山东省舜耕中学2012届高三数学一轮复习资料第四编三角函数及三角恒等变换4.3三角函数的图像与性质(教

1、高三数学（理）一轮复习教案第四编三角函数及三角恒等变换总第 18 期 4.3三角函数的图像与性质基础自测1.在 (0,) 上递减；以2为周期；是奇函数.2写出一个同时满足上述条件的函数（写出一个你认为正确的即可）.答案y=-sinx2. （ 2009东海高级中学高三调研）将函数 y=sin2 x的图象先向左平移, 然后将所33得图象上所有的点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变） ，则所得到的图象对应的函数解析式为.答案y=sinx33. 设函数 y=acosx+b（ a、b 为常数 ) 的最大值是 1，最小值是 -7 ，那么 acosx+bsinx 的最大值是 .答案 54. 函数 y=|s

2、inx|的一个单调增区间是（写出一个即可） .答案3,25. （2008全国理） 若动直线 x=a 与函数 f(x)=sinx 和 g(x)=cosx 的图象分别交于 M、N两点，则 |MN| 的最大值为 .答案2例题精讲例 1求下列函数的定义域：（ 1） y=lgsin(cosx);(2)y=sin xcos x .解（ 1）要使函数有意义，必须使sin(cosx) 0. -1 cosx 1, 0 cosx 1.方 法一利用余弦函数的简图得知定义域为x|-+2k x 2+2k,k Z.2方法二利用单位圆中的余弦线OM，依题意知0 OM 1, OM只能在 x 轴的正半轴上，其定义域为x |2k

3、x2k , k.22（ 2）要使函数有意义，必须使sinx-cosx 0.用心爱心专心115方法一利用图象 . 在同一坐标系中画出0,2上y=sinx和 y=cosx 的图象，如图所示 .在 0， 2 内，满足 sinx=cosx的 x 为， 5，44再结合正弦、余弦函数的周期是2,所以定义域为x |2kx52k, k.44方法二利用三角函数线，如图MN为正弦线， OM为余弦线，要使 sinx cosx, 即 MN OM，则4 x 5（在 0， 2内） .4定义域为x |2kx52k, k44方法三 sinx-cosx=2sinx4 0，将 x-视为一个整体， 由正弦函数 y=sinx的图象和

4、性质， 可知 2k x- +2k ,44解得 2k+ x 5+2k,k Z，所以定义域为x | 2kx4x52k , k .444例 2求下列函数的值域：sin 2x sin x（ 1） y=;(2)y=sinx+cosx+sinxcosx;(3)y=2cos+2cosx.3解 （ 1）y= 2 sin x cos x sin x = 2 cos x(1 cos2 x) =2cos 2x+2cosx=2cos12-1 .1cos x1cos x22于是当且仅当cosx=1 时取得 ymax=4, 但 cosx 1, y 4，且 ymin=- 1 ,2当且仅当 cosx=-1 时取得，故函数值域

5、为1 ,4 .22（ 2）令 t=sinx+cosx, 则有 t 2=1+2sinxcosx,即 sinxcosx=t 21 .2有 y=f(t)=t+t 21 = 1 (t 1)21 . 又 t=sinx+cosx=2 sinx，224 - 2 t 2，故 y=f(t)=1 (t1)21 (-2 t 2),2从而知： f(-1) yf(2), 即 -1 y 2+ 1，即函数的值域为1,21 .22（ 3） y=2cos3x+2cosx=2coscosx-2sin3sinx+2cosx3用心爱心专心116=3cosx-3 sinx=233cos x1=23cosx.2sin x26 cos x

6、1，该函数值域为-2 3， 23 .6例 3 求函数 y=2sin4x的单调区间 .解方法一 y=2sin4x 化成 y=-2sinx4. y=sinu(u R) 的递增、递减区间分别为2k,2k（ k Z),2k,2k3(kZ)2222函数 y=-2sinx4的递增、递减区间分别由下面的不等式确定2k+ x- 2k+ 3（ k Z), 即 2k+ 3 x 2k+ 7（ kZ) ，242442k- x- 2k+（ kZ), 即 2k- x 2k+ 3（ kZ)24244函数 y=2sin4x的单调递减区间、单调递增区间分别为2k4,2k3（ k Z), 2k3 ,2k7（ kZ)444方法二

7、y=2sin4x可看作是由 y=2sinu与 u=x 复合而成的 .4又 u=x 为减函数，由 2k- u2k+2（ kZ),42-2k- x-2k+ 3(k Z).44即2k,2k3（ kZ）为 y=2sinx的递减区间 .444由 2k +u 2k+ 3(k Z), 即 2k+4-x 2k + 3(k Z) 得2222-2k- 5 x -2k-(k Z), 即2k5,2k（ k Z) 为 y=2sinx 的递44444增区间综上可知： y=2sin4x的递增区间为2k5,2k（ k Z）；44用心爱心专心1173递减区间为2k, 2k（ kZ）44巩固练习1. 求 f(x)=12 cos(

8、x) 的定义域和值域.2解由函数 1- 2 cosZx2 0, 得 sinx 2 , 利用单位圆或三角函数的图象，易得所 2求函数的定义域是x | 2k5x2k, k.44当 sinx=cos2x= 2 时， ymin=0;2当 sinx=cos2x=-1 时， ymax= 12 .所以函数的值域为0，12.2. 已知函数 f(x)=2cos4 x3 cos2 x1 , 求它的定义域和值域，并判断它的奇偶性.cos2x解 由题意知 cos2x 0，得 2x k+，解得 x k（ k Z）.224所以 f(x ）的定义域为x x R , 且 xk, k Z .24又 f （ x)=2cos4 x

9、3cos2 x1 = (2 cos2 x1) cos2 x1 =cos2x-1=-sin 2x.cos2 xcos 2x又定义域关于原点对称，f （ x）是偶函数 .显然 -sin 2x -1 ，0，但 x k,k Z. -sin2x - 1 .242所以原函数的值域为y | 1y110.或y223. （ 1）求函数 y=sin32x的单调递减区间；（ 2）求 y=3tanx的周期及单调区间.64解（ 1）方法一令 u=2x ,y=sinu ，利用复合函数单调性，3由 2k-2x+ 2k+(k Z), 得 2k- 52326-2x 2k+（ k Z),6-k- x -k+ 5(k Z), 即

10、k- x k+ 5（ k Z).12121212用心爱心专心118原函数的单调递减区间为k, k5(k Z).1212方法二由已知函数 y=-sin2x3, 欲求函数的单调递减区间，只需求 y=sin2x的3单调递增区间 . 由 2k- 2x- 2k+（ k Z), 解得 k- x k+ 5（ k2321212Z).原函数的单调递减区间为k, k5（k Z） .1212（ 2） y=3tanx=-3tanx, T=4, y=3tanx的周期为 4 .446664由 k- x k+，得 4k- 4 x4k+ 8 (kZ),246233y=3tanx的单调增区间是4k4,4k8(k Z）4336

11、y=3tanx的单调递减区间是4k4,4k8(k Z).6433回顾总结知识方法思想课后作业一、填空题1. 已知函数 y=tanx 在,内是减函数 , 则的范围是.22答案 -1 02. （ 2009 徐州模拟）函数 f(x)=sinx-3cosx (x -， 0 ) 的单调递增区间是.答案,063. 函数 f(x)=tanx ( 0) 的图象的相邻的两支截直线 y=所得线段长为, 则 f （）444的值是.答案 04. 函数 y=2sin （-2x ） (x 0， ) 为增函数的区间是.6答案5,36用心爱心专心1195.函数 f(x)=lg(sin2x+3cos2x-1) 的定义域是.答案

12、x | kx k,k1246.给出下列命题：函数 y=cos2 x2是奇函数；3存在实数, 使得 sin+cos= 3 ;2若、 是第一象限角且, 则 tan tan; x=是函数 y=sin2x5的一条对称轴方程；48函数 y=sin2 x3的图象关于点,0成中心对称图形 .12其中命题正确的是（填序号） .答案7.（ 2008江苏，1）f(x)=cos(x-) 最小正周期为，其中 0，则 =.65答案 108.（ 2009东海高级中学高三调研）定义在 R上的函数 f(x): 当 sinx cosx时，f(x)=cosx;当 sinx cosx 时， f(x)=sinx. 给出以下结论： f

13、(x) 是周期函数 f(x) 的最小值为 -1当且仅当x=2k(k Z) 时， f(x)取最大值当且仅当2k- x (2k+1)(k Z) 时， f(x)02 f(x)的图象上相邻最低点的距离是2.其中正确命题的序号是.(把你认为正确命题的序号都填上)答案二、解答题9. 已知 x,，若方程mcosx-1=cosx+m 有解，试求参数m的取值范围 .6 3解 由 mcosx-1=cosx+m 得cosx= m1 , 作出函数 y=cosx 的图象（如图所示） ，m1由图象可得 1 m1 1, 解得 m -3.2m110. 设 a= sin 22 x , cosx sin x , b=(4sinx

14、,cosx-sinx),f(x)=a b.4用心爱心专心120（ 1）求函数 f(x)的解析式；（ 2）已知常数 0，若 y=f(x) 在区间, 2上是增函数，求的取值范围；23（ 3）设集合 A=x2， B=x|f(x)-m| 2,若 A B，求实数 m的取值范围 .x632 x解 （ 1） f(x)=sin2 4sinx+(cosx+sinx) (cosx-sinx)41 cosx=4sinx 2+cos2x=2sinx(1+sinx)+1-2sin22x=2sinx+1, f(x)=2sinx+1.（ 2） f(x)=2sinx+1,0.由 2k-x2k+, 得 f(x) 的增区间是2k

15、2, 2k,k Z.222 f （x）在2, 2上是增函数，2, 22,.332 -2且 2 , 0, 3.2324（ 3）由 |f(x)-m| 2, 得 -2 f(x)-m2, 即 f(x)-2 m f(x)+2. A B，当 x 2时，不等式 f(x)-2m f(x)+2恒成立 .63 f （ x） max-2 m f(x)min+2, f(x)max=f(2)=3,f(x)min=f(6)=2, m（ 1， 4） .11. 定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是, 且当 x 0,时， f （ x） =sinx.2（ 1）求当 x - ， 0时， f

16、(x) 的解析式；（ 2）画出函数 f(x) 在 - ， 上的函数简图；（ 3）求当 f(x) 1 时， x 的取值范围 .2解（ 1） f(x) 是偶函数，f （ -x ） =f （ x）. 而当 x 0,时， f(x)=sinx.2当 x,0时， f(x)=f(-x)=sin(-x)=-sinx.2又当 x,2时， x+ 0, 2， f （ x）的周期为， f （ x） =f(+x)=sin(+x)=-sinx.当 x -,0 时， f(x)=-sinx.（ 2）如图：用心121（ 3）由于 f(x ）的最小正周期为, 因此先在 -， 0上来研究 f(x) 1 ,2即 -sinx 1 , sinx -1 , - 5 x- .2266由周期性知，当x k5, k,k Z 时， f(x)1 .66212. 已知 a 0，函数 f(x)=-2asin2 x+2a+b, 当 x 0,时， -5 f(x)1.62（ 1）求常数 a,b的值；(2)设 g(x)=f x2且 lg g(x) 0, 求 g(x) 的单调区间 .解（ 1） x 0,， 2x+6, 7. sin2 x61 ,1，2662 -2asin2x -2a,a . f(x) b,3a+b ,6又 -5 f(x) 1, 因此可得 b=-5