大一高数复习资料91707

1、0_推荐_高等数学_推荐(本科少学时类型)第一章函数与极限第一节函数O函数基础(高中函数部分相关知识)()()X a 6O邻域(去心邻域)U (a,6 ) = x|c X a g(w ), N =g(g)2.即对Vs O , Wn =g(s)，当n aN时，始终有不等式 lim &n = an第三节O XT【题型示例】Xn a O ,36 =g(E )，当Oc XXo c 6时，始终有不等式 lim f(X )= AJXOO XT 时函数极限的证明()【题型示例】已知函数 f(x),证明lim f(x)=AX【证明示例】 -X语言1 由 |f(x)Ag(E ),f(X )A 成立,二 X =

2、g (呂)2.即对Ps O,玉=gG )，当|x X时，始终有不等式 lim f(X )= AX第四节无穷小与无穷大O无穷小与无穷大的本质()函数f(x疣穷小U lim f(x)=O函数f(x疣穷大u limf(x)=O无穷小与无穷大的相关定理与推论()(定理三)假设 f(x )为有界函数，g(x )为无穷小，则lim f (x)g(x) = O(定理四)在自变量的某个变化过程中，若f(x)为无穷大，则f 一(X )为无穷小；反之，若f(x )为无穷小，且f （x）h0，则f（x为无穷大【题型示例】计算：lim f (X ) g (X )(或 xt 处)函数I f （X j在X =冷的任一去心

3、邻域 U （x0,6 ）内是有界的; ,函数I f （x j在 X亡D上有界；）（ |f （X2. lim g（x）=0即函数g（x ）是xt x。时的无穷小； X0（lmg（x）=0即函数g（x 是 XT处时的无穷小；）3. 由定理可知 lim f（X ） g（X ） = 0（x）Q（x）卜0） 第五节极限运算法则O极限的四则运算法则（）（定理一）加减法则（定理二）乘除法则 关于多项式p（x卜q（x ）商式的极限运算 设：Jp（X ）=aoxm +aixm二+am则有xm衆弋=mlim 3 xf g(x)f(Xo ) g(xo)00g(xo )H0g(xo ) = 0, f (xo )工0g

4、(xo )= f (xo )=0q（x ） = boxn +0x2 +bn（特别地，当lim丄= 0 （不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可F g（X）0以用罗比达法则求解）X 3【题型示例】求值lim上严Tx9X3X311【求解示例】 解：因为XT 3，从而可得 X H3，所以原式 =lim = lim= lim=X-9i3(x + 3)(x-3) xt3x + 3 6X 3其中x=3为函数f（x）二丄戶的可去间断点X 9倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）0 -”X3 0（X3）11解：lim =lim= lim =一xTx2-9L xt（x2 _

5、9） xT2x 6O连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）()X -3（定理五）若函数f（x）是定义域上的连续函数，那么，X毀f F（x）= f |Xmi（x【题型示例】求值：lim , X-3 V x2 -9【求解示例】lim J二3 = Jiimzl卩=逅tYx2 -9 Zx2-9 V66第六节极限存在准则及两个重要极限O夹迫准则（P53） （） 第一个重要极限：lim s =1xj X= , sin xcxctanx /.lim XX-0 sin X（特别地,2丿= limT sin XXlimsngd=1)X -x0lim1T=1lim fsin Xy I X丿O单调有界收敛准则（P5

6、7） （）第二个重要极限：=e（一般地，lim f（X）= lim f （X ）m呼），其中 lim f（x 卜。）【题型示例】求值:,(2x+3 lim x”2x +1 丿【求解示例】解：m（；：；3理2；二;2 r2x + 2 丄L(2 2x+(x )=lim 1 + =2xSl 2x+1 丿2卞佔2 r2xI 2x+1 丿20 2计e11 + 2 2x比丿丨 0【求解示例】1.-f (。-丹201 =e * f(0 + )=a +0+=aIf (0)=a2. 由连续函数定义 lim f(X )= limf(X )= f (0 )=eXJP j0 第九节 闭区间上连续函数的性质O零点定理(

7、)【题型示例】证明：方程f(x)=g(x)+C至少有一个根介于 a与b之间【证明示例】1. (建立辅助函数)函数 W(x)= f(X)-g(x)-C在闭区间a,b上连续；2. - W(a )4(b)v0 (端点异号)3.由零点定理，在开区间(a,b)内至少有一点巴，使得巩匕)=0，即f ( )g( )C = 0 (0O高等数学中导数的定义及几何意义(【题型示例】已知函数 f (x)iex +1ax +b【求解示例】2.由函数可导定义ff (O-)=e0-+1 =e0 +1 =2，2 f(0+)=bf (0 )=e0 +1 =2甲戶冲0)“-1 |f (0-)= f (0+)=f (0 )=b

8、=2 - a = 1,b = 2【题型示例】求 y = f（x 在 x=a处的切线与法线方程 （或：过y = f（X ）图像上点【求解示例】a, f （a ）处的切线与法线方程）1. y = f（x）, ylxT=f（a）2. 切线方程：y -f （a ）= f （a ）（x -a ）法线方程：y _f （a）=-f 1 （X-a）第二节 函数的和（差）、积与商的求导法则O函数和（差）、积与商的求导法则（）1. 线性组合（定理一）：（auPv） = au+Pv 特别地，当 a = P =1 时，有（u v） = uv2. 函数积的求导法则（定理二）3函数商的求导法则（定理三）:(uv) =u

9、v +uvru _ u v - uvvv第三节反函数和复合函数的求导法则O反函数的求导法则（）【题型示例】求函数 f（x ）的导数v2【求解示例】由题可得f（x ）为直接函数，其在定于域D上单调、可导，且 f（x）HO ; f（x）=O复合函数的求导法则（）【题型示例】设y =in （earcsin“x +7x歹 卜求y【求解示例】解：y丄CSZ汽+7x)何聞C +jx)arcsin2 丄arcs inyC) X+a2)頁-(x? 1)27xa272x arcs in=Je(严 c+jxn7)iin C .2心2 兰+_2x2厶2 +a2丿farcsin Jx2丄e1= c（严戸+防孑）I厶2

10、-1 H-x2 Jx2 +a2 丿第四节高阶导数O fUx)=fCXx)j (或 兽=炸打1) ()【题型示例】求函数 y = In (1 + X )的n阶导数1d【求解示例】 y = =(VHx ,1 +x y ” = (1 +x 门=(1 )f1+x f ,广-2 T-3y 1 W+x)=(-门2)*)丫) =(_1)2 (n 1)(1 +x)第五节隐函数及参数方程型函数的导数O隐函数的求导(等式两边对x求导)()【题型示例】试求：方程 y = x + ey所给定的曲线C : y = y(x )在点(1 e,1 )的切线方程与法线方程 【求解示例】由y = X + ey两边对x求导即 y

11、= x+(ey )化简得 y = 1 +ey y., 1 - y =1切线方程:1(X 1 + e ) -e1y-1 = -(1-e)(x-1 + e)【求解示例】法线方程：O参数方程型函数的求导【题型示例】设参数方程x N(t )，求雪17 = Y(t ) dxV 2 型 11 dy _ Y(t)2 d y _ Idx丿 dx (t).dx2A(t)变化率问题举例及相关变化率(不作要求) 函数的微分1 -e斤片 、.一H- 第八节第七节O基本初等函数微分公式与微分运算法则()dy = f (X ) dx第三章中值定理与导数的应用第一节中值定理O引理(费马引理)()O罗尔定理()【题型示例】现

12、假设函数f(X 在 0,兀I上连续，在(0,兀)上可导，试证明：3 (0,兀),使得f GposE + f牡n J0成立【证明示例】1.(建立辅助函数)令 W(x)=f(x)sinx显然函数W(X诳闭区间to,兀】上连续，在开区间(0,兀)上可导；2又 (0)=f (0)sin0 =0W（；i ）=f （兀 sin兀=0 即 W（0） = W（;r ） = 03.由罗尔定理知耳（0,兀），使得 f（）cost + f（t）sinE=0成立O拉格朗日中值定理（）【题型示例】证明不等式：当【证明示例】1. （建立辅助函数）令函数 并且 f（x） = ex ；2. 由拉格朗日中值定理可得，T7 C

13、1 .J 1 又* e e，- e e化简得ee x，即证得：【题型示例】证明不等式：当【证明示例】1.（建立辅助函数）令函数1 可导，并且f （x） =1 +xX 1 时，ex e Xf（x）=eX，则对VxaI,显然函数f（x）在闭区间fl,x 上连续，在开区间（1,x ）上可导,壬 1,X使得等式eX-e =（x-1成立,1A（x-1）e =e x -e,当 X A1 时，e e xx：0 时，ln（1 + x）vxf （X ） = 1 n（1 +x ），则对VX0，函数f （X ）在闭区间o,x上连续，在开区间（0,兀）上2.由拉格朗日中值定理可得，W 0,x 使得等式ln（1+ X）

14、I n（1+0 ）= 总（X - 0 ）成立,化简得+小一x，又心g ,- f牡戶亠e XO运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（） 1. 等价无穷小的替换（以简化运算）2 .判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件0 ocA .属于两大基本不定型（ 一，一）且满足条件，0比（再进行1、2步骤，反复直到结果得出）B . 不属于两大基本不定型（转化为基本不定型）0 -c型（转乘为除，构造分式）【题型示例】求值：则进行运算：lim丄凶=lim丄凶Tg（x） Tg（x）【求解示例】xmoxfx解：mxfxpmO 1X-0ln X 处（In X ）lim =limL 7 f 1

15、T1Xg2 丁 X（一般地，nxf=0，其中a,P 迂 R）xJo1,=-lima X0处一 oc型（通分构造分式，观察分母）X丿【题型示例】求值:limx- (sin x【求解示例】解:叫4；fX sinx)X sinx=lim =lim -X-0 (x sinx 丿 x_s I0 (X -sin X j1 _cosx (1 cosx三lim L = lim三lim、L X-0X-0 2x LJ 2、八（X2）【题型示例】求值：lim Xx x_= limx_02沁 =000型（对数求极限法）【求解示例】ln xTxln?limli解：设y=xX,两边取对数得：Iny =1 nx =xlnx

16、 =1处型（对数求极限法）对对数取XT 0时的极限:匹（ln y）也耙 阳1=lim=lim x =0，从而有 lim y =lim elnyxT1xTxTTXlim In y .=ex-=e =1【题型示例】求值:1lim (cosx +sin x【求解示例】解：令 y =(cosx +sinx J ,两边取对数得 ln y =ln (cosx+sinx ),Xln (cosx +sin x )X对ln y求XT 0时的极限，lim ln y =lim0严V0 .”n (cosx +sin x y=lim cosxsinx7 COSX +sin x(X)llim ln y .lim y= l

17、im eny =eT w =e处0型(对数求极限法).1.I iXT lx 丿【题型示例】求值：lim【求解示例】danx1=1,从而可得1+0anx，两边取对数得In y =tanx In ,对In y求XT 0时的极限， Im In y =蚂 J|tan x-X seS X tan2(1 乜丿In rm lx丿= _lim -7X-0 1 (tanx JIn X 云.(In x X +12令 f（x）=6（x1 Xx-2） = 0，解得：为=1,X2 = 2X(Y,1)1(1,2)2（2严）f(x)+00+f（X）Q极大值Q极小值4.函数f（X ）的单调递增区间为（=,1, 9,畑 单调递

18、减区间为（1,2）【题型示例】证明：当 xaO时，【证明示例】3.（三行表）1. （构建辅助函数）设申（x）=eX-x-1 ,（XA0）2. P（X ） = eX -1 0, （ X 0 ） W（X）沁（0）=03. 既证：当 X A0时，eX Ax+1【题型示例】证明：当 XA0时，In （1+x）vx【证明示例】1. (构建辅助函数)设 申(x)=ln(1 + x)_x, ( X ：0 )12. 収fx =-1 v0 , ( X 0 )2 1 +x半(X )半(0 ) = 03. 既证：当 X ：0时，In (1 + x)vxO连续函数凹凸性()【题型示例】试讨论函数 y=1 +3x2 -

19、x3的单调性、极值、【证明示例】广 2ly =-3x + 6x = -3x(x-2)y = -6x +6 = -6(x-1)|y = x(x2 ) = 0X =0,X2 =22 令4解得：y = -6( X 1 ) = 0X = 13.(四行表)XY0)0(0,1)1(1,2)2(2,Fy0十/+0y+/+/y1U(1,3)in51234.函数y =1+3x X单调递增区间为(0,1),(1,2)23函数y =1 +3x -X的极小值在x=0时取到，为凹凸性及拐点单调递增区间为(二,0) ,(2，七；f(0) = 1.极大值在x=2时取到，为f(2)=5；函数y =1 +3x2-X3在区间(=

20、,0),(0,1)上凹，在区间(1,2),(2，邑)上凸;函数y =1 +3x2 -X3的拐点坐标为(1,3)第五节函数的极值和最大、最小值O函数的极值与最值的关系()设函数f(X )的定义域为D，如果3xm的某个邻域U (xm)u D，使得对/x忘UXM)，都适合不等式f(X ) f (Xm ),我们则称函数f(X )在点Xm, f (Xm )处有极小值f (Xm )；令 Xm 匸xm1 , xm2 , xm3，,xmn 贝网数f(x )在闭区间a,b上的最小值 m满足:m =min fa )xm1, xm2 , xm3，xmn , f ( b )； 【题型示例】求函数f (x) = 3x-

21、X3在-1,3 上的最值 【求解示例】1. V函数f(x )在其定义域-1,3 上连续，且可导 f 0)=3x2 +32. 令 f (X)= -3(x -1 X X +1) = 0,解得：x = 1, x2 =13. (三行表)X-1(-1,1)1(1,3f(X)0+0f(X)极小值极大值4. 又 f (1)=2, f(1)=2, f(3)=18- f (Xhax 二二 f(3)=18第六节函数图形的描绘(不作要求)第七节曲率(不作要求)第八节方程的近似解(不作要求)第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质O原函数与不定积分的概念()原函数的概念：假设在定义区间I上，可导函数 F(x)的导函数

22、为 F(x),即当自变量时，有F(x)=f(x)或dF (X )= f (X ) dx成立，则称F (X )为f (X)的一个原函数F(x )使得F(x)= f(X)，也就是说：连续原函数存在定理：()如果函数f(X诳定义区间I上连续，则在I上必存在可导函数函数一定存在原函数(可导必连续)f(x)在定义区间I上的不定积分，即表示为:不定积分的概念()在定义区间I上，函数f(x )的带有任意常数项 C的原函数称为X则称为积分变量)Jf (xdx = F (x) + C(J称为积分号，f(x )称为被积函数，f(X )dx称为积分表达式,O基本积分表()O不定积分的线性性质(分项积分公式)()J

23、Rf(X )+k2g(X 层=k1 Jf(X dx + k2 Jg(x dx第二节换元积分法O第一类换元法(凑微分)()(dy = f (X )dx的逆向应用)Jf p(x)Q(x)dx = Jf p(xnd p(x)【题型示例】求f 2 12dxa2 +x2【求解示例】1解：a2 4+A2丿dxa arctan；+C【题型示例】求J斫dx【求解示例】1解:f _ X= 72x +1 +CO第二类换元法（去根式）（） （dy = f （X ）dx的正向应用）对于一次根式（a H 0,b R）:d (2x +1 ) .2 _bJax +b :令 t = Jax +b，于是 x = a则原式可化为

24、t对于根号下平方和的形式（a aO ）:7a:令x=atant (-2匕),x于是t =arctan，则原式可化为asect ； a对于根号下平方差的形式（a aO）:a. Ja2 -x2 :令 X =asint （ 一巴 0，则Ja f(X dx 0 ；(推论一)(X卜函数g(x)在积分区间bbIJa f(XdX |f(X 片XO积分中值定理(不作要求)第二节微积分基本公式O牛顿-莱布尼兹公式()(定理三)若果函数 F (X )是连续函数若函数(推论二)a, b上满足 f(x)g(x )，则 f(xdx g(xdx ;f(x J在区间a,b上的一个原函数，则bJa f (xdx = F(b)

25、-F(a)O变限积分的导数公式()(上上导一下下导)dxU(t dt = f p(x 肿 x)f F(X 即 X)【题型示例】lim01 土f e dtcosx【求解示例】dt;osx2X00limL *-3014(X2 )efte= lim XT0eos X fsinx)2x-cos2 Xsinx e= limX-02x0d _cos2X0(si nxe引m虫L xT(2X)-cos2 X丄 cosx e +sinx e = limXT2-cos2 X c -2sin xcosx=1 lim eos x(sinx+cosx)2sin xcosx1 41=-e =一2 2e第三节定积分的换元法及分部积分法O定积分的换元法()(第一换元法)ff p(x)0(x)dx訂 f (x)dp(x)2