导数的思想方法和基本理论

1、导数的思想方法和基本理论有着广泛的应用，除对中学数学有重要的指导作用外，也能在中学数学的许多问题上起 到居高临下和以简化繁的作用。本文对2007年数学高考试题中有关运用导数解决问题的试题进行分析，看如何运用导数解决中学数学中相关问题：如函数单调性、最值等函数问题；在掌握导数的相关概念的基础上应用导数作出特殊函 数的图象；应用导数解题的一般方法证明某些不等式的成立和解决数列的有关问题，再根据导数所具有的几何意义对 切线相关问题及平行问题等几何问题进行了一些探讨，并最终运用导数解决实际问题中的最值。在我国现在中学数学新教材中，导数处于一种特殊的地位，是高中数学知识的一个重要交汇点，是联系多个章节

2、内容以及解决相关问题的重要工具。在2007年各省高考试题中，我们不难发现导数的应用在中学数学中是非常广泛的,涉及到了中学数学的各个方面，具体如下：（一）在函数方面的应用1. 1函数单调性的讨论函数的单调性是函数最基本的性质之一，是研究函数所要掌握的最基本的知识。通常用定义但当函数表达式较复杂时判断/仗1） -正负有困难时选用导数就会很方便。运用导数知识来讨论函数单来判断,调性时,只需求出 广，再考虑 广的正负即可。此方法简单快捷而且适用面广。江西卷12.设Aj（x） = J+lnx+2F+fm+1 在（0,+00）内单调递增，幣 -5,则P 是0的（B ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C

3、.充分必要条件D.既不充分也不必要条件安徽卷18.设冰，他十1+2伽叭令机讨（矶讨论酌在卩严）内的单调性。解：根据求导法则有/二1 _,故F二伙X）十2阮+2爲xaO ,于是2 X 2%)二 1-2 二，x0当Ovxv2时，叭x）2时，严匕）0故知F0）在（0,2）内是减函数，在 （2,+8） 内是增函数。.陕西卷20.设函数42SJ+ax+o，其中fl为实数.（II）当/匕）的定义域为R时，求/W 的单调减区间.解：（+必+13，令尸 0，得x（x+2，K 0 .由f=0 ,得二二0或2,又:Qci4, :.Qa2时，由广 0得0；当2 3 4时，由得,即当0 2时，/W的单调减区间为(42

4、-切；当2 3 0，当（-2,2）时，/ 0,故所求函数的单调递增区间是（-00,-2）, （2+k）,单调递减区间是（-2,2）分析：这类求函数单调区间的问题要比给出某个区间判断函数的单调性复杂一些在这类题型中，首先对/ 求导;再令yw 0或/w (1)所以/W在区间（a,）,-,+81 a内为增函数，在区间4厂一1 m丿/ 1内为减函数.函数 /W在X円 处取得极大2 _,函数了在可a处取得极大值 他，且了WT.当xo时，令广（n二Q, 得到m 缶x? A ,当；（变化时， m /W 的变化情况如下表:a卜T1a(11-,+0O1 口丿+00+递增极大值递减极小值递增=-a值他 ，且 如1

5、.函数了（力在可A处取得极小值q 分析：本小题考查两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力 及分类讨论的思想方法。j 1 2 2湖北卷20.已知定义在正实数集上的函数2, （小=3总勺11兀+3，其中存0 .设两曲线y二yw,y二g（n有公共点，且在该点处的切线相同.（I）用a表示i,并求i的最大值;7力=程解: （I）设y二jw与y二gU）（xo）在公共点（心yj处的切线相同.X，由-昭 + 2吒=3/ lnx(j +色 7 _务2环 +2z =1题意, / （州）二 g（X）.“-疋由石得：九刃，或州= -3a冶去）.即有吒/+2宀加12 =討

6、-血心.令讯0 =討-3?盹0）,则昨）= 2f（i_3kif）于是当（1-3血）丸，即05股耳时，叫）丸；当1-3沁）0,即（叫）0( 1、/ 1 、0,事只+8 /为增函数，在1 丿故蝴在为减函数， 于是她）在（0,+8） 的最大值为分析：这类题目解决的关键在于深刻理解并灵活运用导数的知识，实质是确定新构造函数的最大值。（二）在不等式证明方面的应用利用导数证明不等式，就是利用不等式与函数之间的联系，将不等式的部分或者全部投射到函数上。直接或等价 变形后，结合不等式的结构特征，构造相应的函数。通过导数运算判断出函数的单调性或利用导数运算来求出函数的 最值，将不等式的证明转化为函数问题，即转化

7、为比较函数值的大小，或者函数值在给定的区间上恒成立等。江苏卷9.已知二次函数=的导数为，广（0）0 ,对于任意实数X ,有,几）D. 2则广（0）的最小值为（C ） A.3 E.2 C.2安徽卷 18.设/（n）求证:当 rl 时，恒有 rlfl4-31nr+l.证明：由盘$ 0知，FW的极小值F（2） = 2- 21ii 2 +2& 0.于是由（I）知，对一切xe（0,+8），恒有-球匕） 0 .从而当X 0时，恒有,故/ W在（0，+8）内单调递增.所以当X1时,= 0,即.故当 时，恒有.1 2 2湖北卷20.已知定义在正实数集上的函数2,=，其中fl 0 .设两曲线丿二/, y=g（n

8、有公共点，且在该点处的切线相同.（II）求证： ywgw（xo）.5*(7)= /z)- g(7)= -;? + 2i3x-3aln7-i(x 0)证明：设2.故在（,小为减函数，在（爲+8）为增函数，于是函有 /W-gWSo ，即当j0 都有 /（宀，求数 FW 在（0,+8）上的最小值是 FSXFWMAg（歼）=0 故当工0时,全国卷20.设函数 /（X）二.（I）证明：了 W的导数 /）2 ；（n）若对所有0的取值范围.解（I）/W的导数f（X）二J +.由于e+e2#Dr二2 ,故八附 2 .（当且仅当x=0时，等号成立）.（n ）令二/-朋，则y（X）=f一+宀必，（i）若a2-aQ

9、 ,故g（R在（0,+8）上为增函数，所以，孟0时，g（Mg（0），即了0）加df +4（ii）若d 2，方程的正根为吗2 ，此时，若 X E Xj，则 0仗） 0 ，故（X）在该区 间为减函数.所以，XE （0, X1）时，g（n 加相矛盾.综上，满足条件的fl的取值范围是（62 .2I 2浙江卷22.设3，对任意实数f,记自S.（II）求证：（i）当X0时，了眺对任意正实数（成立；F ?22证明：（i）方法一：令岭）二心吶二訂匕gO）,耐,当M时，由肌沪0,所以力（M在（Q+00）内的最小值是A（d）=o .故当x0时,得x = d，当（讥+甜）时，护0）0 /（力& 对任意正实数（成立.

10、1 2 2-1 -方法二：对任意固定的oO,令妣民S口捫”则D ,由爪上。，得（V .当0 当（F时，叫）0时,对任意正实数（成立.分析：这类题型主要考查函数的基本性质、导数在不等式的证明中的应用、以及综合运用所学知识分析和解决问题的 能力。当不等式直接证明比较困难时可对不等式一边作一变形，再构造函数利用求导分析。（三）在数列方面的应用3是方程 /W二0的两个根（G0）,他是 的导数，设珂=1数列是高中数学中一个重要的部分，也是个难点。事实上数列可看作是自变量为正整数的特殊的函数，所以可以利用 数列和函数的关系，运用导数来解决数列的有关问题。广东卷21.已知函数/X）= X +兀一1,0的值；

11、（2）证明：对任意的正整数H ,都有兔0解析：（1）./0）=*+丫-1, 是方程視“41 = 0“用2a +1fl（当且仅当1+ 迟1 - &f（x）=O的两个根 S0）,.尸丁八丁；（2） f（X2用， 尹（亦1）+尹酬）岭1 I 1 一 （2耳+ 12吐*=42 , 勺7 ,有基本不等式可知泯 175-1 C-1於1a = 斶 0码 a = a2时取等号），2同，样2 ,2（n=1,2,2a +1n江西卷11.设函数 /W是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线严/在1=5 处的切线的斜率为（ B ）A. 5 B. 0C. 5D. 5分析：这道题可以根据导数的几何意义来求，导数的几何意义是

12、函数/在点则的导数广W是曲线尸兀）在点全国卷二22 .已知函数/（兀）=兀A . （1）求曲线y*（n在点 恥/） 处的切线方程;（2）设a0，如果过点（爲切可作曲线y = /（）的三条切线，证明：.解：（1）求函数/ W的导数；f W二？ x，-1 .曲线尸曲）在点f（ff）处的切线方程为：厂几）二他即尸*-1）龙.（2）如果有一条切线过点（偽B），则存在f,使占= （3/-1）-2（.于是，若过点（弘可作曲线y = fM的三条切线，则方程2F-3aF+a+i二0有三个相异的实数根.记=-3卅+讥b ,则北）=6-6皿二&-小.当以化时,g&, 0变化情况如下表:(-8,0)0(0, a)a

13、（爲 +3）+00+递增极大值a+b递减极小值b-JS）递增由馳） 的单调性，当极大值a+b V 0或极小值 皿）0 时，方程 g-0 最多有一个实数根;f - 0 f - %当a+b二0时，解方程得2，即方程g二。只有两个相异的实数根;a j t 二 a当二0时，解方程g二0得 2，即方程50 = 0只有两个相异的实数根.0.综上，如果过（弘可作曲线三条切线，即g二有三个相异的实数根，则（五）在实际问题中的应用北京卷19如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2尸，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底 CD的端点在椭圆上，记 CD=2x, 梯形面积为 .（

14、I）求面积以X为自变量的函数式,并写出其定义域；（II）求面积S的最大值.依题意，以的中点0为原点建立直角坐标系-寻（如图），则点C的横坐标为足方程乡+务SO）二-（2x + 2r）2厶= 2（工+ f）胪-X）2其定义xO 7rIIrx-2时,r丸；当2大值为时，f（x）0,所以/2即梯形面积S的最大值为2、x=-r丿是7丿的最大值因此，当2时，s也取得最大值，最福建卷19 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交2管理费，预计当每件产品的售价为X元（911）时，一年的销售量为 （12-力万件.（I）求分公司一年的利润丄（万元）与每件产品的售价 X的函数关系式

15、；（n）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润丄最大，并求出Z的最大值Q何解：（I）分公司一年的利润丄（万元）与售价X的函数关系式Z =（兀-3-0）（12-兀冗 xe9J1 （ n ）2/（力=12-齐-2U-3-a）12-x）22 孑28.（12-XX18+2.-3X）令r = 0 得6坪或22 （不合题意，舍去,，+33在2 26+-1386+x9 303 两侧丄的值由正变负. 所以 （1） 当3时，23（9） = （9-3-恥-9）76）（ 2）当即时,-_ 0，则 f（n=8（+y（r-2x）.令广（x）=o,得孑因为当2 2 Y2(1 )6+a-3-a12-6宀=43厶3丿3

16、1 33,所以2血厂(6+于)=9(6-0),9L最大，最大值 时 9（6T （万元）；0 2,则当每件售价为9元时，分公司一年的利润仏6（万元）.则当每件售价为I 3丿元时，分公司一年的利润丄最大，最大值分析：在求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先求出自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域。如果定义域是一个开区间，函数在定义域内可导（一般初等函数在自己的定义域内必可导），且此函数在这一开区间内有最大（小）值，那么只要对函数求导，当发现定义域内只有一个极值点时，立即可以断定在这个极值点处的函数值就 是最大（小）值。如果定义域是闭区间， 则必须对该点处的函数值与端点处的函数值进行比较才能确定。从2007年高考试题中我们看到导数在中学数学中的重要作用和地位。不仅如此从近几年新课程高考试题中也反映