圆锥曲线光学性质的证明及应用初探

1、CONICoZI312圆锥曲线光学性质及生活中的应用杭州高级中学高二（12）:汪愈超、汤凯楠、王小川学习完圆锥曲线的方程和性质后，课本上有几条未证明的性质引起了我们的兴趣，在反复查找资料，推理演算下，总算是确定了三条待证命题, 大致地完成了其证明，并且找到了一些圆锥曲线在实际中的神奇应用。圆锥曲线的光学性质首先说明一下我们要证明的东西，总共有三样: 1椭圆的光学性质： 从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射 光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上；（见图1.1）椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置.例如在Fi处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于 F2处，对F2处的物体加热.2双

2、曲线的光学性质 ：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后,反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；（见图1.2）.双曲线这种性质，在天文望远镜的设计等方面，有重大的贡献 3抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反 射光线都平行于抛物线的轴（如图1.3 ）抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择.例 如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点 处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物 线的对称轴方向，控制照射方向.卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一 般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦

3、点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限 度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把 对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果.最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光,以加热焦点处的贮水器的.BIDA图1.1OF1图1.2当然，在证明之前，需要把这个物理问题转化为数学问题才行。二、问题转化及证明在证明前，如果不知道这三点，是很麻烦的因为其光学性质的证明都与圆锥曲线上某一点的切线方程有关，所以2b2=1上任一点，贝財椭圆过该点的切线方程为:这三个公式先提前列出2 X1若点P

4、(Xo,yo)是椭圆二a2若点P(Xo, yo)是双曲线2 x_ a2 b22=1上任一点，则双曲线过该点的切线方Xoxyoy程为：7萨F3若点P（Xo，yo）是抛物线y2=2px上任一点，则抛物线过该点的切线方程是汕二 P（X + X0）1.椭圆上一个点P的两条焦半径的夹角被椭圆在点P处的法线平分（图2.1)2 2已知：如图，设椭圆C的方程为笃+爲=1 , Fi,F2分别是其左、右焦点，a b过椭圆上一点P（X0, yo）的切线，I为垂直于丨且过点P的椭圆的法线，交 于D设 N F2PD求证：aPD = P， 邛.2 2解：在C:务+与=1上,a b则过点P的切线方程为:P(x0,y0)壬

5、C，Xox 丄 yoy,a bl 是通过点P且与切线l垂直的法线，贝J I：半以-葺）=約。（右-土）二法线I 与X轴交于D(C)2Xo,O)a.c2c2IFQ 戶 2 X0 +c,| F2D | = c 2 X0aa.IF1DI a2+cx0-2| F2D | a -CX0又由焦半径公式得：|PF1 |=a+ ex0,| PF2 |=a-ex) .|F1D|_| PF1|F2D| | PF2|PD是NF1PF2的平分线.a = P.a =90 P + P；故可得 a = Pu =2.双曲线上一个点P的两条焦半径的夹角被双曲线在点 P处的切线平分(图2.2)；22已知：如图，双曲线C的方程为冷

6、一爲=1 , Fi , F2分别是其左、右焦点，I是a b过双曲线C上的一点P(X0,y0)的切线，交X轴于点D，设乂 fid , F2PD = P 求证：a = P22解：C:笃一与=1a bP(X0,y0)在双曲线上两焦点为 Fi(y,O) , F2(c,0)(c2 =a2 +b2)则过点P的切线竽一殍=1a2b2a2切线I与X轴交于D(,0)。Xo由双曲线的焦半径公式得ccIP Fi 円 X0+a|,| PF2FI X0-a|aa双曲线的两焦点坐标为F(c,0), FYy,O)故阳弋討回弋必却針芒-皿aIPF2I |DF2|切线I为NFPL之角分线。定理3 抛物线上一个点P的焦半径与过点

7、P且平行于轴的直线的夹角被x抛物线在点P处法线平分(图2.3 )。已知：如图，抛物线C的方程为为y2=4cx , 直线I是过抛物线上一点P(xo,yo)的切线， 交x轴于D，厶DPF =0上PDF,反射线PQ与I所成角记为P, 求证：a = P证明：如图，抛物线C的方程为C:y2=4cx，点P(x0,y0)在该抛物线上，则过点P的切线为y0y = p(X + x0)切线I与X轴交于D(-X0,O)焦点为F(c,O) , P (同位角)T|PF |=J(Xo-c)2+y2 =|Xo+cMDF |xc| .|PF 冃 DF |二 a = P 二 Ct. = y通过以上问题转化可知，圆锥曲线的光学性

8、质是可以用我们学过的知识证明的(very difficult)。那么它在生活中有何应用呢?三.圆锥曲线的应用圆锥曲线包括椭圆、抛物线、双曲线和圆，通过直角坐标系，它们又与二次方程对应，所以,圆锥曲线又叫做二次曲线。圆锥曲线一直是几何学研究的重要课题之一,在我们的实际生活中也存在着许许多多的圆锥曲线。虽然我不知道为什么，天体分别按照椭圆，双曲线，抛物线运行时,其总能量与离心率有很奇妙的关系，天体总能量椭圆0,抛物线 =0,（椭圆e1抛物线e=1）。相对于一个物体，按万有引力定律因而，圆锥曲受它吸引的另一物体的运动，不可能有任何其他的轨道了线在这种意义上讲，它构成了我们宇宙的基本形式。我们生活的地

9、球每时每刻都在环绕太阳的椭圆轨迹上运行，太阳系其他行星也如此，太阳则位于椭圆的一个焦点上。如果这些行星运行速度增大到某种程度,它们就会沿抛物线或双曲线运行星或人造行星就要遵照这个原理人类发射人造地球卫*叮严. 箋.二由抛物线绕其轴旋转，可得到一个叫做旋转物面的曲面。它也有一条轴，即抛物线的轴。在这个轴上有一个具有奇妙性质的焦点，任何一条过焦点的直线由抛物面反射出来以后，都成为平行于轴的直线。这就是我们为什么要把探照灯反光镜做成旋转抛物面的道理。由双曲线的一支绕其虚轴旋转,可以得到双曲面,由两组母直线族组成，各组内母直线互不相交，而与另一组母直线却相交。人们在设计高大的立塔时，就采取单叶双曲面的体形，既轻巧又坚固（比如教材当中的冷却塔）它又是一种直纹曲面,;T ? i