平面向量基础测试题

1、基础测试（一）选择题（第题4分，共24 分）1 .计算 AC + DB +CD + BA等于().(A) 0( B) 0（C）2DB(D) 2 AC对于(C) , 2 X 2 3X 3 = 5 丰 0,排除(C)【提示】AC +DB +CD +BA =( AC +CD ) + ( DB + BA )= AD + DA = 0 .【答案】（B ）【点评】本题考查向量的加法及运算律，相反向量，零向量的表示方法.2.若向量a =(3, 2),b =（ 0, 1）,贝y向量2 b a的坐标是（)(A) ( 3,(B) ( 3, 4)(C) ( 3, 4)(D) ( 3, 4)【提示】2b a = 2

2、(0,1)( 3, 2)=(3, 4) 【答案】（D） 【点评】本题考查向量的坐标运算.3下列各组向量中，共线的是（)(B)(2, 3), b =(4,(1, 2), b =14)(2 , 3), b =( 3 , 2)(D)(3 , 2), b =( 6, 4)【提示】若a =( x , y), b =( X2 , y?),则a与b共线的充要条件是x1 y? x? y1 = 0.这里(3)X(4) 2X 6 = 0.故选(D) 排除（A）;排除（B）;【答案】（D ）【点评】 本题以坐标的形式考查向量共线的充要条件.对于(A), ( 2)X 6 3X 4 = 24M 0 , 对于(B) ,

3、1 X 14( 2)X 7 = 28工 0 ,4.平面上有三个点A (1, 3) , B (2, 2) , C ( 7, X),若/ ABC = 90 ,则 x 的值为().(A) 5(B) 6(C) 7(D) 8【提示】/ ABC = 90,即 AB 丄 BC，因 AB =( 1， 1), BC =( 5, x 2),得 1 x 5 +(-1)X( x 2)= 0,解出 x = 7.【答案】【点评】本题考查向量的坐标运算及向量垂直的充要条件.5.设S、t为非零实数，a与b均为单位向量时，若|sa + tb |= |ta sb |,贝U a与b的夹角8的大小为().(A) 30(B) 45(C

4、) 60(D) 90【提示】由|sa + tb|= |ta sb I,得 s2a2 + t2b 2 + 2 sta b = t2a2 + s2b2 2 sta b .又a、b均为单位向量，|a|= 1, |b|= 1,即 a2= 1, b2= 1.4 s t a b = 0，有|a | |b |cos 6 = 0,得 cos 6 = 0.0 = 90【答案】(D).【点评】本题主要考查平面向量的数量积及运算律.6.如图，D、C、B三点在地面同一条直线上，从C、D两点测得A点仰角分别为a、P,(a P),贝y A点距地面高度AB等于().仆、m sin a cos PA)nsin (a - P)

5、(B)m sin a cos Pcos(a - P)m cos cos(C)sin e-P)(D)Pcos(a - P)m cos。cos汾玄找肯疫器囂芒，4- 囂花-X衷=LA- 寸X帀？刁廿證味二 Alp A mA 虑 蚩靈逐进囂 2 nJ Hi -h. b 】Qosc盅頁F黑忑 L 丿卢 q A f LJ V p- A r-# 蕊爲蘆洱嚴誥爲 ;rfl.r n-drru 巧fi.！* _- H玄亠皆芒：-壬左玄之总莒匚 -/- UA 亠 p- = o r yTF 汎也农眾齐逶“滤雾幻 善胃：总甘 HA p N w 1 A二 :TNHQK.r K- -V- Hgy:, H ： 工 巾 -

6、0- b a，则a对的角A为最小.利用余弦定理，得cos A =b2 + C2 a22bc(2J2)2 +(76 +72)2 -22A = 30【答案】30.【点评】本题主要考查应用余弦定理解决三角形的有关问题.(三)解答题(每题14分，共56 分)1 设平面三点 A (1, 0) , B ( 0, 1) , C ( 2, 5).试求向量2 AB + AC的模;试求向量AB与AC的夹角;试求与BC垂直的单位向量的坐标.【提示】AB、AC的坐标为终点坐标与始点坐标的差，求出AB、AC的坐标后，可得2 AB +AC的坐标,(1)可解，对于(2),可先求AB、AC的值，代入cos & =学AC| A

7、B hi AC |即可；对于3),设所求向量的坐标为(X,y),根据题意，可得关于 X、y的二元方程组,解出X, y.【答案】AB =( 0 1, 1 0) = ( 1,1),cosAC =( 2 1, 5 0) = ( 1,2AB + AC = 2 ( 1, 1) +|2AB + AC |= J(-1)2 +72|AC |= J12 +52 =AB AC =( 1)5).(1, 5) = ( 1 , 7).= 72.726 ,X 1+ 1X 5 = 4.2J13| AB | | AC | 血 V2613(3)设所求向量为m =( X,y),则X2+ y2= 1.又 BC =( 2 0, 5

8、1)(2, 4),由BC丄m，得2 X + 4 y = 0.由、，得*245X =5(5L气【点评】力.V5)或(国)即为所求.5本题考查向量的模， 向量的坐标运算、向量的数量积，向量垂直的充要条件以及运算能(5552.如图，已知 AB = DC = a , BC = b，且 |a |= | b |.(1)用 a , b 表示 AD , AO , OB ；(2)求 AC -BD .J _ _K.；w w V牛ys召Y ： ：- J.匕 T f:-】，7人 - - r . .-=屮I亠十匚.W厂 r.；JJA心 rj- _ f-J .I d:：- - - ：H些冥:斗:门t/-r：V K- -

9、遽:忑L r i-jb/i 2 jJ：:乜 HKBA;叮:B：. ：，： ：.： ； r-uW-Jr IJiJ H二f 兀丄电7它|_.1几- -、二gr.：应用正弦定理，只需求/ ACD，而/ CDB是 ACD的一CDB，在 CDB中，已知两边，可利用余弦定理求角.【答案】由已知，在 CDB中，CD = 21, DB = 20, BC = 31,据余弦定理，有cos / CDB =CD2 +DB2-BC22 CD ”DBsin / CDB =山-COS CDB = -73 . 7在 ACD 中,/ CAD=20+ 40= 60/ACD =/ CDB-/ CAD =/ CDB 60sin /

10、ACD = sin(/ CDB 60)=sin / CDB cos 60 cos / CDB sin 60=5/314由正弦定理，得ADCD-sin / ACDSin NCAD=15 (千米).答:此人距A城15千米.【点评】本题结合三角函数的知识，主要考查了正弦、余弦定理的应用.解此类应用问题的关键是正确理解题意，建立数学模型，将实际问题转化为解斜三角形的问题,再根据正弦、余弦定理予以解决.4.已知平面向量 a =(7, 9),若向量 x、y 满足 2x + y = a ,x 丄 y , |x|=|y|,求 x、y的坐标.【提示】建立方程组，(X1, X2),解之即可.y =( y1, y2

11、),由已知，可以得到含有 X1,X2, y1, y2的四个关系式,【答案】(X1, X2),y =( y1, y2).由 2X + y = a，得2 (X1, X2)+ ( yi,y2)= ( 7, 9),即产+y1=72X2 *2 =9由 x _L y，得 Xiyi + X2y2= 0.由 |x|=|y|,得 X12 + X22 = y12 + y22= 0.将(1)式化为y1 = 7 2 X1,(2)式化为y2= 9- 2 x2,代入式，得X1 (7 2 X1)+ X2 (9 2 X2)= 0,即 2 ( X12+ X22)= 7 X1 + 9 X2,代入式，得X12+ X22= (7 2 x” 2 + (9 2 X2)2,即 3 ( X12+ X22