例谈两动点间距离的最值问题的几种解题途径

1、例谈两动点间距离的最值问题的几种解题途径（中学教研12017 / 3)杨伟达（广州市花都区第二中学510800 ）众所周知，距离问题本是一个古老的话题.但在每一年的高考中，它常常成为专家命题的第一视觉，也常常是许多学生解题的绊脚石.因此，在解题中若能处理好距离的最值问题，对快速解题起到事半功倍的效果.下面是笔者对两动点间距离的最值问题从不同角度进 行析疑解惑，突显“动”的魅力，焕发出新的活力.、借助特殊曲线，寻求等价替换有这样的一类题，它们的两动点分别在常见的特殊曲线上，且这特殊曲线具有特殊的性质.此时可以通过观察图形，利用图形的特殊性质即可求得最值2 2例 1 已知圆 C : x + y +

2、2x-4y+3 = 0（1）略；（2）从圆C外一点P（x, y）向圆引一条切线， M为切点，O为坐标原点,且有PM = PO，求使PM最小的P点的坐标.分析：此题的一个动点在圆外，另一个在圆上，且这两个动点的连线是圆的切线（特 殊）.解决此题关键在于利用圆的特殊性质，找出切线长等价替换，问题即可解决.解：已知圆C方程：X2 +y2 +2x-4y+3=0所以圆心坐标为（1,2），半径为42，又因为|PM| =|pO，设P（x1,y1），且PM是圆C的切线，所以PM 2 + R2 = PC2（R为圆的半径）所以 J(X1 +1)2 +(y1 -2)2 -2 =化简为：2x1-4y1+3=0这是点P

3、满足的轨迹方程.因为PM = PO，所以PM的最小值就是 PO的最小值.PO的最小值转化为点 0到直线2xi - 4yi + 3 = 0的距离.即POmin3/510联立方程组有1 X2 +29X120，解得:2x1 _ 4 屮 +3=03X110353 3因此，点P的坐标为（市5）.例2分别在椭圆亠=1与抛物线2 2X =y-2m上的两动点M N间的距离最小值是5,则m的值是（(A) 1(B)(C) 迈(D) 乜分析：如图1，通过草图，不难发现两曲线相离，且位置比较特殊.观察可知，曲线上两动点的最短距离转化为两顶点（定点）间的距离.此时问题就变得简单了解：因为M N间的距离最小值是 5所以椭

4、圆与抛物线不相交如图1,观察，此时抛物线的顶点 N与椭圆上顶点 M的距离就是两动点M N间的距离最小值抛物线的顶点（0,2m2）与椭圆上顶点（0,3）的距离最小值为所以2m 3=5解得：m = 2故选B.二、借助三角函数，寻求合二为一有这样的一类题，它们的两动点分别在常见的特殊曲线上，且动点也可以用含参坐标表示.此时可以直接运用距离公式，把它转化为三角函数的形式即可求得最值.比如：圆X2 +y2 = R2上一动点可表示为（Rcos,Rsin 9）（8为参数）；椭圆2+ ：= 1上一动点2 .2a bX4可表示为（acosT,bsin日）（。为参数）.例3（2016 广州二测理数 23）选修4

5、4坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为X = J3 cosQ （日为参数）.以点0为极y = sin点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线I的极坐标方程为 Psin（0 + -） = J2.（1）略；（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线I的距离的最大值.分析：此类型题每年在全国卷选做题中常常出现.比较快捷的解决方法是利用参数方程表示曲线上的某一动点坐标，再根据条件转化为求三角函数的最值问题即可将问题解决2解:（1）略.所求曲线C的直角坐标方程为vy2x + y =2.=1;直线I的直角坐标方程为(V3cos&,sin 6 )所以点Q到直线I的距离为d =73cos

6、0 +sin0 -22cosiT -丄)-2V 6丿当co屮勻时,dmax二=迈42 因为点Q是曲线C上的点，所以可设点 Q的坐标为所以点Q到直线I的距离的最大值为 242 .三、借助数形结合，突显形象直观有这样的一类题，它们的一个动点在某区域内,另一个动点在某特殊曲线上.此时两动点间距离问题可转化为某一定点到区域内的距离最值即可将问题解决X 0例4设D为不等式组 X-y0表示的平面区域，圆C:（x-5）2 +y2 =1上的点l2x + y-30解：如图2,不等式组 X -y 0 表示的平面区域如下图中三角形ABO内（含边缘）2x+y 30的阴影部分。其中三角形 ABO的顶点坐标分别为 A（

7、0，3），0（ 0，0），B（ 1，1）2 2圆C:（x5） + y =1表示圆心坐标（5, 0）,半径为1的圆.所以求两个动点的距离转化为定点到动点的距离即先求圆心C到三角形ABO的阴影部分内任一动点的距离经观察可知，BC距离为最小；AC距离为最大所以BC=J(5-1)2 +(0-1)2 = Jl7y图2AC=J(5-0)2 +(0-3)2 = 734所以两动点的最小距离为 J17 -1，最大距离为 J34+ 1故选B.四、借助二次函数，寻求配方到位有这样的一类题，它们的两动点分别在常见的特殊曲线上，且这些动点均可以用含参坐标表示.此时可以直接运用距离公式，把它转化为一元二次函数即可求得最值

8、.例如人教版选修2-1第113页习题B组第二题.例5 （人教版必修2第139页B组第3题）如图3，以正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系 Oxyz，点P在正方体的对角线 AB上，点Q在正方体的棱 CD上.（1）当点P在对角线AB上运动，点Q在棱CD上运动，探究分析：这是一道课本习题. 两动点分别在两条异面直线上,来，再转化为一元二次函数求最值解：设正方体边长为a，因为点P在对角线AB上运动,所以设 P (几，A,a - A)(0 A 0,(a-A 4)2 0所以PQ122 -Z-1)2 +(a-A-P)2 +la2 2a当且仅当A- =a-几-卩=0时，等号成立21此时2a，即当

9、且仅当P、Q分别为AB CD的中点时所以PQ2 _ 1 2 min = a ，PQmin7I a.五、借助导数工具，寻求转换条件有这样的一类题，它们的一动点在函数图象上，另一动点在另一个函数(分段函数) 图象上.若运用动点坐标距离公式，方法简单，但运算复杂，只能可望而不可及；此时若能 借助导数这一工具，利用切线间的距离即可求得最值,(xa0),(x1，设函数f(x)=-x2+x+1, g(x)=8设P、Q分别为f(x)、g(x)图象上的任意点，若线段PQ长度的最小值为Q2，则实数a的 值为()A .罷 B . 2 C . e D . 2 或 e分析：此题涉及两函数图象上的两动点问题.关键在于分

10、别求出两曲线上的切线的最“多一个”或“漏一个”.值问题，此时两切线为互相平行. 值得注意的是要进行检验，防止18a 2解：当X 0时，P在函数f(x) = X +x+1图象上的最低点,8(-,1 2)，所以 PQa amin=1 一一中 J2 = 42，解得：a = 2a当a = 2时，如图3, y轴左边,y轴右边，观察图象MN =J2为最小发现y =log a X与y = X -1图象上有两个交点A, B再结合以C (0, 1),可知AC = J2点 P的坐标为CON图3观察还存在有比经检验，a =2不符合PQ长度为最小当P、Q分别在f(x)、g(x)图象上的各自切线间的距离时，此时 对于任意a , f(x)常过点(0, 1), g(x)常过(1,