第8章 实数全章题型总结（必考点分类集训）（教师版）-人教版(2024)七下

第八章实数全章题型总结【7个知识点13个题型】【人教版2024】【知识点1平方根的概念及性质】1.定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫作a的平方根或二次方根2.性质：正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根.3.开平方的定义(1)求一个数的平方根的运算，叫作开平方.(2)平方与开平方互为逆运算，可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确.4.被开方数正数a的正的平方根记为“a”，读作“根号a”，a叫作被开方数.【知识点2算术平方根的概念及性质】1.定义：正数a有两个平方根，其中正的平方根a叫作a的算术平方根.正数a的算术平方根用a来表示.2.性质：(1)一个正数的算术平方根是正数，负数没有算术平方根，0的算术平方根是0(2)算术平方根a的双重非负性：①被开方数一定是非负数，即a≥0；②非负数a的算术平方根为非负数，即a≥0.【知识点3立方根的概念及性质】1.概念及表示：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x叫作a的立方根或三次方根.类似于平方根，一个数a的立方根记为“3a”，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数.2.性质：①每个数a有且只有一个立方根，其中a可正、可负、可为0.②正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.【题型1平方根与立方根的定义理解】【例1】下列说法正确的有（）①5是25的算术平方根；②±4是64的立方根；③25的平方根是±5；④0A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】根据立方根、算术平方根、平方根的定义逐项判断即可得出答案．【解答】解：①25=5，即5是25的算术平方根，故①②364=4，即4是64的立方根，故③25=5，即25的平方根是±5，故④0的平方根和算术平方根都是它本身，故④正确；综上所述，正确的有①③④，共3个，故选：B．【变式1】下列语句，写成式子正确的是（）A．3是9的算术平方根，即9=±3B．﹣3是﹣27的立方根，即3-C．2是2的算术平方根，即2=2D．﹣27的立方根是﹣3，即3【分析】利用立方根及算术平方根的定义逐项判断即可．【解答】解：3是9的算术平方根，即9=3，则A﹣3是﹣27的立方根，即3-27=-32是2的算术平方根，即2的算术平方根是2，则C不符合题意；﹣27的立方根是﹣3，即3-27=-3故选：D．【变式2】学完平方根后，当堂检测环节刘老师布置了5道填空题，下面是丛丛的完成情况：①16的平方根是±4；②0的平方根是0；③9的算术平方根是3；④116的算术平方根是是12；⑤1的立方根是±1．若每做对一道题得A．100分 B．80分 C．60分 D．20分【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐个计算判断即可．【解答】解：①16的平方根是±4，正确；②0的平方根是0，正确；③9的算术平方根是3，正确；④116=14，⑤1的立方根是1，原计算错误；所以丛丛做对了4道题，若每做对一道题得20分，则该次检测丛丛应得分20×4＝80（分），故选：B．【变式3】某同学在作业本上做的五道题：①“4的平方根是±2”，用数学式子表示为4=±2；②-3-23=2；③16的算术平方根是2；④125A．2道 B．3道 C．4道 D．5道【分析】根据立方根、平方根、算术平方根的含义和求法，逐项判断即可．【解答】解：①“4的平方根是±2”，用数学式子表示为±4=±2，①②-3-2③∵16=4∴16的算术平方根是4=2∴③不符合题意；④125144=11⑤3是27的立方根，﹣3不是27的立方根，选项⑤符合题意，综上，可得他做错了3道：①、④、⑤．故选：B．【题型2算术平方根的非负性求值】【例1】已知（a﹣1）2+|b+1|+b+c-a=0，则a+b+【分析】先依据非负数的性质求得a、b、c的值，然后再代入计算即可．【解答】解：（a﹣1）2+|b+1|+b+∴a＝1，b＝﹣1，c＝2．∴a+b+c＝1+（﹣1）+2＝2．故答案为：2．【例2】代数式3-4-x2的最大值是【分析】根据算术平方根的非负性解答即可．【解答】解：∵4-x∴3-4-x即代数式3-4-x2故答案为：3．【变式1】如果1-3x和y-27互为相反数，那么xy的平方根是【分析】直接利用算术平方根以及偶次方的性质得出2x﹣y的值，进而得出答案．【解答】解：∵1-3x和y∴1﹣3x＝0，y﹣27＝0，解得：x=13，y＝∴xy＝9，∴xy的平方根是：±3．故答案为：±3．【变式2】代数式-3-a+b的最大值为，这时a、b满足的关系式是【分析】根据非负数的性质进行解答即可．【解答】解：∵a+∴a+b∴﹣3-a+b此时a+b=0，即a+b故答案为：﹣3，a+b＝0．【变式3】已知实数a，b，c满足(1-a)2+a2+b+c+|c+3|=0，且ax2+bx+c＝0【分析】根据非负数性质求出a，b，c的值，代入ax2+bx+c＝0得x2+2x＝3，再把3x2+6x+5变形代入求值即可．【解答】解：∵(1-a∴1-a解得，a=1代入ax2+bx+c＝0，得，x2+2x﹣3＝0∴x2+2x＝3，∴3x2+6x+5＝3（x2+2x）+5＝3×3+5＝14故答案为：14．【变式4】已知非零实数a，b满足|2a-4|+|b+2|+A．3 B．﹣2 C．1 D．5【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．【解答】解：∵（a﹣3）b2≥0，∴a﹣3≥0，∴a≥3，∴2a﹣4＞0，∴原式变形为|b+2|+(a∴b+2＝0，（a﹣3）b2＝0，∴b＝﹣2，a＝3，∴a﹣b＝3﹣（﹣2）＝5．故选：D．【题型3立方根的性质求值】【例1】已知：32a-3+37-3【分析】由题意可得2a﹣3与7﹣3a互为相反数，解出a的值，代入运算即可．【解答】解：由题意得，2a﹣3+7﹣3a＝0，解得：a＝4，∴a+5＝9，∴a+5=故答案为：3．【变式1】已知3x-1+1＝x，则x＝【分析】根据3x-1+1＝x，可得3x-【解答】解：∵3x-1+∴3x-1=∴x﹣1＝1，x﹣1＝﹣1，或x﹣1＝0，解得x＝0，1或2．故答案为：0，1或2．【变式2】已知x为有理数，且3x-3-32x+1=【分析】根据题意得：x﹣3＝2x+1，解出x，代入x2+x﹣3，求出平方根．【解答】解：∵3x-∴x﹣3＝2x+1，解得x＝﹣4，∴±x2+x-3【变式3】（1）已知3y-1和33-2y互为相反数，且x﹣5（2）已知x，y是实数，且1+x-(y-1)1-【分析】（1）由相反数的性质可得3y-1+33-2y=0，进而得到y﹣1＝﹣（3﹣2y），求出y＝2，又根据平方根等于本身的数只有0，可得到x＝5，求出（2）由1+x-(y-1)1-y=0可得1+x+(1-y)1-y=0【解答】解：（1）3y-1∴3y∴y﹣1＝﹣（3﹣2y），∴y＝2，∵x﹣5的平方根是它本身，平方根等于本身的数只有0，∴x﹣5＝0，∴x＝5，∴x+y＝7，x+y的平方根为±7（2）∵1+x∴1+x∴1+x＝0，1﹣y＝0，解得x＝﹣1，y＝1，∴x2023﹣y2023＝（﹣1）2023﹣12023＝﹣1﹣1＝﹣2．【题型4平方根与立方根中综合求值】【例1】已知M=n-4m+3是m+3的算术平方根，N=2m-4【分析】根据算术平方根和立方根的根指数列出方程，求出m＝12，n＝6，再代入计算即可．【解答】解：∵M=n-4m+3是m+3的算术平方根，∴n﹣4＝2，2m﹣4n+3＝3，解得：m＝12，n＝6，∴M=12+3=∴M-【变式1】已知A=a-2a+b+3是a+b+3的算术平方根，B=a-【分析】a-2a+b+3是a+b+3的算术平方根，得a﹣2＝2，继而求出a的值，a-2b+3a+2b是a+2b的立方根，得a﹣2b+3【解答】解：∵a-2a+b+3∴a﹣2＝2，∴a＝4．∵a-2b+3a∴a﹣2b+3＝3，∴4﹣2b+3＝3，∴b＝2，∴A=4+2+3=9=3∴B﹣A＝2﹣3＝﹣1，∴3B【变式2】已知：4a﹣11的平方根为±3，13a+b-1的算术平方根为它本身，（1）求a，b，c的值；（2）求a﹣b+c的平方根．【分析】（1）根据平方根的运算可求出a的，算术平方根的运算及a的值可求出b的值，立方根的运算可求出c的值；（2）把（1）中的a，b，c的值代入，根据平方根的运算即可求解．【解答】解：（1）∵4a﹣11的平方根为±3，∴4a﹣11＝（±3）2，即4a﹣11＝9，解得a＝5，∵13a+b-1的算术平方根为它本身，算术平方根等于其本身的有0或1，且3a+∴13a+b-1=1，即3a+b﹣1∴3×5+b﹣1＝1，解得，b＝﹣13，∵3c+13的立方根是4，∴3c+13＝43，即3a+13＝64，解得，c＝17，∴a＝5，b＝﹣13，c＝17．（2）解：由（1）可知，a＝5，b＝﹣13，c＝17，∴a﹣b+c＝5﹣（﹣13）+17＝5+13+17＝35，∴35的平方根为±35∴a﹣b+c的平方根为：±35【变式3】已知一个正数a的两个平方根分别为2m+1和5n+7，3n+（1）求m和n的值：（2）求3a﹣2m的平方根．【分析】（1）根据平方根和立方根的性质列出算式，求出m和n的值即可；（2）求出a的值，再代入计算3a﹣2m的值，根据平方根的概念求出答案即可．【解答】解：（1）由平方根的性质得，2m+1+5n+7＝0，2m+n＝0，解得：m＝1，n＝﹣2，（2）这个正数a＝（2m+1）2＝32＝9；当a＝9，m＝1时，3a﹣2m＝27﹣2＝25，∵25的平方根是±5，∴3a﹣2m的平方根为±5．【题型5运用开平方或开立方解方程】【例1】解下列方程：（1）8（x﹣1）3=-125（2）4（2x﹣1）2﹣36＝0．【分析】（1）先两边同除以8，再两边开立方，最后解方程可得答案；（2）先移项，再两边开平方，最后解方程可得答案．【解答】解：(1)8((xx-x=-（2）4（2x﹣1）2﹣36＝0，（2x﹣1）2＝9，2x﹣1＝±3，x＝2或x＝﹣1．【变式1】求下列各式中的x的值：（1）(x（2）2（x2﹣2）3﹣16＝0．【分析】（1）两边开平方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）移项后得出（x2﹣2）3＝8，开立方根得出x2﹣2＝2，求出即可．【解答】解：（1））(x开方得：x﹣1＝±32x1＝2.5，x2＝﹣0.5；（2）2（x2﹣2）3﹣16＝0，（x2﹣2）3＝8，x2﹣2＝2，即x2＝4，解得：x1＝2，x2＝﹣2．【变式2】求下列各式中x的值．（1）6（2x﹣3）2＝54；（2）5（x﹣2）3=-216【分析】（1）根据平方根的意义，进行计算即可解答；（2）根据立方根的意义，进行计算即可解答．【解答】解：（1）6（2x﹣3）2＝54，（2x﹣3）2＝9，2x﹣3＝±3，2x﹣3＝3或2x﹣3＝﹣3，x1＝3，x2＝0；（2）5（x﹣2）3=-216（x﹣2）3=-216x﹣2=-6x=4【变式3】解方程（1）3（8﹣x）3﹣（3）2＝21；（2）21(x-【分析】（1）根据立方根的定义即可求出答案．（2）根据平方根的定义即可求出答案．【解答】解：（1）3（8﹣x）3﹣（3）2＝21，3（8﹣x）3﹣3＝21，3（8﹣x）3＝24，（8﹣x）3＝8，8﹣x＝2，x＝6．（2）21(x-21(x（x﹣3）2=4x﹣3＝±23x﹣3=23或x﹣3x=113或x【知识点4实数的概念及分类】1.有理数和无理数统称为实数.2.无理数定义：任何有限小数和无限循环小数都是有理数，无限不循坏小数都是无理数.常见的无理数形式：①开方开不尽的数，如，等；②化简后含有π的数，如π，；③有规律但不循环的无限小数，如0.1010010001…

3.实数的分类：按定义分：实数按符号分：实数【题型6无理数的定义】【例1】下面几个数：0.1⋅237⋅，1.010010001…（两个1中间的0依次增多），-30.064，3A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】利用无理数定义即无限不循环小数判断即可．【解答】解：-30.064无理数有：1.010010001…（两个1中间的0依次增多），3π，5，共有3个．故选：C．【变式1】在实数5、﹣3、0、3-1、3.1415、π、144、6，2.123122312223…（1和3之间的2逐次加A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】根据无理数的定义解答即可．【解答】解：3-1=-1在5，﹣3，0，3-1，3.1415，π，144，6，2.123122312223…（1和3之间的2逐次加1）中，无理数有：5，π，6，2.123122312223…（1和3之间的2逐次加1），共故选：C．【变式2】在3.14，π，3.212212221，3，-227，25，2.1212212221…（在相邻两个2之间1A．5 B．2 C．3 D．4【分析】无理数就是无限不循环小数，常见的无理数的形式有：π，2π等；开方开不尽的数；像0.1010010001…（每两个1之间0的个数依次加1）这样有规律的数．【解答】解：无理数就是无限不循环小数，据此在3.14，π，3.212212221，3，-227，25，2.1212212221…（在相邻两个2之间1其中π，3，25，2.1212212221………为无理数，共有4故选：D．【变式3】在实数8，1.732，π，144，39，17，2.123122312223…（1和3之间的2逐次加A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数是无理数逐一分析即可．【解答】解：∵144=12∴在8，1.732，π，144，39，17，2.123122312223•••（1和3之间的2逐次加1个）中，属于无理数的有8，π，39，2.123122312223…（1和3之间的2逐次加1故选：B．【知识点5实数与数轴的关系】每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数和数轴上的点是一一对应的.【题型7实数与数轴的关系】【例1】实数a在数轴上对应的点的位置如图所示，计算|aA．π+2-2a B．π-2 【分析】由数轴可知，2＜a＜3，则π＞a，a＞【解答】解：由数轴可知，2＜a＜3，∴a＜π，a＞∴原式＝π﹣a﹣（2-a）=故选：B．【变式1】如图1，将面积为2的正方形向外等距扩0.5．在如图2所示的数轴上标示了四段范围，则大正方形的边长数值落在（）A．段① B．段② C．段③ D．段④【分析】先求小正方形的边长，再求出大正方形的边长，估算无理数的大小即可得出答案．【解答】解：∵面积为2的正方形的边长为2，∴向外等距扩0.5后边长为2+1∵1＜2＜2.25，∴1＜2＜∴2＜2+1＜∴落在段④，故选：D．【变式2】如图，半径为0.5的圆周上有一点M落在数轴上﹣1点处，现将圆在数轴上向左滚动一周后点M所处的位置在两个连续整数m，n之间（m＜n），则-2A．±3 B．-3 C．-12 【分析】根据圆的周长公式算出M点在数轴上移动的长度，向左移动，原数减去移动的长度即可得到点M新位置表示的数．从而分析在哪两个数之间，进而求出答案．【解答】解：2π×0.5＝π，∵﹣5＜﹣1﹣π＜﹣4，∴﹣1﹣π在﹣4和﹣5之间，∴m＝﹣5，n＝﹣4，∴-212的平方根为±12故选：D．【变式3】实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，那么(bA．2a+b B．b C．2a﹣b D．3b【分析】根据实数a，b在数轴上对应的点的位置判断出：a，b，b﹣a，a+b的符号，再根据平方根、立方根以及绝对值的性质进行化简即可．【解答】解：实数a，b在数轴上对应的点的位置可知：a＞0，b＜0，且|a|＞|b|，因此，b﹣a＜0，a+b＞0，所以，(b-a)2+|a+b|-3b3=a故选：C．【知识点6实数的运算】实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算。在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.实数混合运算的运算顺序与有理数混合运算的运算顺序基本相同，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号先算括号内的.在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出计算结果的近似值时，一般先用近似有限小数(例如，比计算结果要求的精确度多取一位)去代替无理数，再进行计算，最后对计算结果四舍五人.【题型8实数的混合运算】【例1】计算：（1）36⋅（2）364【分析】（1）首先计算开平方，然后计算乘法，最后计算减法，求出算式的值即可；（2）首先计算开立方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．【解答】解：（1）36＝6×1＝2﹣3＝﹣1．（2）3=45-=-19【变式1】计算：（1）|2-6（2）30.125【分析】（1）根据绝对值的定义，算术平方根的性质分别计算即可；（2）根据立方根，算术平方根的定义进行计算即可．【解答】解：（1）|2-=(6=6=26（2）3=3=1=-3【变式2】计算：（1）6425（2）16+【分析】（1）先把被开方数201（2）先估算7与52【解答】解：（1）64=8=8＝8﹣3+3＝8；（2）16=4+3+2-52＝2．【变式3】计算下列各题：（1）21（2）|2-3（3）-81【分析】（1）直接利用二次根式的性质、立方根的性质分别化简，进而得出答案；（2）直接利用绝对值的性质、二次根式的性质、立方根的性质分别化简，进而得出答案；（3）直接利用二次根式的性质、立方根的性质分别化简，进而得出答案．【解答】解：（1）原式=32=5（2）原式＝2-3＝8-3（3）原式＝﹣9﹣1+8+=-3【知识点7实数大小比较】1.利用数轴比较实数大小（1）正数大于零，负数小于零，正数大于负数；（2）两个正数，绝对值大的数较大；（3）两个负数，绝对值大的数反而小。2.无理数大小的比较估算法：（1）若，则；（2）若，则；根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数，来估算和的大小．例如：，则；，则．常见实数的估算值：，，．【题型9实数的大小比较】【例1】比较2，5，37A．2＜5＜37 B．2＜37【分析】先分别求出这三个数的六次方，然后比较它们的六次方的大小，即可比较这三个数的大小．【解答】解：∵26＝64，(5)6=[(5)2]∴(3∴37故选：C．【变式1】5-2，2+52，A．2+2＞2+52＞5-2 B．5C．2+52＞5-2＞2+2 D．【分析】先根据52＜2，利用不等式的性质可以判断第2个和第3【解答】解：∵5＜8，∴5＜∴52∴2+52＜∵（5-2）﹣（2+2）＝3﹣22∴5-2＞2故选：D．【变式2】214、226、15三个数的大小关系是（）A．214＜15＜226 B．226＜15＜C．214＜226＜15 D．226【分析】把214、226、15三个数都变成算术平方根的形式，再比较被开方数的大小．【解答】解：214=56，15∵56＜225＜226，∴56＜∴214＜15＜故选：A．【变式3】已知甲、乙、丙三数，甲＝5+15，乙＝3+17，丙＝1A．丙＜乙＜甲 B．乙＜甲＜丙 C．甲＜乙＜丙 D．甲＝乙＝丙【分析】首先确定15，17，23的范围，再比较大小即可．【解答】解：∵3＜15＜∴8＜5+15＜∵4＜17＜∴7＜3+17＜∵4＜23＜∴5＜1+23＜∴丙＜乙＜甲，故选：A．【题型10无理数的整数与小数部分】【例1】阅读材料：我们知道5是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此5的小数部分我们不可能全部写出来，而因为4＜5＜9，即2＜5＜3，于是请你结合以上材料，解答下列问题：（1）26的小数部分是，7+19的整数部分是（2）如果17的小数部分为m，3+51的整数部分为n，求5m+2n（3）已知16+62=p+q，其中p是整数，且0＜q【分析】（1）估算出26的整数部分，即可求得其小数部分；估算出19的整数部分，即可确定7+19（2）求出17的整数部分，即可求得m；估算出51的整数部分，即可求得n，代入即可求解；（3）估算出16+62的整数部分与小数部分，从而确定出p与q的值，进而求得p【解答】解：（1）∵5＜∴26的整数部分为5，小数部分为26-∵16＜∴4＜∴11＜∴7+19的整数部分为11故答案为：26-5，（2）∵4＜∴17的整数部分为4，则小数部分为17-4，即∵49＜∴7＜∴10＜∴3+51的整数部分为10，即n＝10∴5m（3）∵7＜∴62的整数部分为7，小数部分为62-∴16+62的整数部分为23，小数部分为16+由题意可得：p＝23，q=∴p+∴其算术平方根为5．【变式1】因为31＜33＜38，即1（1）求330（2）若m是7-320的整数部分，且（x+1）2＝m，求【分析】（1）运用题目中的方法对330（2）先运用题目中的方法估算出m的值，再运用平方根知识进行求解．【解答】解：（1）∵327即3＜330∴330的整数部分是3，小数部分是3（2）∵38即2＜320∴320的整数部分是2∴7-320的整数部分即m＝4，∴方程（x+1）2＝m即（x+1）2＝4，开平方，得x+1＝±2，解得x1＝1，x2＝﹣3．【变式2】阅读材料：3是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此3的小数部分我们不可能全部写出来，而1＜3＜2，于是我们可用（1）15的整数部分是，小数部分是；（2）如果6的小数部分为a，23的整数部分为b，求（a+b﹣2）2的值；（3）已知：98+99=x+y，其中x是整数，且0＜y【分析】（1）先估算出15的范围，即可得出答案；（2）先估算出6，23的范围，求出a、（3）先估算出99的范围，求出x、y的值，再代入求出即可．【解答】解：（1）∵9＜15＜16，∴3＜∴15的整数部分是3，小数部分是15-故答案为：3，15-（2）∵2＜∴6的整数部分是2，小数部分为6-2，即∵4＜∴23的整数部分是4，即b＝4；∴(a（3）∵81＜99＜100，∴9＜∴107＜∵98+99=x+y，其中x是整数，且0∴x=107∴x+∴x+99+5-【变式3】材料1：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，小数部分可以看成是2.5﹣2得来的，类比来看，2是无理数，而1＜2＜2，所以2的整数部分是1，于是可用2-1材料2：若10-122=a+b2，则有理数部分相等，无理数部分也相等，即a，b要满足a＝10根据以上材料，完成下列问题：（1）17的整数部分是，小数部分是；（2）3+3也是夹在相邻两个整数之间的数，可以表示为a＜3+3＜b，求a（3）若20-16+15=x+y5，则x＝，【分析】（1）根据算术平方根的定义估算无理数17的大小即可；（2）根据算术平方根的定义估算无理数3+3的大小，确定a、b（3）将左边化为25-【解答】解：（1）∵4＜17＜∴17的整数部分为4，小数部分为17-4故答案为：4，17-4（2）∵1＜3＜∴4＜3+3＜∵3+3也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为a＜3+3∴a＝4，b＝5，∴a+b＝9，∴a+b的算术平方根为9=3（3）∵20-16+15=x+y5，即2∴x=-195，y＝故答案为：-195，【题型11估算无理数的近似值】【例1】下面是小李同学探索107的近似数的过程：∵面积为107的正方形边长是107，且10＜∴设107=10+x，其中0＜x＜∵图中S正方形=102+2×10x∴102+2×10x+x2＝107，当x2较小时，省略x2，得20x+100≈107，得到x≈0.35，即107≈10.35（1）74的整数部分是；（2）仿照上述方法，探究74的近似值；（画出示意图，标明数据，并写出求解过程，精确到0.1）（3）结合上述具体实例，已知非负整数a、b、m，若a＜m＜a+1，且m＝a2+b，请估算m≈【分析】（1）先判断8＜74＜（2）设74=8+x，其中0＜x＜1，再画图，可得82+16x+x2＝74，当x2较小时，省略x2，得16x+64≈（3）如图，设m=a+x，可得正方形的面积为：a2+2ax+x2，而m＝a2+b，当x2较小时，省略x2，得a2+2ax≈m＝a2+【解答】解：（1）∵64＜∴8＜∴74的整数部分是8；（2）∵面积为74的正方形边长是74，且8＜∴设74=8+x，其中0＜x＜∵图中S正方形∴82+16x+x2＝74，当x2较小时，省略x2，得16x+64≈74，得到x≈0.625，即74≈8.6（3）如图，设m=正方形的面积为：a2+2ax+x2，而m＝a2+b，当x2较小时，省略x2，得a2+2ax≈m＝a2+b，∴x≈∴m≈【变式1】小李同学探索167的近似值的过程如下：∵面积为167的正方形的边长是167且12＜∴可设167=12+x，其中0＜x＜1，画出示意图，如图所示．根据示意图，可得图中正方形的面积S正方形=122+2×12x+x2，又∵S正方形＝167，∴12由x2＜1，可忽略x2，得144+24x≈167，得到x≈0.96，即167≈12.96（1）写出249的整数部分为，360的整数部分为；（2）仿照上述方法，探究解答230的近似值．（要求：画出图形，标明数据，结果保留两位小数）【分析】（1）估算出249，360即可得到答案；（2）仿照题意画出示意图进行求解即可．【解答】解：（1）∵15＜∴249的整数部分为15，∵18＜∴360的整数部分为18，故答案为：15，18；（2）∵15＜∴可设230=15+x，其中0＜x＜正方形的面积S正方形又∵S正方形＝230，∴152+2×15x+x2＝230，由x2＜1，可忽略∴225+30x≈230，得到x≈0.17，即230≈15.17【变式2】阅读材料1．2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分不能全部写出来，但由于1＜2＜2，所以2的整数部分为1，将2减去其整数部分（1）直接写出6的小数部分是；37的小数部分是（2）已知12+3=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1阅读材料2．小明在查阅了乘法公式（a+b）2＝a2+2ab+b2后，想出了一个估算无理数近似值的方法，例如求107的近似值（结果精确到0.01），设107=10+x，其中0＜x＜1，则107＝100+20x+x2，因为0＜x＜1，所以0＜x2＜1，所以107≈100+20x，解得x≈0.35，所以（3）利用小明的方法估算125的近似值（结果精确到0.01）【分析】（1）先估算出6和37（2）估算出12+3（3）根据材料中的方法估算即可．【解答】解：（1）∵4＜∴2＜∴6的小数部分是6-∵31∴1＜∴37的小数部分是3故答案为：6-2，（2）∵1＜∴1＜∴13＜∴x＝13，y=8-y（3）∵121＜∴11＜设125=11+x，其中0＜x＜则125＝121+22x+x2，∵0＜x＜1，∴0＜x2＜1，∴125≈121+22x，解得x≈0.18，所以107≈11.18【变式3】阅读材料学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算14的近似值．小明的方法：∵9＜14＜16，设14=3+k（0∴(14)2=(3+k)2，∴14＝9+6k+k解得，k≈56，∴14问题：（1）请你依照小明的方法，估算30的近似值．（2）已知非负整数a、b、m，若a＜m＜a+1，且m＝a2+b，结合上述材料估算m的近似值（用含a、【分析】（1）根据题目信息，找出30前后的两个平方数，从而确定出30=5+k（0＜k＜1（2）根据题目提供的求法，先求出k值，然后再加上a即可；【解答】解：（1）∵25＜设30=5+k（0＜k＜1∴（30）2＝（5+k）2，∴30＝25+10k+k2，∴30≈25+10k．解得k≈1∴30≈5+12≈（2）设m=a+k（0＜k＜1∴m＝a2+2ak+k2≈a2+2ak，∵m＝a2+b，∴a2+2ak＝a2+b，解得k=b∴m≈a+【题型12平方根与立方根中小数点移动规律】【例1】观察下列各式解决问题：已知15≈3.873，1.5≈1.225，则150≈已知310≈2.154，3y≈-0.2154，则y＝【分析】根据算术平方根：被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，立方根：被开方数扩大1000倍，立方根扩大10倍直接求解即可得到答案．【解答】解：∵15≈3.873，1.5∴150≈12.25∵310≈2.154，∴y＝﹣0.01，故答案为：12.25，﹣0.01．【变式1】已知0.1587≈0.3984，1.587≈1.260，30.1587≈0.5414，31.587≈1.166，聪明的同学你能不用计算器得出：（1）15.87≈【分析】根据题意，利用小数点移动规律得到结果即可．【解答】解：（1）∵0.1587≈0.3984∴15.87=故答案为：3.984；（2）∵31.587∴30.001587故答案为：0.1166．【变式2】观察：0.06137=0.2477，6.137=2.477，36.137=1.8308，36137=18.308；填空：①613.7=，②若3x【分析】根据根号内的小数点移动规律即可求解，算术平方根的规律为，根号内的小数点移动2位，对应的结果小数移动1位；立方根的规律为，根号内的小数点移动3位，其结果的小数点移动一位，小数点的移动方向保持一致．【解答】解：∵6.137=2.477∴613.7=24.77∵36.137=1.8308，3∴x＝0.006137故答案为：24.77，0.006137．【变式3】观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题：b0.0040964.0964096409600040960000003b0.161.6161601600（1）用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向移动位．（2）运用你发现的规律，探究下列问题：已知313≈2.35，则30.013≈，3（3）类比上述立方根运算：已知3.66≈1.913，则366≈，36600≈【分析】（1）根据表格中的数据，可以发现数字的变化规律；（2）根据（1）的规律可得结论；（3）根据立方根的移位规律可得算术平方根的移位规律，即可求得所求数字的值．【解答】解：（1）用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向右移动一位．故答案为：右，一；（2）∵313≈∴30.013≈0.235，3故答案为：0.235，23.5；（3）同理得：在算术平方根运算中，被开方数的小数点每向右移动两位，相应的平方根的小数点就向右移动一位．∵3.66≈1.913∴366≈19.13，36600≈故答案为：19.13，191.3．【题型13实数中的新定义问题】【例1】对于整数n，定义[n]为不大于n的最大整数，例如：[2]＝1，[6]＝2，[9]＝3，