导数及其应用84756

1、江苏省西亭高级中学 2010届高三一轮复习教学案导数及其应用考纲导读1. 了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握 函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念.2.熟记八个基本导数公式（C, ；m （m为有理数），sin x,cosx,e；,a；, In x, loga；的导数）；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数3.理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充 分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值.3高考导航导数的

2、应用价值极高，主要涉及函数单调性、极大（小）值，以及最大（小）值等，遇到 有关问题要能自觉地运用导数 .第1课时导数的概念（1）基础过关，即 f（X）=1. 导数的概念：函数 y = f（X）的导数f（X），就是当 xt0时，函数的增量 y与自变量 的增量 X的比A的2. 导函数：函数y = f（X）在区间（a, b）内的导数都存在，就说f （x）在区间（a, b ）内，其导数也是（a ,b ）内的函数，叫做 f（x）的，记作f（x）或y；，函数f（;）的导函数f （；）在时的函数值 ，就是f（;）在；0处的导数.3. 导数的几何意义：设函数 y = f（x）在点；0处可导，那么它在该点的导数

3、等于函数所表示 曲线在相应点 M（x0,y0）处的.典型例题例1.求函数y= Jx2 +1在xo到xo+A x之间的平均变化率.22解 V A v= J(X0 +心2 +1 Jx2 +1 - /xo 3) +1-1 TYj2J 2a(x0 +&)+1 &X0 +1 _空_J(X0 + 压)2 +1 tx2 +1办 J(X0 +Zx)2+Jx2 +1变式训练1.求y= 该在x=xo处的导数I解 lim Alim Jx0 + 心-fiP _ |im (Jx0隔)(7x0+Jx0 )3 &敷衣0 +& +Jx0)=lim40 Jx0 +& +2 区已知曲线y=1x3+4.33求曲线在x=2处的切线方

4、程；求曲线过点(2, 4)的切线方程.(1) V丫 =x , 在点P(2,4)处的切线的斜率 k=/| x=2-例2.(1)(2)解曲线在点 P( 2, 4)处的切线方程为 y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0.y=1x3弋与过点p( 2 , 4 )的切线相切于点(2)设曲线则切线的斜率k= yl X壬= .切线方程为江苏省西亭高级中学 2010届高三一轮复习教学案1=x5 f (x) =ax4+cx2 +L函数f (x)在x=1处的切线方程为y=x-2，可得切点为(1, -1 )a+c+1 = - 1”/ f *(1) =(4ax 3+2cx)|.一5x=1=4a+2c, A 4a 2

5、c=L由得a=5 ,c=_|函数y=f( x )的解析式为小结归纳1 .理解平均变化率的实际意义和数学意义。2.搞清导数的几何意义，为解决实际问题，如切线、加速度等问题打下理论基础第2课时导数的概念(2)基础过关(1)八个基本求导公式(C)丄/ n ；(X )=(sin X)=, (cosx) =(ex)鼻,(ax/ =(in X)=,(logaX)=(2)导数的四则运算(u v)=Cf(X)(uv)=,(U)=(3)复合函数的导数设 u =e(x)在点X处可导，y=f(if (x) =，即 yX =yuUx.；(n Q)(VH0)U =e(x)处可导，则复合函数f 日(X)在点x处可导，且典

6、型例题例1.(1)求下列各函数的导数:Tx + x +sin x; 1 2 xx (2 x=-sin 1 2cos 2 I4y =(x+l)(x +2)(x+3);1/八 X2 +x5 +sin X(1) - y =x2江苏省西亭高级中学 2010届高三一轮复习教学案1135-y=(xP)+(x3)+(x-sin x)=_?xP +3x2 _2xsinx +x/cosx.2y= ( x2+3x+2 )( x+3) =x3+6x2+11x+6 ,(2)方法2 y =3x +12X+11.方法二 y= (x 申)(x+2)kx+3)+(x+1)(x+2)(x43)=(x+1) )(X+2)+(x+

7、1)(x+2) (x+3) + (x+1)( X+2)=(X+2+X+1)( x+3) + (x+1)( x+2) = (2x+3)( x+3)+ (x+1)( x+2) =3x2+12x-ll,(3) y= inf-cosX isin2(2 J 2X,- y，=f1sinx 二丄和 xf hicosx.(2丿 2 2(4) y = L + 1 jS+F =2_1 rx 1 +7x (1 M)(1 +/J) 1 X.,r 2、T1X)，2y = ! =.划一X 丿(1 _x)(1 _x)变式训练1:求y=tanx的导数.解 yRinx) (sin xcosxsin x(cosx)cos2x+s

8、in2xIcosxcos2 xcos2 xcos2 X例2.设函数f(X)=axX +b(a,b Z)，曲线y =f(X)在点(2, f(2)处的切线方程为 y=3.(1 )求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y =f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值,并求出此定值.(1)于是2a 4 =3,rla =9 2：b解得严或 4aT=0,b,8(2 +b)2I 3因为a,b 忘Z,1故 f(X)=X +.X 1证明在曲线上任取一点卜+七由 f(Xo) =1-A-知，过此点的切线方程为(Xo -1)xO -Xo h C 11、y- =1 TT XXo).Xo TL (

9、Xo T)令X=1，得y，切线与直线X=1交点为,口.X0 -1, X0_1 J令y=x，得y /X0 1，切线与直线y=x的交点为(2X0 1,2X0 -1). 直线x=1与直线y=x的交点为(1,1).1 X0 +12 X0 _1所以，所围三角形的面积为定值2.从而所围三角形的面积为-1小结归纳要熟记求导公式，对于复合函数的导数要层层求导第34课时利用导数研究函数的性质基础过关1.函数的单调性 函数y= f(X)在某个区间内可导， 若f(X) 0,则f(X)为 为 .(逆命题不成立) 如果在某个区间内恒有f(x)9，贝y f(X)_注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的(

10、3)求可导函数单调区间的一般步骤和方法：;若 f(X)0恒成立，即f(x)在R上递增)若 a0,e x-a0, Ae a,x lna. af(x)的单调递增区间为(Ina,(2) f ( x)在R内单调递增，A f (x)0在R上恒成立I.Aex-a0, 即卩aWex在R上恒成立|A aW( e ) min,又e 0,(3) 方法一 由题意知ex-aW0在(-g, 0上恒成立|A aex在(-g, 0 上恒成立.在(-g, 0上为增函数IAx=0时，eX最大为1. Aa 1.同理可知 ex-a0在0,+g)上恒成立|A aWex在0, +g)上恒成立.A aW 1,：3二匕方法二由题意知，x=

11、0为f(x)的极小值点.A f (0) =0,即e - a=0, a a=1.变式训练1.已知函数f(x)=x 3-ax- L(1 )若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(2) 是否存在实数a,使f(x)在(-1 , 1)上单调递减？若存在，求出 a的取值范围；若不 存在，说明理由；(3) 证明：f(x)=x 3-ax-1的图象不可能总在直线y=a的上方|(1 )解 由已知f(x)=3x2-a, /f(x)在(-g，+ g)上是单调增函数，A fx)=3x2-a 0 在(-g，+ S)上恒成立，即 a 0, A 只需 aW 0,又 a=0 时，f(x)=3x2 兴仇故f(x)=

12、x 3-1在R上是增函数，则 hWL2 2(2)解 由 f(x)=3x-aw0 在(-1,1)上恒成立，得 a3x ,x (-1,1)恒成立|/ -1x1, A 3x2 3.当 a=3 时，f(x)=3(x2-lh在 x(-1,1)上，f(x)3,使f(x)在(-1 ,(3)证明 f( -1)=a- 2 0),求函数在1, 解 /f (x) =x2e-ax (a 0),二 f(X)=2xe-ax+x令 f (X)0,即 e-ax(-ax 2+2x)0,得 0x2) a江苏省西亭高级中学 2010届高三一轮复习教学案 f(x)在(-8,0),p,七c上是减函数，在R2 上是增函数2丿I日丿 当

13、02 2 时,f(xa二 f ( x) max=f ( 1) =e-a. 当K - w2,即KaW2af(x)在丁是增函数，在f(x) ma)=f4a e .3丿)在(1 , 2) 上是减函数)时,e，2 上是减函数,3丿当2 2时,a即0a1时,f(x)在(1，2)上是增函数,- f ( x) max=f 综上所述，当 当Ka2时，f(x)的最大值为e-a.变式训练3.设函数f(x)=-x(x-a) (x R),其中a R(1 )当a=1时，求曲线y=f(x)在点(2, f(2)处的切线方程;(2)当aM0时，求函数f(x)的极大值和极小值I 解：(1)当 a=1 时，f(x)=-x(x-1

14、)=-x 3+2x- X?f(2)=-2, f (x)=-3x +4x-1,f (2) =12+8-1=-工当a=1时，曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为 5x+y- 8=0.(2) f(x)=-x(x-a)L-x 3+2ax2-a 雹？f (x) =-3x +4ax-a =-(3x-a)(x-a J,(2) =4e-2a|0a0,当x变化时,f (x)的正负如下表:f (x)f(x)因此,函数若, a .(4,)/ a (3，a)函数f(x)3 a 27在x=|处取得极小值f (I),(2 )=-厶3;327f(x)在x=a处取得极大值f(a),且-僅a0，当x变化时，f (x

15、)的正负如下表：3.(-S ,a)(骑)312江苏省西亭高级中学 2010届高三一轮复习教学案f(X)f(x) 0 -43a 27、因此，函数f(x)在x=a处取得极小值f(a).且 f(a)=0 ；函数f(x)在x=|处取得极大值f ( I门且 f ( a )=-兰a33273元，并且每件产品需向总公司交ax元(9w xw 11)时，一年的销售量为 与每件产品的售价 x的函数关系式；例4.某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为 元(3 aw 5)的管理费，预计当每件产品的售价为 (12-X) 2万件I (1)求分公司一年的利润 L (万元)Q(a).2,x (2)当每件产品的售价为多少元

16、时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值解 (1)分公司一年的利润L (万元)与售价x的函数关系式为：L=(x-3-a)(12-x):9,11 : I2(2) L(x) =(1l-x)-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-令L0得x=6+ - a或x=12 (不合题意，舍去)(3/ 3w aw 5, 8w 6+law 2833在x=6+|a两侧的值由正变负14所以当 8w 6+2 a 9 即 3w a 9 时，Lma=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6- a).32当 9w6+|a 28，即 I waw5 时,Lmax=L(6+ 2 a)=(6+ 2 a-3

17、-a): 12-(6+ 2 a)-3所以Q(a)=t39(6 T),(14 3 aI 33 兰a 9,2-5.22=4(3-制答若3w a0, P(x) =0 时,x=12 ,当 0x0,当 x12 时，P(x) 1时，MP(x)单调递减，且 x N|随着产量的增加，每艘利润与前一艘比较，利润在减少小结归纳极值(最值)时，应先求出函数f(x)的导函数f(x)，再找出f(x)研究可导函数f(x)的单调性、=0的x取值或f(x)0( f(x) 0)的x的取值范围.y 卜0 +4卜孔一X0),即y =人。咲一討+点P( 2, 4)在切线上， 4= 2X4込，即 x3-Sx#+4亠加3+x2_4x2+4耳，x2(Xo+1)4(Xo十!) 1)=0,2 (X 0+1)(X