整式的乘法四中

1、北京四中编稿：史卫红 审稿：赵云洁责编：张杨整式的乘法一、教学内容：单项式与单项式，单项式与多项式，多项式与多项式乘法二、技能要求:掌握单项式与单项式，单项式与多项式，多项式与多项式相乘的法则，并能运用它们进行运算。三、重要数学思想在学习整式乘法法则和运算中，初步掌握转化的数学思想方法四、学习指导1.单项式乘法:利用乘法交换律和乘法结合律再用同底数幂的乘法法则可完成单项式乘法。对于法则不要死记硬背，但要注意以下几点: 积的系数等于各单项式的系数的积，应先确定符号后计算绝对值。 相同字母因数相乘，是同底数幂的乘法。 要注意只在一个单项式里含有的字母要连同它的指数写在积里，不能将这个因式丢掉。 单

2、项式乘以单项式的结果仍是一个单项式。字母因式的底也可以是一个多项式，如：-2a(x+y)24ab2(x+y)3=-8a2b2(x+y)5单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘也适用。例如： 3 ab2(-2s2b)(-4abc) a4b4c82例 1.计算：(-3a2b)(- 2 a2c2)4c3-3(a-b)22(a-b)3 3 (a-b)解：(-36(- 2 ac2) 4c3分析：不要将b的这个因式丢掉=(-3) (-2 ) 4a2+2bc2+3=6a4bc5-3(a-b)22(a-b)3 3 (a-b)分析:将(a-b)看作底数，仍用=(-3) 2-3 (a-b)2+3+1单项式乘法法则

3、来作。=-4(a-b)6例 2.计算(-3 06) (-2 04) (-5 05)解：(-3 06)(-2 04)(-5 IO5)分析:可用单项式乘法法则=(-3)(-2)(-5) 106+4+5来作=-30 015=-3 -016用含10的幂记数将-30 -015写成-3 016例 3.计算 am+5bn+1 a-m+6bn-1解：am+5bn+1 a-m+6bn-1分析:无论指数多繁杂同底幂结合=(am+5 a-m+6)(bn+1 bn-1)是关键。=am+5-m+6 肝+1+-1=a11b2n例 4 .计算(ab3)n (ab3)4-n解法(一)：(ab3)n (ab3)4-n分析：依照

4、一般运算顺序、计算=an(b3)n a4-n(b3)4-n先做乘方，再做乘法。=anb3n 4-nb12-3n =an 4-n b3n b12-3n二an+4-n b3n+12-3n =a4b12解法(二)：(ab3)n (ab3)4-n分析：运用换元思想使运算过程=(ab3)n+4-n大为简化。即将ab3看成一个底数=(ab3)4再运用同底数幂的乘法法则计算=a4b12例 5 .计算(a2b4)m(ab4)2-m解法(一)：(a2b4)m(ab4)2-m分析：先变形：(a2b4)m=am (ab4)m=(a ab4)m (ab4)2-m =am (ab4)m (ab4)2-m =am(ab4

5、)m+2-m后用换元思想将ab4看成一个底数用同底数幂乘法法则最后再用单项式乘法法则=am(ab4)2=am b8=am+2b8解法(二)：(a2b4)m (ab4)2-m =(a2)m(b4)m a2-m(b4)：2m, 4m 2-m, 8-4m=a b a bm Q-m /u4 2-m分析：依照一般运算顺序先做积的乘方再做单项式乘法=(a2m a2-m)(b4m b8-4m)不换元反而简便。所以解题=a2m+2-m b4m+8-4m前要就题取法。=am+2b8通过前边几例的解法对比，目的在于培养我们自觉地分析例题特点，采取合理的简捷的方法，就题取法也是一种解题能力，只有通过解题中自我体会,

6、不要造题型，这样才能提高我们观察思维的能力。例 6 .计算(-1)2k+1 (-2 严解：(-1)2k+1 (-2 )2k分析：(-1)的奇次幂是-1=(-1)(- 2 )2k(-1)的偶次幂是+1=-1 (4 )k利用 sT (am)n 将(-2 )2k=-(4 )k = 4*变形(-2)2k=(- 2)=( 4 )k例 7.计算(32)10+(92)5(23)63+(83)23解法(一)：(32)10+(92)5分析：利用 化归”思想将两项=320+910都化成以3为底数的幂，再合并=320+(32)10同类项。=320+320=2X320解法(二)：(32)10+(92)5分析：利用化归

7、”思想将两项=910+910都化成以9为底数的幂，再合并=2X910同类项。解法(一)(23)63+(83)23=(86)3+(86)3=818+818分析：利用化归”思想将两项都化成以8为底数的幂=2X818解法(二)(23)63+(83)23=23曲+83”3分析：将两项都化为以2为底的幂=254+818=254+(23)18=254+254=2X254=255由以上四例解法可以看出，在幂的运算中，把不同底数幂化为同底数幂，以便于应用同底数幂的运算性质来处理,这是化简计算结果的一个重要环节。2.单项式与多项式相乘(1)单项式与多项式相乘就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即:

8、m(a+b+c)=ma+mb+mc,实际上就是根据乘法对加法的分配律来进行计算。也就是将单项式与多项式相乘转化为若干组单项式与单项式的乘法运算。(2)单项式与多项式相乘的积仍是一个多项式，而且积的项数和乘式中的多项式的项数相同，在运算过程中不要漏乘造成漏项。(3)运算时要注意符号，因为多项式由若干个单项式组成，其中每一个单项式都包括前面的符号，因此要注意确定积中每一项的符号。(4)最后结果一般按某一字母的降幂或升幂排列。例 & 计算(1)3 ab(- 2 a2b+ 2 b-3ab)(2) 6xy-3(xy-2 x2y) 3xy分析:解：(1)3 ab(-2 才13+2 b-3ab)=3 ab(

9、- 2 ab)+ 3 ab( 2b)+ 3 ab(-3ab)(1)利用法则转化成三组单项式乘法的代数和=-3 a3b2+ab2-2a2b2(2)计算时注意确定符号=-3 a3b2-2a2b2+ab2(3)按字母a的降幂排列(1)计算这种多层括号的题，一般从里往外去括号。去括号解：(2) 6xy-3(xy-2 x2y) 3xy 分析:=6xy-3xy+ 2 x2y 3xy时注意括号前面是“”号时，把-号和括号去掉时,=3xy+ 2 x2y 3xy括号内每一项都要变号=3xy(3xy)+3xy( 2 x2y)=9x2y2+ 2 x3y2有同类项时注意要随时合并同类项。解：(3x2)2-2x2(x+

10、1)-3x(x2-7)例 9.化简求值：(3x2)2-2x2(x+1)-3x(x2-7),其中 x= -2 .分析：先将原式化成最简形式按某一字母降幂(或升幂)排列再求=9x4-2x3-2x2-3x3+21x值计算。=9x4-5x3-2x2+21x原式=9(-2 )4-5(- 2 )3-2(- 2 )2+21(-2 )如：=3 a2+ 8 ab- 9 ab- 2 b2(1)用法则展开，化为四组单项式乘法的代数和=116 -1113=-9 16.* 3.多项式与多项式相乘(1)多项式乘以多项式的法则是由单项式乘以多项式的法则求出，因此两个多项式相乘只要把其中一个多项式看 作单项式即可。例如(a+

11、b)(c+d)可以将(a+b)看成单项式转化为单项式乘以多项式法则去计算。=(a+b)c+(a+b)d=ac+bc+ad+bd.(2)为避免丢项，也可以用第一个多项式的每一项依次去乘第二个多项式的每一项，在没有合并同类项之前，积 的项数等于这两个多项式项数之积。如：= ac+bc+ad+bd项数为 2X2=4 项。(3)对于型如(x+a)(x+b)的积要注意它的特殊性，貝卩(x+a)(x+b)=x2+bx+ax+ab=x2+(a+b)x+ab,这就是说，含有一个相 同字母的两个一次二项式相乘，得到的积是同一个字母的二次三项式。例 10.计算：(2 a- 3 b)( 3 a+ 4 b)解：(2

12、a- 3 b)( 3 a+4 b)分析:=2 a 3 a+ 2 a b- 3 b a- 3 b b=3 a2- 72 ab- 2 b2(2)合并同类项例 11.化简求值：(x+2)(x-3)-2(x-6)(x+5)-3(x 2-5x+17)，其中 x=5 2 .解：(x+2)(x-3)-2(x-6)(x+5)-3(x 2-5x+17)=x2+(2-3)x+(2)(-3)-2x 2+(-6+5)x+(-6)(5)-(3x 2-15x+51) =x2-x-6-2x2+2x+60-3x2+15x-51 =-4x2+16x+31111二当 x=5 2 时，原式=-4( 2 )+16( 2 )+3=-3

13、0.例 12.计算 ：(3x3-2-5x)(6-7x+2x2)解法(一)：(3x3-2-5x)(6-7x+2x2)=(3x3)(6)+(3x3)(-7x)+(3x3)(2x2)+(-2)(6)+(-2)(-7x)+(-2)(2x 2)+(-5x)(6)+(-5x)(-7x)+(-5x)(2x 2)=18x3-21x4+6x5-12+14x-4x2-30x+35x2-10x3 =6x5-21x4+8x3+31x2-16x-12在多项式乘法里像例12这样的两个因式的项数都比较多时，横式的写法在合并同类项时，容易搞错，我们也可以像算术里做多位数乘法一样用竖式的写法来进行演算-5x-2X)25?-7x

14、+6-10宀衣-21x4+35x+i4x1用分析=(1)先把两个多项式按某个字SMOS列。(2) 被乘式缺项的要空位(3) 乘的时候通常从左到右的顺序迸行.(4) 注意把同类项上下对齐.-30x126x-21x%8x+31x-16x-12/. (3x3-2-5x)(6-7x+2x2)=6x5-21x4+8x3+31x2-16x-12六.整式乘法运算的有关应用1.简化数字计算2.化简求值3.证明等式4.解方程和不等式例13.把下列各式化成(a-b)P的形式: 15(a-b)3-6(a-b)q+5(b-a)2 -45(b-a)5(2) (a-b)(b-a)4(b-a)p+q+1 -a-b)3分析：

15、底数a-b与b-a的幂相乘（除），实质上可以很方便地化为同底数幂相乘（除），要注意:a-b=-(b-a), (a-b；2=(b-a)2(a-b)3=-(b-a)3, (a-b)4=(b-a)4 (a-b)2P-1 =-(b-a)2p-1 (p 为正整数)(a-b)2p=(b-a)2p（p为正整数）解: (1)15(a-b)3-6(a-b)q+5(b-a)2 泊5(b-a)5=-15 6x45 (a-b)3(a-b)q+5(a-b)2F-(a-b)5 =2(a-b )3+q+5+2-5 =2(a - b)5+q(2) (a-b)(b-a)4(b-a)p+q+1 珂a-b)3=(a-b)(a-b)

16、4-(a-b) P+q+1 a-b)3=(-1)P+q+1 (a-b )1+4+P+q+1-3 =(-1) p+q+1 (a-b)p+q+3注意：（-1）p+q+1的计算没有最后确定，因为p,q的值与1的关系没有确定。因此（-1）p+q+1不能确定是-1还是+1,因此 就用（-1） p+q+1表示即可。例14.计算(1) 4(a+b)13-2(a+b)32 xn-5 (xn+1 y3m-2)2-(xn-1ym-2)3 (-y3m+2)解：(1)原式=43(a+b)6 (-2)2 (a+b)6=43x4(a+b)6+6 =256(a+b)12(2)原式=xn-5 x2(n+1)y2(3m-2)

17、-x3(n-1)y3(m-2) (-y3m+2 )= Xn-5 x2n + 2 y6m-4-x3n-3y3m-6 (-y3m+2) =xn-5+2n+2 y6m-4 +x 3n-3 y3m-6+3m+2 =x3n-3y6m-4 +%3口-36口-4 =2x3n-3y6m-4例 15.(1)化简(a2b6)n+3(-ab3)2n+2(-anb3n)2(n 为正整数)(2)计算：(-3 xy2z)2(- 2 xyz2)3(-6x2y2)2解：（1）原式=?涉+332叱6+232叱6=(1+3+2)a2nb6n=6a2nb6n(2)原式=(-1)2+3+2 ( 3 )2 (2 )3 (6)2 x2+

18、3+4 y4+3+4 z2+6=(-1)7(3 x2 X6)2 - 2 x9y11z8=-2 x9y11z8.例 16.用简便方法计算：(-9)3 (-3 )3(3 )3(2) ( 2 )23 (23)3ambmcm=(abc)m分析：本题逆用积的乘方公式，即同底指数的若干个幂的积等于它们底数乘积之幂。解：(-9)3 (-3 )3(3)3=(-9)( - 3)( 3 )3=(9 x3 x3 )3=23=8(2 )23 (23)3=(2 )2 (23)3= 4 83=23=8。例17.解下列各题:(1)如果 2 8n 16n=222,求 n 的值。如果(9n)2=38,求n的值。分析：依据相等的2个幂，如其底数相同，则其指数相等的原理解方程。解：(1) V 2 8n 16n=222又T 左边=2 8n 16n=2 (23)n (24)n=2 23n 24n=21+3n+4n =21+7n. 21+7n=222,/. 1+7n=2222-1n= 7=3(2) T (9n)2=38法(一)又T (9n)2=92n, 38=(32)4=94/. 92n=94,.：2n=4,n=2