工程数学练习题(附答案版)

1、（一）一、单项选择题（每小题2 分，共12 分）1.设四阶行列式abcd，则 A11A21A31A41）.Ddacb（bdcdaccbA. abcdB.0C.(abcd) 2D.(abcd) 42.设 A( aij) m n , Ax0 仅有零解，则（）(A) A 的行向量组线性无关;(B) A的行向量组线性相关;(C) A的列向量组线性无关 ;(D) A的列向量组线性相关;3.设 P( A)0.8， P( A | B)0.8 ， P(B)0.7 ，则下列结论正确的是（） .A. 事件 A与 B 互不相容； B. AB ； C. 事件 A与 B 互相独立；D. P( AB)P( A)P(B)4

2、.从一副52 张的扑克牌中任意抽5 张，其中没有K 字牌的概率为（） .C485B.48C.C485485A.D.555C525525555.复数 z5(cos5i sin5) 的三角表示式为（）4444A5(cosi sin)B 5(cosi sin)5555C 5(cos4i sin4)D5(cos4i sin4)55556.设 C 为正向圆周 z+1|=2,n为正整数，则积分dz等于（）c( zi )n 1A 1；B 2 i ； C 0； D 12 i二、填空题（每空3 分，共 18分）1.设 A、 B 均为 n 阶方阵，且 | A |2, | B |3，则 |2BA 1 |.1,1,1

3、T1, 2,1T, 3T2.设 向 量 组1,22, 3, t则 当 t时 ,1 ,2 ,3 线性相关 .3.甲、乙向同一目标射击，甲、乙分别击中目标概率为，则目标被击中的概率为4.已知 E( X )1,D ( X ) 3 ，则 E 3(X 22)_.5.设 f (t) 是定义在实数域上的有界函数，且在t0 处连续，则(t ) f (t)dt.5s16.函数 F ( s)( s1)( s2)的 Laplace逆变换为f (t ).三、计算题（每小题10 分，共 70 分）4231. 设 A110, 而 B 满足关系式 ABA 2B , 试求矩阵 B .123x1x32当 为何值时 , 4x1x

4、22x32 无解 , 有解，并在有解时求出其解 .6 x1x24 x3 233、设在 15 只同类型的零件中有两只是次品，在其中取3 次，每次任取一只， 作不放回抽样，以 X 表示取出次品的只数，求X 的分布律。X-10124(1) 若设随机变量 X的分布律P1/81/21/81/4x0x1(2) 若设随机变量X 的概率密度f (x)=2 x 1 x2, 就情形（1）和（2）分别求 E(X),D(X).0 其他5. 已知调和函数u(x, y)x2y22x y ，求函数v(x, y) ，使函数f (z) u i v 解析且满足 f (i )1i .6. 计算 Idz的值，其中 C 为正向圆周 z

5、 r, r1,2. 。3(z1)( z2)c zy3 y3y y1,7. 用拉氏变换解方程组：y (0)y (0)1, y(0)2.（二）一、 选择题（每小题2 分，共12 分）1.设A为3阶方阵,数2,| A|=3,则 | A|=（）A24;B24;C 6;D6.2.,均为三维列向量，A( ,) ， ,组成的向量组线性相关，| A |的值（） .A. 大于 0B.等于 0C.小于 0D.无法确定3.设随机变量 X 的概率密度为f ( x)abx , 0x1;且 P X13 ，则有（) ；0 ,其它.28(A) a0,b 2; ( B) a1, b0;(C ) a1, b1;(D) a112,

6、 b.224.一射手向目标射击3次， Ai：第 i 次击中 (i1,2 ,3 ) ，则 3次至多2次击中目标表为()：( A) A1A2A3 ; (B) A1 A2 A3 ; (C ) A1A2A3 ; (D ) A1 A2 A35.复数 z(1cos)i sin(0) 的辐角为（）ABCD 226.设 f( t )1t1则其傅氏变换为（）0t1A 2sinB sinCsin1D 不存在12二、填空题（每空格2 分，共12 分）1.方程组x1x2x30的基础解系中向量的个数为7x23x302. 设 A35，则 A 1483. .设某种产品的次品率为，试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为ab

7、c =0现从产品中任意抽取4 个，则有 1 个次品的概率是_4.随机变量X 与 Y相互独立，E(X)E(Y), D( X )D(Y)2 ，则 E(X Y)2=5.设 C 为正向圆周 |z i|=1 , 则积分ezc z(zdz =_。3- i)6.1 的拉氏变换为 _ 。三、计算题或证明（每小题10 分，共70 分）l1 : ax2by3c0,1. 已知平面上三条不同直线的方程分别为l2: bx2cy3a0,l3: cx2ay3b0.110122. 设四维向量组112136，2，3， 4，5，求该0112401115向量组的秩及一个极大线性无关组，并把其余向量用该极大线性无关组线性表示3. 据

8、统计男性有 5%是患色盲的，女性有 %的是患色盲的，今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少1， P(B A)P( A B)1X、 Y 如4. 设事件 A、 B 满足条件 P( A). 定义随机变量421, 若A 发生，1,若B 发生，求二维随机变量（X， Y）的下： XY0, 若A 不发生 ，0, 若B 不发 生 ，联合分布律 .5.求 ux 22xy - y 2 的共轭调和函数v(x,y)，并使 v(0,0)1;6. 求指数衰减函数f (t)0t0e tt0的 Fourier变换及其积分表达式。7. 用拉氏变换 求解微分方程x (t )y (t )x

9、(t )y(t)0x( 0)y(0)02x (t)y (t )x(t)y(t )sintx (0)y (0)1（一）答案一、单项选择题（每小题2 分，共 12 分）1. B3. C4. A6. C二、填空题（每空 3分，共 18分）1. 3 2 n1 ； 2. 2； 3.； 4. 6； 5.f (0) ； 6. 2e t3e2t三、计算题或证明（每小题10 分，共 70 分）1解： ABA2B ， ( A2E )BA ， B( A2E ) 1 A ，223，223423100386，A 2 E11 011011 00 1 02961211211230012129所以 B( A 2E ) 1A3

10、86.29621291011012. 解：%A | b4 1 220 12 2 3，A614230001%r ( A)2当3,r ( A)2，线性方程组无解；当1 时r ( A)，方程组有1时， r ( A)无穷多解，且其通解为x1, 1,0 Tk1,2,1 T ,k 为任意常数3. 设 X 为“取出的次品数” ，则P( X0)C133221)C21C132122)C22C1311C153, P( XC153, P( XC1533535354 (1)E (X)=,D(X)=(2 )E (X)=1,D(X)=1/6.5. 1 、(1)由u2x2 yv，有 v(2x 2 y) d y2x yy2(

11、x) ，xy由u2 y2xv2y( x) ，有( x)2x ，yx( x)( 2x) d xx2c ，即得v(x, y)2xyy 2x2c ，f ( z)x2y22 x yi (2x yy2x2c) ； (2)由f (i )1ic 0 ，6.(1)当 0r1 时，设f ( z)1，则 f ( z) 在 C 内解析， z0在 C 内，( z 1)( z2)I1dz2i13ic ( z 1)( z 2) z3z042!( z 1)( z 2)（2）当 1r2时，作互不相交，互不包含的圆周C1 ,C 2 , C3 分别包围点0， 1，2，Idzdz2 iC1 z3 ( z1)( z 2)C2 z3

12、( z1)( z 2)3（3）当 2r 时，作互不相交，互不包含的圆周C1 ,C 2 ,C 3 分别包围点0， 1，2，IdzdzdziC1 z3 ( z1)( z 2)C2 z3 ( z1)( z 2)C3 z3 (z1)( z 2)127. 在方程两边取拉氏变换，并用初始条件得S3Y ( S)S2 y(0)Sy (0)y (0)3( S2Y (S)Sy(0)y (0)3(SY(S) y(0) Y(S)1S( S33S23S1)Y (S)112( S23S3) (S3)S1(2S35S24S1)1(2S1)(S1) 2SS即Y( S)2S111S( S1)SS1故 y(t ) L 1Y(S)

13、et1（二）答案一、选择题 （每小题2 分，共 12 分）1. A2. B3. D4. C5. B6. A二、填空题 （每空格2 分，共 12 分）1. 1；， 2.52221(Re s 0)2，3. 0.0394，5.; 6、4s314三、计算题或证明（每小题 10分，共 70 分）1. 解：证明 : 必要性由 l1,l 2 , l3交于一点得方程组有非零解a2b3c1bc故 R( A)R( A)b2c3a0(abc) 1ca0所以 a b c0 充分c2a3b1ab性：ab c0b( ac)a2b2(acb2 )2ac(ac)2 a2c2(ac)2 0。b2cax2by3c0R(A)R(

14、A) 2, 因此方程组bx2cy3a0有唯一解，即 l1 ,l 2 , l3 交于一点 .cx2ay3b02. 解： A(1, 2 , 3 ,4 , 5 )11012r101011213601102，01124000130111500000所以 R(1,2 ,3 , 4 , 5 )3 ， 1, 2 , 4 为向量组 1, 2 , 3 , 4 , 5 的一个极大线性无关组，且312 ， 512234 .3.设 A 任意挑选一人为男性 ，B 患有色盲 ，已知P(B | A) 5%, P(B | A)0.25%, P( A)0.5 ，则有P( A | B)P( A) P(B | A)0.5 5%0.

15、9524P( A) P(B | A)P( A)P(B | A)0.55%0.50.25%4. 解 ： ( X , Y)的 可 能 取 值 （ 0 ， 0 ） ，（ 0 ， 1 ） （ 1 ， 0 ）（ 1 ， 1 ）P X1, Y1P ( AB )P ( A) P ( BA)18P X1, Y0P ( AB )1P ( A ) P ( AB )8P X0, Y1P( AB)P ( AB )P ( AB )1P X0,Y1115P ( A B )80 188885、u2x 2y，u2x - 2y ，由 CR条件，有vu ,v-u ，xyyxxyvv dy(2x2y)dy2xyy 2(x) 。x再由v2y(x)-2x 2y-u ，得(x)-2x ，(x)-x 2Cxyv2xyy 2 - x 2C 。 v(0,0)1, 得 C1。 v2xyy 2- x 216. F ( )f