数列5求数列的前n项和专题

1、东北师大附中高三数学 （文、理）第一轮复习0174数列（五）数列的前n和专题（2课时）命题人：李海军 2007 年10月一. 高考考点：1.等差数列等比数列前 n项和公式；2.裂项求和；3 .错位相减求和;4.倒序相加求和；5 .需要现进行放缩再求和（多见于数列与不等式的证明问题）.二. 知识总结：1.数列an为等差数列，若数列 bn满足bn =1,则求数列bn的前n项和利用a na n +利用裂项的方法求和.111解：bn = （一），记 bn的前n项和为Sn ,d an an卡则 Sn =6 +b2 +b3 +bn1111111 1 1=(11+ H)d a 1 a2 a 2 a 3 a

2、3 a 4an an-t+11 1=(一一) da1an +练习:求以下数列 an的前n项和公式:(1)an答:Sn2n1=-(12-1 2n +11 )2n +1(2)an答:an二厂仟氾厂二J齐石，所以Sn =后-1 . (Jn + Vn +1)( J n+1 -v n)2.数列Cn满足：Cn =anbn，其中数列a.是等差数列，数列bn是等比数列.则求数列cn的前n项和用错位相减法.方法如下:设数列an的公差为d，数列bn的公比为q ,Sn =aibi +a2b2 +a3b3 +anbnqSnaib2 +a2b3 +anbn +anbn +故(1 q)Sn =4 +(a2 a1)b2 +

3、(a3 a2)b3 + (a. a.3上卄(* )于是（* ）式中，除第一项和最后一项外，每一项都变成了（an -an）bn（n 2）的形式,由于an是等差数列，故an -ani =d为常数，故又变成了等比数列的求和问题.练习:（1）数列 an的通项公式为an =（2n +1）2n，求该数列的前n项和.答: Sn =(2 n +1)2n+ -2n* +2246求数列；于書,答：解：由题可知,纟丄，前n项的和.2n2 n12. 的通项是等差数列2n的通项与等比数列 2. 的通项之积设Sn226+232n2n1Sn =2(设制错位)2224+236+242n2n +1(1 -)S222=-+一22

4、222+ 一 + 一2324+22n2n（错位相减）Sn2n_ n 丄_ n +2 2n +2=4 -2n=2 3.倒序相加求和:例：求 Sn =cn +3C+ 5c3 +(2n -1)C；.解: Sn =C； +3C； +5C3 十+(2 n - 1)C；又 Sn =(2n 1)C： + (2n 3)C：- + 5(： +3C： tC：所以 2Sn =2(2 n - 1)C： +(2 n - 2)C：丄+(2 n - 2)c3 +(2 n - 2)(2 + (2 n - 2)(：,即：2Sn= 2(2n - 1)C； +(2n -2)(C；+C3+匚)所以：2Sn =2(2n -1)+(2n

5、-2)(2n -2).说明：此类题多见于等差数列与组合数相结合的数列中.4.（理科用）关于数列的不等式证明问题，主要思路是通过将前n项和放缩成为一个等比数列再求和或放缩成能用裂项求和，求和之后再进行不等式的证明。例1 （2006年全国卷I）设数列an 的前n项的和41 n+2Sn = an-一X2+-， n =1,2,3333（I）求首项a1与通项an ;n2(n)设 t：=,nSn4已1=Si =_已1解: ( I)34an+ =Sn+ Sn = a3所以数列丘中2 是公比为，证明：Z Tii=i2+3，解得：日1 =21n卡n-(2-23、匕an= 1,2,3n4丄a 卄3n+ 2n+ =

6、4(an +2n )1 2-X2332所以：an中2 =（a14的等比数列+ 21 F4n4nn得：an =4 2S(II )n2T =n S4=a33=X2所以:nZTii 1X23n2(2n + 1 f 2n 3f=-X I - 1(其中n为正整数)n+ +- =-(4n -233 3(11X I 一一-n 2 l2n 12n 十一1-1 X2n+ t2332蔦(2n+1 )(2n 12(2-1例2 （2006年福建卷）已知数列30,y0 时，xx y7口 n1ata2a nn*(II )证明： 一- 2)时，bk =2 + (k -1)d ,那么k2k2bk =2 +(k -1)d =2

7、 +(k +1) -1d. k -1 k -1 k -1k 1这就是说，当n =k +1时，等式也成立。根据(1 )和(2),可知bn =2 +(n -1) d对任何n亡N 都成立。 Tbn+-bn =d,. bn是等差数列。kak2 Tk +ak+2 一1k2 -1k2(21-一)+ 亞 +32ak丄3n n+ _ - _3.2+2 -223ak +31 2- +r 32 33n131 亠233233综上，小于号的不等式几乎都能够通过扩大放成等比数列或裂项来进行求和处理，因为+出an +32丄n11-(-+p +23 221+ )n /2).n11=- -(1 -232这类问题求和之后是 (

8、常数_f(n)的形式而f (n) 0 ,故可证小于成立，而大于号的不等式则较为复杂，需要综合运用不等式的知识进行配凑，下面举一例。 例 数列右n 的各项均为正值，31=1,对任意代N* , bn =log2(an +1)都成立.(1)求数列an、的通项公式；an + 1 =4an (an+1),(2)当k 7且 N *时，证明对任意 N *都有丄+丄+丄 bn bn* bn 半13bnkA 2成立.解：(1)由 3：+ 1 =4an(3n +1)得，(3n+ +23n + 1)(3 n+ - 2310 数列aj的各项为正值，3卄+23n +10 .3n+ =23n +1.an + +1 = 2

9、(3n +1)又 a, +1 = 2 工0数列tn +1为等比数列. 3n +1 =(31+1)2 =2n ,b. =l o g2 (2 n -1 +1)= nan =2，即为数列la J的通项公式.1 1 1(2)设S = +bnbn+bn42+(丄 n +12S =( +1一)n nk -11 1+= +bnk 丄 n1Hn +1 n +2+n k 1+n k 21丄1丄1丄一)+(+)+-n +2 n k 3分1 1+(+-)nk -1 n(1) 10I1111+ y 2jxy , 2 x y V xy1 1.(X + y)(+ ) 4 1+1X y上述(1)4X + y式中，当且仅当X

10、 = y时等号成立.127 , n A 0 ,2S n +nk -1+n +1 + nk -2n +1, n + 2,，nk -1全为正，所以444n(k -1).c 2(k -1)S 11 +kn2(k -1)k +1+n +2 + nk -3分2= 2(1 -)2(1 -k +1+2)7+1nk _1 + n n + nk-114得证.虽然大于号的不等式不好配凑，但有一点可以肯定的,就是放缩之后一定要能求和。所以a1 =2 ;8练习1( 2007浙江理21题)已知数列(aj中的相邻两项是关于 XX2 -(3k +2k)x +3kX2k =0 的两个根，且 a2k a2k(1,2,3,).(

11、1 )求 a1 ,a2 ,a3 , a 7 ；(II)求数列aj的前2n项和S2n,、1 (sin n(K)记 f (n)=+32Vsin n丿_ (1)f(2) .(1)2 . (1)f(4).(卄Tn =十T-+a1a2a3a4a5a6a2n 4a 2n 2(n N *)24本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力.满分15分.(I )解：方程X2 -(3k +2k)x+3kX2k =0 的两个根为 x 3k , x = 2 k当k =1时，X1=3,X2 =2 ,当k =2时,X1=6 , X2 =4 ,所以a3=4 ；当k =3时,Xi=9 , X2 =8 ,所以a5=

12、8时;当k =4时,Xi=12 ,X2 16 ,所以a7(II )解:S2n=a1 +a2 + a2n=(3 +6 + 3n) + (2 +22 屮+ 2n)3n2 +3n(III )证明:Tn+凹f (n书a1a2a3 a 4a5a6a2n _1a2nT2a1a2a1a2a3a424Tn+f (n 十)a3a4a5a6a 2n 4a2 n十.a3a4a2 n 丄a? n6 23n21610同时，T-+24a5a6a7a8,(1)f卄a2n 1 a2n51 f 11)+ I十 +248586(822a2n 丄a2n511+ 249 雷39 121逼 + 2n515_ n吒 .24924综上，当

13、N *时,1-w T65 w 24练习2: 2007天津在数列an 中，a1 =2， an 十=4an -3n +1， n 亡 N(I)证明数列an - n是等比数列;(n)求数列aj的前n项和Sn ；(m)证明不等式Sn + w 4Sn，对任意代N*皆成立.本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力.满分12分.(I)证明：由题设an+=4an-3 n+1，得an+ (n +1) =4(an n)， n 迂 N .又ai -1 h，所以数列an -n是首项为1，且公比为4的等比数列.(n)解：由(I)可知an-n=42，于是数列(aj的通项公式为13所以数列an 的前n项和Sn