意的。与向量a模相等而方向相反的向量称为a的负向量，记做一a。若将向量a、b平移，使它们的起点重合，则表示它们的有向线段A的夹角0(003)个向量，当把它们的起点放在同一点时, 如果k个终点和公共起点在一个平面上，就称这k个向量共面。5.1.2向量的线性运算1 .向量的加减法向量的加法运算规定如下:设有两个向量a与b，任取一点A，作AB=a,再以此方法称为三角形法则。 向量的平行四边形法则:当向量 a与b

4、不平行时，作 AB = a , AD = b，以AB, AD为边作一平行四边形 ABCD，连接对角线 AC(图5 4)，显然向量AC即等于向量a与b的 和a + b向量加法复合下列运算规律：(1) 交换率 a + b = b + a(2) 结合率(a+b)+c=a+(b+c).A _ b + a = AD + DC = AC = c 由图5 4易得交换率 a+b= AB + BC = AC =c由图5 5易证结合率，由加法的交换率和结合率，n个向量32,，an( n3)相加可以写成ai + a2屮+an,由三角形法则，可得 n个向量相加的法则如下：使前一向量的终点作为次一向量的起点，相继作向量

5、ai,a2,，an，再以第一向量的起点为起点，最后一向量的终点为终点作一向量，这一向量即为所求之和。我们规定两个向量 b与a的差b-a=b+(-a).即把向量-a加到b上，便得a与b的差b-a(图 5 7(a).特别地，当 b=a时，有 a-a=a+ (-a)=0.图 5-7 (a)O显然，任给向量AB及点0,有AB = A0 + 0B = 0B 0A因此，若把向量a与b移到同一点0,则从a终点A向b的终点B所引向量AB便是向量a与 b 的差 b-a(图 5-7(b).及 ab|w a | + |b|由三角形两边之和大于第三边的原理，有 a+b|w |a| + |b| 其中等号在a与b同向或反

6、向时成立。2.向量与数的乘法向量a与实数A的乘积记作A a规定A a是一个向量，它的模 衣a |=|A|a|,它的方向当 兀0时与a相同，当A 例1在平行四边形 ABCD中，设AB = a, AD = b。试用a和b表示向量MA、MB、 MC和MD，这里M是平行四边形对角线的交点解由于平行四边形的对角线互相平行，所(图5 8) 以 a+ b= AC = 2 AM(a+ b) = 2MA于是MA =1(a+ b) o2因为MC = 1MA，所以 MC = (a+ b).2又因一a+ b= 1 ,BD = 2MD，所以 MD = - (b a).由于 MB = MD，MB = - (a b). 2

7、设ea表示与非零向量 a同方向的单位向量，则|a| ea与ea同向，即|a|ea与a同向，因此,a= |a| ea。我们规定，当A HO时，a=丄a，则上式可写为 =ea。即向量除以它的模为与原 几 A| a |向量的单位向量。命题1设向量a工0,那么，向量b平行于a的充分必要条件是：存在唯一的实数几，使 b = fa。证：条件的充分性是显然的，下面证必要性设b/a ,设|几| = Ibl，当b与a同向时a取正值，当b与a反向时a取负值，即ka与 I a Ib 同向，且 |Za |=|a| a |=凹 | a H b |，故 b = Za I a I再证数A的唯一性。设b = Za，又设b =

8、 Va，两式想减，便得 仏-A）a = 0，即|a-P| a 1=0 因 | a |h0,故 |a-P|=0，即 卩.命题2如向量a、b、c共面，而a、b部共线，则存在实数 几和4 ,使得c=k a +卩b.证明 因为a、b不共线，故可知 a、b均为非零向量，过一定点 O作OA=a、OB=b、OC=c.由题设 OA、OB、OC共面。过点C分别作直线 OB、OA的平行线，交OA与E、OB与F （图5-10）,从而OC=OE + OF，又因OE与OA共线，由命题 1知存在实数 a ,使得OE = Z OA = Z a同理存在实数 卩，使得OF=卩OB=卩b,于是OC = Z a +4 b,l卩c=

9、a + 4 b。命题3若向量a、b、c不共面，则对任一向量 d存在实数A、卩、V，使得d= A a+ 4 b+ V c。5.1.3向量的数量积（点积、内积）T设一物体在常力作用F下沿直线从点 M1移动到点M2。依S表示位移M1M2。由物理学知道，力F所作的功为 W =1 F |S|COS日，其中9为F与s的夹角（图5-9）。由此，我们可以看到有时要对两个向量 a与b作这样的运算，其结果为一数值，等于两 个向量的模与它们夹角余弦的乘积。我们称这样的运算为向量 a与b的数量积、点积或内积， 记作 a b （图 5- 10）,即卩 a b= | a | | b |cos6 .由此定义，力做功可以表示

10、为A B = （|ABicos日）ea=（|b|coM ）并记做 Prja b。当09 ?时,叽b等于b在a上投影向量的长度；当日兰冗时,Prj a b等于b在a上投影向量的长A设非零向量a所在的直线为I，且(a,b) =8。用有限线段AB表示向量b,过点A和点B作平面垂直于直线I,并与I分别交于点 A和点B分别是点A和点B在I上的投影，称有向线段 AB 为向量b在向量a上的投影向量。容易看出ea称上式中的实数|b|cosT为向量b在向量a上的投影,度的相反数；当日=I时，Prja b等于零。投影具有维一性。由数量积的定义，立即得到=1 a |Prja b投影具有下列性质:Prj a （几 b

11、）= A Prj a b Prj a （b+c）= Prj a b+ Prj a c数量积的运算规律(1) 交换律 a b= b- a.由定义显然数乘交换率（人a） （卩b） = Z 4（ a b）分配律 （a + b） c= a c+ b c.2 2 2a - a= | a | .这时因为 a - a= | a | cos0= | a | .或 | a |= Ma。COS0 =旦 （0 0 任给向量r，对应有点M，使OM =r，以OM为对角线、三条坐标轴为棱作长方体r =0M设OP =RHMK -OPNQ，如图7 12所示，有 =OP + PN + NM = OP + OQ + OR xi、

12、OQ =yj、OR =zk，则r =xi+yj+zk。此式称为向量r的坐标分解式，xi、yj、zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量。显然，给定向量r,就确定了点 M及oP、OQ、OR三个分量，进而确定了 三个有序数；反之，给定三个有序数 与三个有序数X、y、X、y、zX、y、z也就确定了向量r与点M.于是点M、向量rz之间有对应的关系据此，定义：有序数M r = OM = xi+yj+zk(x, y, z),X、y、z称为向量r（在坐标系 Oxyz中）的坐标，记作r =（x, y, z）。向量r = OM称为点M关于原点O的向径.上述定义表明，一个点与该点的向径有相同的坐标。记号（X，y，z

13、）即表示点M，又表示向量0M.如点M在yOz面上，则x= 0;同样，如点 M在zOx面上，则y= 0 ;在xOy面上，则z =0。如点M在x轴上，则y= z= 0;同样，在y轴上的点，贝U z= x= 0 ;在z轴上的点，有 x= y= 0。如点 M为原点，贝U x = y= z=0.5.2.2向量运算的坐标表示利用向量的坐标，可得向量的加法、减法以及向量与数的乘法的运算如下:a = (ax,ay ,az) , b= (bx, by,bz),a= ax i + ay j + az k, b= bx i+ by j+ bzk利用向量的运算规律，有a+ b=( ax + bx) i +( ay +

14、 by) j+( az + bz) ka b=( ax bx)a=( A ax) i+(几az) k, (a为实数)a+ b=( ax + bx ,ay + by ,az + bz)a b=( ax bx,ay by,az bz)a=( A ax , A ay,A az)i +( ay by) j+( az bz) k17由此可见，对向量进行加、减及数乘，只需对向量的各个坐标分别进行相应的数量运算 就行了，5.1节命题1指出，当向量aH0时，向量b/a相当于b=几a，坐标表示式(bx,by ,bz)=(ax,ay,az)这就相当于向量b与a的对应坐标称比例:bxbybz axayaz例3设有点

15、Mi(Xi,yi,Zi)，M2(X2,y2,Z2)，求向量M1M2的坐标表示式。解 由于 M iM 2 =OM 2 - OM i，而 OM i = (Xi, yi, Zi), OM 2 =(X2, y2,Z2)，于是OM 2 OMi =(X2,y2,Z2)(Xi,yi,Zi) =(X2 Xi,y2 yi,Z2 Zi)即 MiM 2 =(X2-Xi, y2 yi, Z2-Zi)已知两点A (4, 0, 5)和B (7, i, 3)，求与AB方向相同的单位向量e.因为 AB = OB - OA =( 7, i, 3) ( 4, 0, 5) = ( 3, i, - 2),所以于是aB = J32 +

16、i2 +( -2)2 = 7T4,?AB i ce = T - / Q,1,2).| AB| 4求解以向量为未知元的线性方程组3 ya其中a =( 2,1,2), b=(-1,1,-2).I3x - 2 y = b解 解此方程组得 x= 2a- 3b , y =3a-5b以a, b代入，即得x=2(2,1,2) - 3( - 1,1, - 2)=(7, - 1,10) y=3(2,1,2) - 5( - 1,1,-2)=(11, - 2,16).例6已知两点A(Xi, yi,Zi)和B(X2, y2,Z2)以及实数几工-1，在直线AB上求点M，使 AM = A mb .解如图7- 13所示.由

17、于 因此oM - oA=兀(oB - oM),从而 1 OM P( OA).以oA、OB的坐标(即点A、点B的坐标)代入图 7 13AM = OM - OA , mb = oB - OM ,oM =(X1 + 兀X2 *心2 乙 + 也)I 1 + A 本例中的点M称为定比分点，特别地当几=1时，得线段AB的中点为仪1 +x2 y 设向量r =( x, y, Z),作OM则点的坐标为M(x, y, Z)，由两点间距离公式立即得到I r 1= Jx2 + y2从而（cowT飞卄门r|丿图 5 20非零向量r与三条坐标轴的夹角称为向量r的方向角从图5 20可见，设r =（ x, y, z）,由于x

18、是有向线段OP的值，MP丄OP,故XXycosa =,类似地 cos=,cos|r |OM |r |r |占(x,y，z)|r |r |r的方向余弦为坐标的的模、方向余弦和方向角cosa,cos P,cosY称为向量r的方向余弦。上式表明，以向量向量就是与r同方向的单位向量er，并由此可得cos2 u + cos2 P + cos2 Y = 1.例7已知两点M1（2,2,J2）和M2（13O），计算向量M1M2LM 1M2 =( 1 - 2, 3 - 2,0-(2 )=(-1, 1,- 2 );IM1IM2F J(1)2 +12 +(-V2)2cos,cosPW，cos-血F面我们来推导数量积

19、的坐标表示式设a = axi + ayj + azk, b= bx i+ by j+ bz k。按数量积的运算规律可得a b= (ax i + ay j + az k) ( bx i+ by j + bz k)=ax i (bxi + byj + bz k) + ay j (bx i+ by j + bz k) + az k ( bx i + by j + bzk)=ax bx i i+ ax by i j+ ax bzi k+ay bx j i + a y by j j+ a y bzj k+az bx k i + az by k j + az bz k k由于 i、j、k 互相垂直，所以

20、i j = j k= k i= 0, j i= k j = i k= 0,又由于 i、 j、k的模均为1,所以i i = j j= kk= 1.因此得a - b= ax bx + ay by + az bz.这就是两个向量数量积的坐标表示式.由于a b= | a | - | b |cosQ，所以当a、b都是非零向量时，有cos9 =a b|a|b|将向量的坐标表示式代入上式得cos 9 =axbx +ayby +azbzJa： +a2 +a2 + Jb； +by +b2这就是两向量夹角余弦的坐标表示式由此可得a丄b的充要条件是ax bx + ay by + az bz = 0例 8 已知三点

21、M( 1, 1, 1)、A( 2, 2, 1)和 B( 2, 1,2),求/ AMB.T解作向量MA,TT TMB，则/ AMB为向量MA与MB的夹角.这时MA=( 1, 1,0),TMB=( 1,0, 1)，从而T TMA?MB=1 +10+0勺=1；iMafJT +12 +02 = J2；MB= 712+02=72.从而T TMA MBcos/ AMB = 有|MA |MB |J4242 2,由此得兀/ AMB =3设立方体得一条对角线为OM, 一条棱为OA,且15|OA|=a，求TTOA在方向OM上的投影pHt OA .OM解如图5 21所示，记/ MOA = W，有coe|OMri,于

22、是T TaprjT OA = OA cos = 丁 .OMJ3图 5- 21F面来推导向量积的坐标表示式设a = axi + ayj + azk, b= bx i+ by j+ bz k。按向量积的运算规律可得axb= (axi+ ayj+ azk) x( bxi + byj + bzk)=ax i X( bxi+ by j + bz k) + ayj (bx i+ byj + bzk) + az kx( bx i + byj + bzk)=ax bx (ixi) + ax by (Mj) + ax bz ( Mk) +ay bx (j) + ay by (jXj) + ay bz (j k)

23、 +azbx (kxi)+ azby (Mj) + az bz (Mk).由于 ixi= jxj= kxk= 0, i 勺=k, jxk = i, kxi = j, jx i = k, kxj = i, Mk =j,所以aXb=( aybz azby)i+ (azbx axbz) j+ (axby ay bx)k.为了帮助记忆，利用三阶行列式，上式可以写成例10b=axbxaybyazbz设 a=( 2, 1, 1),b=(1,2)，计算 axb.ax b=-1=i-5j-3k .1 -1例11已知三角形 ABC的顶点分别是 A (1 , 2, 3)、B (3, 4, 5)、和C (2, 4,

24、 7), 求三角形ABC的面积.解 由向量积对于，可知三角形 ABC的面积1 T TSBc =2| AB|AC|sinZA1 T T=-|AB咒 AC |2 T由于| AB | =T(2, 2, 2),| AC | =(1 , 2, 4),因此于是T T ABx AC =4i-6 j + 2 k,= 1|4i -6j +2k= 1胡2 +(-6)2 +22 =皿例12设刚体以等角速度 绕I轴旋转，计算刚体上一点 的线速度.解冈U体绕I轴旋转时，我们可以用在I轴上的一个向量 表示角速度，它的大小等于角速度的大小，它的方向由右手规则定出：即以右手握住I轴，当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致

25、时，大拇指的 指向就是的方向(图5 22).图5-22T设点M到旋转轴I轴上任取一点 0做向量r= OM，并以日表示与r的夹角，那么a=| r |sin0 .设线速度为V,那么由物理学上线速度与角速度的关系可知，v的大小为| V |=|o | a=|0 |r |sin日;V的方向垂直于通过点M的与l轴的平面，即V垂直于o与r ;又V的指向是使合右手规则，因此有V= 0 X r.类似可得向量混合积的表达式，设a= (ax,ay,az), b= (bx,by,bz), c=(cx,cy,cz),则a b c=axbxCxaybyCyazbzCz例13已知不在一平面上的四点:A( Xi,yi,Zi)

26、、B( X2, y2,Z2 )、C( X3, y3,Z3 )、27D( X4,y4, Z4).求四面体 ABCD的体积.解 由立体几何知道，四面体的体积 Vt等于以向量T T TAB、AC和AD为棱的平行六面体的体积的六分之一.因而1 T T T Vt=- |AB AC AD|.6T由于AB=(X2 X1,y2 y1,Z2 Z1),TAC = (X3 - X1, y3 - y1, Z3 - Z1),所以Tad =(X4 X1, y4yi,z4 zi)X2 -Xi%-*Vt = 6X3 Xiy3 yiZ3 ZiX4 -Xiy4-yiZ4 -Z1上式中符号的选择必须和行列式的符号一致 作业3, 4

27、, 6, 8, 10, 13, , 155.3空间的平面与直线5.3.1平面平面的法线：垂直于平面的任一非零向量称为平面的法线。 平面的法线。平面上的任一向量均垂直于设已知平面上的一点 M0（x0,y0z0）及其法向量n=（A, B, C）,下面求平面的方程。设M （X，y，Z）为平面n上异于Mo的任一点（图 523）,那么向量TTM0M 丄n，从而 n?M0M = 0.由于 n=(A, B,TC), MoM =(X-X0, y -y0,z -Zo)，所以有0a ( X Xo)+ B ( y yo)+ C ( z Zo )= 0.(1)这就是平面n上任一点的坐标 X, y, z满足的方程；反过

28、来不在平面 n上点的坐标X, y, Z 显然不满足方程（1）。方程图5 23（1 ）称为平面的点法式方程.例1已知空间两点 M1（121）和M2（3,1,2）,求经过点M1且与直线M1M2垂直的平面方程。程。解 显然MiM2就是平面的一个法向量MiM2 =(3-1,1-2,2+1) =(2,3,3)由点法式方程可得所求平面的方程为2(x-1)-3(y-2) + 3(z + 1)=02x -3y + 3z + 7 = 0例2求过三点M1 (2, 1, 4)、M2 ( 1 , 3, 2)和M3 (0, 2, 3)的平面的方TTT解 先找出这平面的法线向量 n.由于向量n与向量M4M2、M1M3都垂

29、直，而MjM?T=(3，4, 6), M1M3(2, 3, 1),所以可取它们的向量积为 n:Tn= M 1M 2咒 M1M 3 =14i + 9j k,-1-2根据平面的点法式方程(1),得所求平面的方程为14(x 2) + 9(y + 1) (Z 4) = 0, 即14X + 9y Z 15= 0.本题也可以按下面的方法来解设M(x,y,z)是平面上的任意一点，则向量M1M , M1M2 , M1M3共面，由混合积的几何意义可得M1M M1M2 mm =0X -2 1-2y +13 + 1-2-4=0化简即得340214x+ 9y z 15= 0般地，过已知三点 M1(X1,y1,Z1),

30、M2(X2, y2,Z2),M3(x3, y3,z3)的平面方程为y - y1Z-Z1X2 -X1y2Z2 -Z1=0X3 -X1y3 - y1Z3 - Z1该方程称为平面的三点式方程反过来，设有一次方程由点法式方程可知平面的方程可以使用三元一次方程来表示,Ax+By+ Cz+D=O.2O任取满足该方程的一组数x0, y0, z0，即A x0+B y0 +C zO + D=O.由(2) ( 3)A(x Xo)+B(y yo) + C(z Zo)+D = O.与点法式相比可知（4）为过点Mo（xo,yozo），法向量为n=（A, B, C）的平面方程。由于（4）与（2）般方程，通解，可知任一三元

31、一次方程（2）的图形总是一个平面。方程（2）称为平面的一其中x, y, z的系数就是该平面的一个法线向量n的坐标，即n=（A, B, C）.D = O时，方程（2）成为Ax+By+ Cz=O,它表示一个过原点的平面当A= O时，方程（2）成为By+Cz+D = O，法线向量n=（O, B, C）垂直于x轴，方程表示 一个平行于x轴的平面.同样，方程 Ax+ Cz+D=O和Ax+By+ D = O，分别表示一个平行于 y轴和z轴的平面.当A= B = 0时，方程（2）成为Cz+D=0或z = D，法线向量n=（0,0, C）同时垂直xC轴和y轴，方程表示一个平行于 xOy面的平面.同样，方程Ax

32、+ D = O和By+ D = O分别表示一个平行于yOz面和xOz面的平面.5 24),例3设一平面与x, y, z轴的交点依次为 P（a, 0, 0）、求这平面的方程（其中a工0, b工0, c工0）.设所求的平面的方程为Ax+By+ Cz+ D=O.O, O)、Q(O, b, O)、R(O, O, c)三点都在平面上,因 P（a,所以点P、Q、R的坐标都满足方程（2）;即有Sa + D = o, bB + D =O, cC +D =O,得 A = -D, B = -D,C =-D.abc以此代入（2）并除以D （D工0）,便得所求的平面方程为图 5 24方程（5）叫做平面的截距式方程，而

33、a、b、c依次叫做平面在X、y、z轴上的截距.例4因平面通过z轴及点（1, 2, 3）的平面方程。解 因平面通过z轴，故可设其方程为Ax+ By= 0又因（1, 2, 3）点在平面上，将其坐标代入方程，则有A + 2B = 0，即 A = 2B故所求平面方程为 2BX + By= 0,即2x y= 0例5设平面兀的方程为3x 2y+z+ 5= 0，求经过坐标原点且与 兀平行的平面方程。解 显然所求平面与平面 兀有相同的法向量 n=（ 3, 2, 1）,又所求平面经过原点,故它的方程为3x 2y+ z= 0523空间直线空间直线可以看作是空间两平面的交线，如果两个相交的平面的方程分别为Ax + B+Gz + Dj =0和A2X + B2y + C2Z + D2 = 0 ,那么直线上的任一点必同时满足这两个平面的方程，即满足方程组F1 x + By + GznIA2 x + B2y + C2Z + D2 =0.(1)反过来，不在直线上的点，不可能同时在两个平面上，所以它的坐标不满足方程组 因此直线可以使用方程组（1）表示。方程组称为空间直线的一般方程直线的方向向量：平行于一已知直线的任一向量称为直线的方向向量。一