平面解析几何考点测试47圆与方程

1、考点测试47圆与方程高考概览5分或12分，中等难度高考在本考点中常考题型为选择题、填空题、解答题，分值为考纲研读1. 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程2. 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程 判断两圆的位置关系3. 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题4. 初步了解用代数方法处理几何问题的思想狂刷小题基础练、基础小题1.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()2 2 2 2A. X+ (y 2) = 1 B . X+ (y + 2) = 12 2 2 2C. (x 1) + (y 3) = 1 D . x + (y 3) =

2、 1答案 A解析 设圆心坐标为(0 , b),则由题意知7(0- 1 2+ (b 2$ = 1，解得b= 2,故圆的方 程为 x2 + (y 2)2 = 1.故选 A.2若点P(1,1)为圆C：(x 3)2+ y2= 9的弦MN勺中点，则弦MN所在直线的方程为()A. 2x+ y 3 = 0 B . x 2y+ 1 = 0C. x + 2y 3 = 0 D . 2x y 1 = 0答案 D解析 圆心q3,0) ,kPC= 1，则kMN= 2,所以弦MN所在直线的方程为y 1= 2(x 1), 即 2x y 1 = 0 .故选 D.3.圆 O： x2 + y2 2x= 0 与圆 Q: x2+ y

3、2 4y= 0 的位置关系是()A.相离B .相交C .外切D .内切答案 B解析 圆O： X2+ y2 2x = 0的圆心为 Od,。)，半径r1= 1 ;圆Q2: x2+ y2 4y= 0的圆 心为Q2(0,2)，半径2= 2.由于1|OQ| =诵3，故两圆相交.故选B.4.经过三点 A 1,0),耳3,0) , C(1,2)的圆的面积是()A. n B . 2 n C . 3 n D . 4 n答案 D所以AB为过A B, C三点的圆的直径，且该圆的圆心坐标为(1,0)，圆的半径为2,解析 如图，根据 A, B, C三点的坐标可以得出 AC= BC= 22, AB= 4,所以ACL BC

4、 所以圆 的面积为S= n R = n x2= 4 n .故选D.5. 对任意的实数 k，直线y= kx-1与圆X2 + y2- 2x 2= 0的位置关系是(A相离B.相切C.相交D.以上三个选项均有可能答案 Cy= kx 1 恒经过点 A：0， 1)，又 0+ ( 1) 2X0 2= 10,2 2y= kx 1 与圆 X+ y 2x 2 = 0 相交，故选 C.设圆的方程是x2+y2 + 2ax+ 2y + (a 1)2 = 0,若0a1，则原点与该圆的位置关系解析直线得点A在圆内,6.A.原点在圆上 B .原点在圆外C.原点在圆内 D .不确定答案 B. . 2 2 . - 2解析 将圆的

5、方程化成标准方程为(X+ a) +(y+ 1) = 2a,因为0a0,所以原点在圆外.故选B.7.若圆X2+ y2= a2与圆x2+y2+ ay6= 0的公共弦长为2边，则a的值为()B . 2 C . 1 D . 1A. 2答案解析立，可得设圆 X2 + y2 = a2 的圆心为 O 半径 r = | a|，将 x2+ y2= a2与 x2+y2+ ay 6= 0 联 a2+ ay 6= 0，即公共弦所在的直线方程为a2 + ay 6= 0,原点0到直线a2+ ay6 =0的距离为6一一a a，根据勾股定理可得a2 = 3+ 寸，解得a= 2.故选B.&过点M1,2)的直线I与圆C(X 3)

6、2+ (y 4)2= 25交于A, B两点，C为圆心，当/ ACB最小时，直线I的方程是答案X + y 3= 0解析 由题意知，当/ ACBt小时，圆心C(3,4)到直线I的距离达到最大，此时直线I4 21与直线CM垂直，又直线CM的斜率为口 = 1，所以直线1的斜率为-1=-1因此所求的直线l的方程是y 2 = (x 1)，即x + y 3= 0.二、咼考小题9 . （2018 全国卷川）直线x + y+ 2= 0分别与x轴，y轴交于A, B两点，点P在圆（x2）2+ y2= 2上，则 ABF面积的取值范围是（）A . 2,6 B . 4,8C.德，3炯D . 2羽,3羽答案 A解析直线X+

7、 y + 2 = 0分别与x轴，y轴交于A, B两点，/ A 2,0) , B(0 , 2), 则|AB = 2眾.点P在圆(x 2)2 + y2 = 2上，圆心为(2,0) ,圆心到直线 x + y + 2 = 0的距离d1= |2+量2| =2/2,故点P到直线x+y + 2 = 0的距离d2的范围为yf2,刘2，则S1 ABP= 2| AB| d2 =2d2 2,6，故选 A .10. （2018 北京高考）在平面直角坐标系中，记d为点P（cos 0 , sin 0 ）到直线x my2 = 0的距离.当0 , m变化时,d的最大值为（）A. 1答案2-I解析2 cos 0 + sin0

8、= 1,.P点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，又x my-2 = 0表示过点（2,0）且斜率不为0的直线，如图，可得点（一1,0）到直线x= 2的距离即为d的最大值.故选C.11. (2018 全国卷 I. 2 2)直线y= x + 1与圆X + y + 2y 3= 0交于A, B两点，则| AB =答案222 2解析根据题意，圆的方程可化为x+（y+ 1） = 4,所以圆的圆心为（0， 1），且半径是2,根据点到直线的距离公式可以求得圆心到直线的距离d = T迄，所以|AB=2/4 2 = 2 迈.12 . （2018 江苏高考）在平面直角坐标系 xOy中，A为直线l : y = 2x上的第一

9、象限内的点，B（5,0），以AB为直径的圆C与直线I交于另一点D.若Rb- &= 0，则点A的横坐标3答案解析a + 5解法一：设 A：a, 2a), a0,贝U,a,a+ 5圆 C的方程为x+ (y a)2a2,由 Sly= 2x,a+ 522 fa 5 2X丁 +(y a) = + a, AB- Cb= (5 a, 2a) _：- 32 a= a 2； 15 + 2a2 4a = 0, a = 3 或 a= 1,又a0,.a= 3,点A的横坐标为3.解法二：由题意易得/ BAD= 45设直线 DB的倾斜角为 0 ,贝U tan 0 = 2 ,. tan/ ABO= tan( 0 45 )

10、= 3,a kAB= tan / ABO= 3. AB 的方程为 y = 3(x 5),由厂呻5 得xa= 3. y=2x,13.（2016 全国卷川）已知直线l : mx+ y + 3m0与圆x2+ y2= 12交于A, B两点,过A, B分别作l的垂线与x轴交于C, D两点若|AB = 2衍，则|CD =.答案 4解析 由题意可知直线I过定点（3, （3），该定点在圆X2 + y2= 12上，不妨设点A 3, W），由于|AB = 2羽，r = 23,所以圆心到直线 AB的距离为= 3, 又由点到直线的距离公式可得d= 辟 =3,解得L厚所以直线1的斜率k一 m缨，即直线l的倾斜角为30.

11、如图，过点 C作CHL BD垂足为H,所以ICH = 2羽，在Rt CHD中,/ HCD= 30,所以 ICD = CoS0= 4.14. (2017 江苏高考)在平面直角坐标系 xOy中，A 12,0) , B(0,6)，点P在圆O： x2 + y2= 50上若PA- fBc 20,则点P的横坐标的取值范围是答案5寸2, 1解析 解法一：因为点P在圆O X2+ y2= 50 上,所以设P点坐标为(X, 750-X2)( 5谑c x2). 因为 A 12,0) , B(0,6),所以 PA= ( 12 x, 50 x)或 PA= ( 12 x,寸50 - x) , PB= ( x, 6 (50

12、 x)或 PB- ( x, 6 +寸50 X2).因为辰 20,先取P(x,寸50F)进行计算，所以(一12 x)( x) + ( 750 x2)(6 寸50 x2) 20,即卩 2x+ 550 x2.5当2x+ 50,即x0,即卩 x 2时，(2x + 5) 50 x ,解得5W x 1,故 x 1.同理可得 P(x,750 X2)时，Xc 5. 又-5眾c X5 迄，所以-5進 x 1. 故点P的横坐标的取值范围为52, 1. 解法二：设P(x, y),则 pA= ( 12 x, y), PB= ( x, 6 y)./ PA- PBc 20,( 12 x)( X)+ ( y) (6 . .

13、 2 2如图，作圆 O X+ y= 50，直线2x y+ 5 = 0与O O交于E, F两点, P在圆O上且满足2x y + 5 0,点P在EDF上.由x +y= 50, 得F点的横坐标为1.?x y+ 5 = 0又D点的横坐标为一52, P点的横坐标的取值范围为-5j2, 1 三、模拟小题15. (2018 合肥质检)设圆2 2x + y 2x 2y 2 = 0的圆心为C,直线I过(0,3)与圆C交于A,A.B两点，若 IAB = 23,3x+ 4y 12= 0 或 4x 3y + 9 = 0则直线I的方程为(B.3x+ 4y 12= 0 或 x= 0C.4x 3y + 9 = 0 或 x

14、= 0D.3x 4y + 12= 0 或 4x+ 3y + 9 = 0答案 B解析 当直线I的斜率不存在，即直线 I的方程为x = 0时，弦长为2寸3，符合题意； 当直线l的斜率存在时，可设直线 l的方程为y= kx + 3,由弦长为23,半径为2可知,圆心到该直线的距离为1,从而有舄=1，解得3k= 4，综上，直线l的方程为x = 0或 3x + 4y 12= 0,故选 B.-湖南长沙模拟)已知O O x2+ y2= 1,16. (2018A：0 , 2), B(a,2),从点 A观察点 B,要使视线不被OO挡住，则实数a的取值范围是(A.(8,B.OO2) U (2 ,+o)芈U芈+C.O

15、O纽3 U塑+O3 U 3 十D.答案解析点B在直线y = 2上，过点A(0 , 2)作圆的切线，设切线的斜率为k，由点斜式得切线方程为y= kx 2,即解得k = J3，二切线方程为| 2|kx y 2 = 0，由圆心到切线的距离等于半径，得-7 = 1,yjk +1 y=3x 2,和直线y = 2的交点坐标为一斗3, 2,2，要使视线不被O 0挡住,则实数a的取值范围是一O, 半U壇+.故选33B.17.(2018 广东茂名模拟. . 2 2 . ,)若圆x + y 4x 4y 10= 0上至少有三个不同点到直线ax+ by= 0的距离为2型，则直线I的斜率的取值范围是()A. 2 护，1

16、 B . 2-护,2+2】C誓，击 D . 0 ,+答案 B解析 圆x+ y 4x 4y 10= 0可化为(x 2) + (y 2) = 18,则圆心坐标为(2,2), 半径为3寸2.由圆X2 + y2 4X 4y 10 = 0上至少有三个不同点到直线I :ax + by = 0的距离为：羽可得，圆心到直线 I : ax + by= 0的距离d0 2迄 = 2,即la+0bOl，贝已2+ b2 + 4abw0 ，若a= 0，则b= 0,不符合题意，故a0且0，则可化为1 + +0,a aab4b14由于直线I的斜率k=a,所以1+- + -0可化为1+匚2-W0,解得kC 2 J3, 2+ba

17、akK萌，故选B.18. (2018 天津河西一模)若A为圆C: X2+ y2= 1上的动点，B为圆C2： (x 3)2+ (y+ 4) 2= 4上的动点，则线段 AB长度的最大值是 .答案 8. 2 2 . - . , 2 2解析 圆 C： X+ y = 1 的圆心为 C(0,0)，半径 ri= 1,圆 C2: (x 3) + (y + 4) = 4 的 圆心为C0(3 , 4)，半径2= 2, |CC| = 5又A为圆C上的动点，B为圆C上的动点, 线段AB长度的最大值是|CQ| +1+2= 5+ 1 + 2 = &19. (2018 湖北八市联考)已知a R 直线丨仁X+ 2y= a+

18、2和直线I2： 2x y = 2a 1 分别与圆E：(x a)2+ (y1)2= 9相交于点A,C和点B,D,则四边形ABC啲面积是 .答案 18解析 依题意，圆E的圆心坐标为 曰a, 1)，发现EC |1,E |2，即直线|1,|2都过圆心,故| AC = |BD = 6又 k1 k2= 1,1 卩 |1丄|2 故所求面积为 gx62= 18.20. (2018 衡阳二模)在平面直角坐标系 xOy中，已知圆O： x2+ y2= 9，圆Q: x2+ (y 6) 2= 16,在圆Q2内存在一定点 M过点M的直线I被圆Q,圆Q截得的弦分别为 AB CD且誥=4,则定点M的坐标为解析当直线Xo,I

19、的斜率不存在时，设 I : X = X0, 3 X00,2k2 + 4故 X1 + x2=r即MO,yM),yM 2,10；当直线I的斜率存在时，设I ：y= kx + b则 ABB =b9 2/ b 6 21 + k3218ICD = 2气/162 ,从而有=-，解得b=或b= 18.直线I过定点(0 ,V 戶16 忖由题设知 一 = 8，解得k= 1(舍去)，k= 1. 因此I的方程为y= x 1. 由(1)得AB的中点坐标为(3 , 2)，所以AB的垂直平分线方程为y 2 = (x 3), 即 y= x+ 5.设所求圆的圆心坐标为(X0, y。)，则 0= X0 + 5, 2 ：(y+

20、16,1 + kb)，且点M在圆O内，故b= 卩M), y.1精做大题*能力练侯一、高考大题21. (2018 全国卷n )设抛物线C: y = 4x的焦点为F,过F且斜率为k(k0)的直线I 与C交于A, B两点，AB = &(1)求I的方程; 求过点A, B且与C的准线相切的圆的方程.解(1)由题意得F(1 , 0), I 的方程为 y = k(x 1)(k0).设 A(x1,屮),B(x2, y2).2 2 2 2得 kx (2k + 4)x + k = 0.(X叶1尸解得r =3，yo= 2或yo= 6.2”、4k + 4所以 AB = AF + BF = (X1 + 1) +(X2

21、+ 1)k9999因此所求圆的方程为 (x 3) + (y 2) = 16 或(x 11) + (y + 6) = 144.2. (2017 全国卷川)已知抛物线C y2= 2x，过点(2 , 0)的直线I交C于A, B两点, 圆M是以线段AB为直径的圆.证明：坐标原点 0在圆M上;设圆M过点P(4 , - 2)，求直线I与圆M的方程.解(1)证明：设 A(X1 , y1) , B(X2, y2) , I : x= my+ 2,卜=my+ 2,2由 2可得y 2my 4 = 0,贝U些旳2 = 4.jy = 2x-2 2 2 又X1=歩X2= ，故你=咛=4.因此0A的斜率与0B的斜率之积为2

22、 &于=-1,所以沁0B故坐标原点0在圆M上.由(1)可得y1 + y2= 2 m,X1 + X2= m(y1 + y2) + 4 = 2ni + 4, 故圆心M的坐标为(m23. (2016 江苏高考)如图，在平面直角坐标系 XOy中，已知以M为圆心的圆M: x+ y + 2, m),圆M的半径r=p(m+ 2 m.由于圆M过点P(4, 2)，因此AP- BP= 0,故(X 1- 4)(x 2- 4) + (y i+ 2)(y 2+ 2) = 0,即 X1X2 4(x 1 + X2) + yiy2 + 2(y 1 + y2) + 20= 0.由(1)可知 y1y2= 4, X1X2 = 4,

23、所以 2m m 1 = 0,解得 m= 1 或 m= 1.当m= 1时，直线I的方程为X y 2 = 0,圆心M的坐标为(3 , 1)，圆M的半径为屮0. _ 2 2圆 M的方程为(X 3) + (y 1) = 10.当m= 1时，直线I的方程为2x + y 4 = 0,圆心M的坐标为, g)圆M的半径为圆M的方程为 4)+ +1= 116.12x 14y + 60= 0 及其上一点 A(2 , 4). 设圆N与x轴相切，与圆 M外切，且圆心 N在直线x= 6上，求圆N的标准方程;设平行于0A的直线I与圆M相交于B, C两点，且BC= OA求直线I的方程;设点T(t , 0)满足：存在圆M上的

24、两点P和Q使得tA+ TP= TQ求实数t的取值范围.圆M的标准方程为(X 6)2+ (y 7)2= 25,所以圆心 M(6, 7)，半径为5.(1)由圆心N在直线x= 6上，可设N(6 , yo).因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以Oyo7,于是圆N的半径为y。,从而 7 y0= 5 + y,解得 y0= 1 .因此，圆N的标准方程为(x 6)2 + (y 1)2= 1.4 0(2)因为直线I / 0A所以直线I的斜率为40 = 2.2 0设直线I的方程为y = 2x+ m,则圆心M到直线I的距离|2 X 6 7 + m| d =|m + 5|即 2x y + m= 0,所以(X2 6)

25、+ (y 2 7) = 25.警+ 5,因为 BC= OA=P22 + 42 = 2& , 而 mC= d2+ fBCj ,所以25 =解得m= 5或m= 15.故直线I的方程为2x y+ 5 = 0或2x y 15= 0.(3)设 P(X1, y1) , Q(X2 , y2).因为 A(2 , 4) , T(t , 0) , TA+ Tp= TQ2= X1+ 2 t 所以y2= y1+ 4.因为点Q在圆M上,2 2将代入，得(X1 t 4) + (y 1 3) = 25.于是点P(X1, y 1 )既在圆M上，又在圆X (t + 4) + (y 3) = 25 上，2 2 2 2从而圆(X 6) + (y 7) = 25 与圆x (t + 4) + (y 3) = 25 有公共点,所以 5 5W 7 (t + 4 厂 62 +( 3 7 $ W 5+ 5,解得2 2曲W t 0).因为圆C经过A B两点，所以乎十 147 b2=響十