数列常见求通项与求和方法

1、数列复习第，页1、数列中an与Sn之间的关系:anS （n ，）注意通项能否合并。31& 1, （n 2）.2、等差数列:定义：如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即an - an ,=d , （n2, n N ）,那么这个数列就叫做等差数列。等差中项：若三数 a、Ab成等差数列通项公式:an a,(n1)d am (nm)d 或 anpn q （p、q是常数）.前n项和公式：snna,n a,an2常用性质:若m n pq m,n, p,qN ，则 aman apaq ；数列 a b（,b为常数）仍为等差数列;若an、bn是等差数列，则kan、kanPbn(k、p

2、是非零常数）、ap nq（ p,q N ）、，也成等差数列。数列 an为等差数列anpn q (p,q 是常数)主：an的公差为d，则：i) d0an为递增数列;ii) d0an为递减数列;iii) d0an为常数列；右等差数列an的前n项和Sn,则Sk、S2kSk、S3kdk是等差数列。3、等比数列定义：如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。等比中项：若三数a、Gb成等比数列G2 ab, （ ab同号）。反之不一定成立。通项公式：an agn mamq前n项和公式：sna1 1 qnaianq常用性质若m n P qm,n, p,q N则

3、 am anap aq ； ak，ak m，ak 2m，为等比数列，公比为 qk（下标成等差数列，则对应的项成等比数列）数列 an （为不等于零的常数）仍是公比为q的等比数列；正项等比数列an ；则第12页Ig an是公差为Igq的等差数列;若an是等比数列，则 can an* 2ananr (rZ）是等比数列，公比依次是q，2 1q，q单调性:ai0,q1 或 a10,0 q 1 an为递增数列;ai0,0q 1 或 q 0,q 1a.为递减数列;类型I1.女口： an 满足一ar a22 2*an 2n 5类型n公式公式法：若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列 an的通项an可用

4、an (n 0构造两式作差求解。nSn S.1, (n 2)1.已知等差数列an满足a2=0，a6+a8=-10，求数列an的通项公式。2.设an是公比为正数的等比数列，a1 2，a3 a? 4，求%的通项公式3.已知正项数列an，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且ai,a3,ai5成等比数列，求数列an的通项an4.已知数列an的前n项和Sn n21，求%的通项公式5.设数列an的前n项和为Sn,已知a11,Sn 14an2设bnan 12an，证明数列bn是等比数列类型川累加法:形如an1 an f(n)型的递推数列(其中f(n)是关于n的函数)可构造:1.数列 an ，a1

5、1,an 3n 1an 1n 2，求 an2.已知数列an满足a112，an 1an亠，求n nan累乘法:形如 an 1 an f(n)f (n)型的递推数列an(其中f (n)是关于n的函数)求an1:例如：数列 an中，a1 3，乩an n 13n 1an2.已知 a13, an 1 an (n 1)，求3n 2类型V待定系数法:0）型的递推式:形如an 1 pan q （其中p,q均为常数且 p1.已知数列 an中,ai1，an 12an 3，求 an.2.设数列an : a14,an3an 12n 1,(n2)，求 a.3.已知数列an满足ai 1，an3n 2an 1 (n 2)，

6、求 a.倒数法:例如：a11，an1 an2an，求 a22.已知数列 an满足：a11,anan 1，求an的通项公式3an 1 1类型四对数法:1.若数列 an 中，a1 =3且an 1an2 （n是正整数），则它的通项公式是 an类型忸对无穷递推数列一一逐项相减法（阶差法）有时我们从递推关系an 1 can d中把n换成n-1有an can 1 d ,两式相减，进而求得通项公式.1.已知数列an满足a11, an a1232 3a3 III (n 1)务1(n 2)，求a.的通项公式。错位相减法数列求Sn若数列an1.已知ann?2n 1，求数列 an的前n项和S.22.求数列222,2

7、32n,前n项的和3.求和：Sn1 3x5x27x3，亠八 n 1(2n1)x为等差数列，数列bn为等比数列，形如数列an bn的求和就要采用此法.般地，当数列的通项an裂项相消法/ u xz u X (a,b1,b2,c为常数)时，往往可将(an b1)(an b2)an变成两项的差，采用裂项相消法求和常见的拆项公式有:(2n 1)(2 n 1)11);(ja Tb);才cm1CnmCm；n n!(n1)! n!.1.数列an的通项公式为an1寸，求它的前n项和Sn2-求数列PE石的前n项和Sn3.在数列an中，an -，又bn2一2，求数列b n的前n项的和an an 1分组法求和有一类数

8、列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几 个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：形如等差 +等比1.已知 an 2n 2n，求 92.求和：Sn 2 3 5143 526 3 532n 3 5 n3.求数列21 48唏1盯，的前n项和Sn.an 1.n项和：n(n 1)2 12 3 . n倒序相加法如果一个数列 an，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与 倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特 征：a1 an a2记住常见数列的前 1 3 5 . (2n 1) n2; 12 22 321n(n1)(2 n 1).1.求sin21sin2 2sin2 3sin2 88sin289 的值2.已知函数f x2x2x12(1)证明:求f110210f空10雹的值.第10an为常