关于椭圆向量点乘类题型(最新整理)

1、向量点乘类1、在直角坐标系中,点到两点 的距离之和等于 4,设点的轨迹为,直线与交于 两点. (1)写出的方程; (2) ，求的值.【解析】 (1)设,由椭圆定义可知,点的轨迹是以为焦点, 长半轴为 2 的椭圆,它的短半轴,故曲线的方程为.(2) 证明:设,其坐标满足消去并整理,得故.即，而，于是， 解 得考点：椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系.2、已知椭圆 的离心率为 ，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）若过点 c（-1，0）且斜率为 的直线 与椭圆相交于不同的两点，试问在 轴上是否存在点 ，使 是与 无关的常数？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）椭圆离心率为，

2、 ，.1 分 又椭圆过点（，1），代入椭圆方程，得. 所 以.4 分 椭圆方程为，即.（2）在 x 轴上存在点 m，使是与 k 无关的常数. 证明：假设在x 轴上存在点m（m,0）,使是与k 无关的常数， 直线l 过点 c（-1，0）且斜率为 k,l 方程为， 由得.设，则=设常数为 t，则.整理得对任意的 k 恒成立，解得，即在 x 轴上存在点 m（）， 使是与 k 无关的常数.考点：椭圆的标准方程及几何性质，直线与椭圆的位置关系，平面向量的数量积。点评：中档题，曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。求椭圆标准方程时，主要运用了椭圆的几何性质，建立了 a,bac

3、的方程组。3、已知椭圆 的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线 相切，直线与椭圆 c 相交于 a、b两点. （）求椭圆 c 的方程； （）求的取值范围；【解析】（）由题意知，即又，故椭圆的方程为（）解：由得：设 a(x1，y1)，b (x2，y2)，则， 的取值范围是考点：直线与圆锥曲线的综合问题；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程4、如图，f1，f2 是离心率为 的椭圆 c： (ab0)的左、右焦点，直线 ：x 将线段 f1f2 分成两段，其长度之比为 1 : 3设 a，b 是 c 上的两个动点，线段 ab 的中垂线与 c 交于 p，q 两点，线段 ab 的中点 m 在直

4、线 l上() 求椭圆 c 的方程； () 求的取值范围。【解析】（）设 f2(c，0)，则，所以 c1 因为离心率 e，所以 a 所以椭圆 c 的方程为() 当直线 ab 垂直于 x 轴时，直线 ab 方程为 x，此时 p(，0)、q(,0)， 当直线ab 不垂直于x 轴时，设直线ab 的斜率为k，m(，m) (m0)，a(x1，y1)，b(x2，y2) 由得(x1x2)2(y1y2)0， 则14mk0，故 k 此时，直线 pq 斜率为，pq的直线方程为即 联立消去 y，整理得 所以， 于是(x11)(x21)y1y2 令 t132m2，1t29，则 又 1t29， 所以 综上， 的取值范围为

5、考点：椭圆的方程、平面向量的数量积、韦达定理5、如图，已知椭圆： 的离心率为 ，以椭圆的左顶点为圆心作圆： ，设圆 与椭圆交于点与 点 （1）求椭圆的方程； （2）求 的最小值，并求此时圆的方程；（3）设点 是椭圆上异于,的任意一点，且直线分别与 轴交于点，为坐标原点， 求证： 为定值。【解析】（1）依题意，得，； 故椭圆的方程为（2） 点与点关于轴对称，设， 不 妨设由于点在椭圆上，所以（*）由已知，则， 所 以 由于，故当时，取得最小值为 由（*）式，故，又点在圆上，代入圆的方程得到 故圆的方程为：(3) 设，则直线的方程为：， 令，得， 同 理：，故（*）又点与点在椭圆上，故，代入（*）

6、式，得： 所以为定值考点：1.椭圆方程；2.配方法求最值.6、已知椭圆 的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线 相切，直线与椭圆 c 相交于 a、b两点. （1）求椭圆 c 的方程；（2）求的取值范围；【解析】（）由题意知，即又，故椭圆的方程为（）解：由得：设,则， 的取值范围是考点：1.椭圆的方程；2.椭圆的离心率；3.直线和椭圆的综合应用；4.向量的数量积.7、已知椭圆 ,为其右焦点，离心率为 . ()求椭圆 c的标准方程； ()若点 ，问是否存在直线，使 与椭圆交于两点，且若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由【解析】（）由题意知：，离心率， 故所求椭圆 c 的

7、标准方程为（）假设存在这样的直线满足题意，并设 因 为， 所以：由，得 根据题意，得， 且， 所 以即， 解得，或当时，（），显然符合题意； 当时，代入，得，解得 综上所述，存在这样的直线 ，其斜率 的取值范围是考点：椭圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、一元二次方程根和系数的关系8、已知椭圆的离心率为 ，且经过点 ()求椭圆的方程； ()如果过点 的直线与椭圆交于 两点（ 点与 点不重合）， 求的值； 当 为等腰直角三角形时，求直线 的方程【解析】 ()因为椭圆经过点，因为，解得， 所以椭圆的方程为()若过点的直线的斜率不存在，此时两点中有一个点与点重合， 不满足题目条件 所以直线的斜率存在

8、，设其斜率为，则的方程为，把代入椭圆方程得，设，则， 因为，所以， 由知：，如果为等腰直角三角形，设 的中点为 ，则，且， 若 ，则，显然满足，此时 直 线 的 方 程 为 ； 若 ， 则，解得，所以直线 的方程为，即或 综上所述：直线的方程为或或考点：1、求椭圆方程，2、直线与二次曲线的位置关系9、已知椭圆 ： 的离心率为 ，直线 :与以原点为圆心、以椭圆 的短半轴长为半径的圆相切. （）求椭圆 的方程； （）设椭圆 的左焦点为 ，右焦点 ，直线过点 且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点 ， 线段垂直平分线交 于点 ，求点 的轨迹的方程；（）设 与 轴交于点，不同的两点在 上，且满足 ，求 的

9、取值范围.【解析】（）直线相切， 椭圆的方程是（）， 动点到定直线 ：的距离等于它到定点的距离， 动点的轨迹是为 准 线，为焦点的抛物线点的轨迹的方程为（），设、，化简得当且仅当即时等号成立，又当即时，故的取值范围是考点：1.椭圆方程；2.抛物线的定义；3.坐标法的应用.10、已知 、 是椭圆的左、右焦点，且离心率 ，点 为椭圆上的一个动点，的内切圆面积的最大值为 . (1) 求椭圆的方程；(2) 若是椭圆上不重合的四个点，满足向量与 共线， 与共 线，且，求的取值范围.【解析】 (1)由几何性质可知：当内切圆面积取最大值时， 即取最大值，且. 由得又为定值， 综 上得； 又由，可得，即， 经

10、计算得， 故椭圆方程为.(2) 当直线与中有一条直线垂直于轴时，.当直线斜率存在但不为 0 时，设的方程为：，由消去可得，代入弦长公式得：， 同 理由消去可得， 代入弦长公式得：， 所以令，则，所以， 由可知，的取值范围是.考点：(1)椭圆方程；（2）直线与椭圆的位置关系；（3）函数的值域.11、在平面直角坐标系中，已知椭圆 的左焦点为 ，左、右顶点分别为 ，上顶点为，过 三点作圆（）若线段是圆的直径，求椭圆的离心率； （）若圆的圆心在直线上，求椭圆的方程; （）若直线交（）中椭圆于，交轴于，求的最大值【解析】（）由椭圆的方程知，点，设 f 的坐标为，是的直径，2 分解得，椭圆离心率（）过点三

11、点，圆心 p 既在 fc 的垂直平分线上，也在 bc 的垂直平分线上， fc 的垂直平分线方程为的中点为，的垂直平分线方程为 由得，即在直线上，,。 由得，椭圆的方程为（）由得（*） 设，则当且仅当,时取等号。此时方程（*）中的 0,的最大值为 1考点：直线与椭圆的位置关系12、在平面直角坐标系中，已知定点 a（2，0）、b（2，0），异于 a、b 两点的动点 p 满足 ，其中 k1、k2 分别表示直线 ap、bp 的斜率（）求动点 p 的轨迹 e 的方程； （）若 n 是直线 x=2 上异于点 b 的任意一点， 直线 an 与（i）中轨迹 e 交予点 q，设直线 qb 与以nb 为直径的圆的

12、一个交点为 m（异于点 b），点 c（1，0），求证：|cm|cn| 为定值。【解析】()设的轨迹方程为,由得.,其中, 整 理得点()设点设,则(), 从 而.而,直线斜率,直线与以为直径的圆的另一个交点为,值证法一:即.方程为三点共线,又是以,即,过定点定为直径的圆的切线,由切割线定理可知,为定值.定值证法二:直线:,直线:,联立得,为定值.考点：椭圆的方程；直线与椭圆的位置关系 点评：关于曲线的大题，第一问一般是求出曲线的方程，第二问常与直线结合起来，当涉及到交点时，常用到根与系数的关系式13、如图，已知椭圆 ， 是长轴的左、右端点，动点 满足 ，联结 ，交椭圆于点 （1）当 ， 时，

13、设 ，求 的值； （2）若 为常数，探究 满足的条件？ 并说明理由； （3）直接写出 为常数的一个不同于（2）结论类型的几何条件【解析】（1）直线所以，解方程组，得（2）设， 因 为三点共线，于是，即 又，即所以以当时，为常数 所（3） “设为椭圆的焦点，为短轴的顶点，当为等腰三角形时，为常数或”或给出“当时，为常数或”考点：直线与椭圆的位置关系 点评：主要是考查了直线与椭圆的位置关系的运用，属于中档题。14、已知圆的方程为 ，过点 作圆的两条切线，切点分别为、,直线恰好经过椭圆 的右顶点和上顶点（）求椭圆的方程； （）设是椭圆（ 垂直于 轴的一条弦，所在直线的方程为且是椭圆上异于、的任意一点

14、，直线、分别交定直线于两点、，求证.【解析】（） 观察知，是圆的一条切线，切点为，设为圆心，根据圆的切线性质，所以， 所以直线的方程为. 线与轴相交于，依题意，所求椭圆的方程为（） 椭圆方程为，设则有，在直线的方程中，令，整理得 同理， ， 并 将代入得= =. 而=且，考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程 点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查椭圆的标准方程，考查数形结合思想，考查学生的运算能力、分析问题解决问题的能力，难度较大15、已知点 p（4， 4），圆 c： 与椭圆 e： 有一个公共点 a（3，1），f1、f2 分别是椭圆的左、右焦点，直线 pf1 与圆 c 相切 （）求

15、 m 的值与椭圆 e 的方程；（）设 q 为椭圆 e上的一个动点，求 的取值范围。【解析】（1）代入点 a(3,1)得 m=1 或 5,得 m=1 2 分 设 pf 斜率为 k，所求椭圆方程为列方程组得：解得：(2)设点 q考点：本题主要考查椭圆的标准方程，椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系， 平面向量的坐标运算，三角函数辅助角公式。 点评：中档题，求椭圆的标准方程， 主要运用了椭圆的几何性质，a,b,c,e 的关系。曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理，简化解题过程。通过向量的坐标运算， 得到三角函数式，应用辅助角公式“化一”后，确定数量积的范围。16、已知椭圆

16、 （）设椭圆的半焦距，且成等差数列，求椭圆 的方程； （）设（1）中的椭圆 与直线相交于 两点，求 的取值范围【解析】（）由已知：，且，解得， 4 分所以椭圆的方程是（）将代入椭圆方程，得，化简得， 设，则， 所 以 ，由范围是.， 所以的取值考点：椭圆方程性质及椭圆与直线的位置关系 点评：椭圆中离心率，当直线与椭圆相交时，常将直线与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理设而不求的方法将所求问题转化为交点坐标表示17、已知椭圆的两个焦点为，点 在椭圆上. ()求椭圆的方程； ()已知点 ，设点 是椭圆上任一点，求的取值范围.【解析】（1）设椭圆的方程为由椭圆定义，.故所求的椭圆方程为.（2）设点在椭

17、圆上，有最小值；，有最大值，的范围是考点：直线与椭圆的位置关系 点评：主要是考查了直线与椭圆的位置关系，以及向量的数量积的运用，属于基础题。“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowl