量子力学作业2

1、b=2.8978 10 K，求人体热辐射的峰值波长(设体温为37 C)b 2.8978 10 解：T=273.15+37=310.15K:9.34umT 310.152.宇宙大爆炸遗留在宇宙空间的均匀各向同性的背景热辐射相当于T=2.726K黑体辐射。此辐射的峰值波长是多少？在什么波段？解：b 2.8978 10 *，=1.06mmT 2.726可得在红外线波段3. 波长为，=0.01 nm的X射线光子与静止的电子发生碰撞。在与入射方向垂直的方向上观察时，散射X射线的波长为多大？碰撞后电子获得的能量是多少eV?”二h6 626104上解：(1 cosh) = ：=318 ： 2.43 10 m

2、2m0c9.110 X3.0X10 = .： - - =0.002430.01 =0.01243nm11 8 1 1 19v = c( ) =3.0 10(9-2.76 10 Hz打 九0.01243 汉 100.01 汉 10电子碰撞后获得的能量等于光子损耗的E =h v =-6.626 104 (-2.76 1019)1.83 104J=1.14 105eV4. 在一束电子束中，但电子的动能为E=20eV,求此电子的布罗意波长1 、， 2E 2 20 1.6 106/解：E mV = V312.652 10 m/s ： ；： c2 m 9.仆10P =mV =9.1 10*12.652 1

3、06 ： 2.41 104JP6.626 10 42.41 10 亠2.75 10 m =2.75 A-a x5.1.设归一化波函数：(x)二Ae 2( - ： : x ： : ), a为常数，求归一化常数AA2oo2 2-a xe dx=A =| oO2 2 _a xe dx-=0-=O兀2 a2.设归一化波函数: n(x A sin(aX)(0xa), n为正整数，a为常数，求归一化常数A。解:2化(x) dx2 2 n二=A sin ( x) dxa2 n 兀ia0Sin(a)dx 26.自由粒子波函数为 (r,t) 间和时间变量，普朗克常数,Ae(。S，其中p和E是粒子的动量和能量，r

4、和t空A是归一化常数。试建立自由粒子波函数所满足的方程。解:.:t-E-(1)Py2.:x22:z22亍2；x2:z2p2E=2m(3)由式(1)( 2)(3)得,:ti 2m ；:r2-2、2，-；-：t2m7.设一个微观粒子的哈密顿算符的本征方程为H n(x) = Enn(x)该粒子的初始波函数为二(X,O) =C1?1(X)Cr2(x)，设Cn和T fn (x)是实数，求任意时刻的波函数？n(X,t)及粒子的几率密度解：- n(x，t)二 Cjn(X)exp(丄 Ent)5 二.？n(X)?(X,0)dX 二.？n(X)C1J(X)dX. ?n(X)C2?2(X)dX=C2 (n =2)

5、0(n =1且n -2)nn任意时刻的波函数 甲(x,t)=E乳(x,t) = E Cn罠(x)exp(_*Ent)00A二 C-?i(x)exp(一丄 E-t) C2?2(x)exp(-丄 Ezt)粒子的几率密度2岸(x,t) =Tx,t)屮(x,t)=I C(x)exp(丄 E1t) Cf2(x)exp(- E2t) I I C(x)exp(-丄 E1t)C2?2(x)exp(- E2t) 1-C12;r11 2(x) - C2巧2(x) 2C1C/?1(xr2(x)cos t 二 E1 _ E2)8.宽度为a的一维无限深势阱中粒子的本征函数为t n(x)二、2 sin(nx)(n-1,2

6、,3.),求 a a证本征函数的正交性:am(x)- n(x)dx = 0(m = n)证明:- m(x)2sin严 x)(m =1,2,3.) a aa2 a m ：即 m(x)即n(x)dx = 0 sin(0a 0 ax) sin(ax)dx1 fa；cos(xcos(x)dx a 0 a aa a当n=m时，原式=-xdxx +旦sin细 a 2n兀ax-1当剧，原式=sin(血)-丄sin(匹)_m n a m n a 9.原子核内的质子和中子可以粗略地当成处于无限深势阱中而不能逸出，它们在核中可以认为是自由的。按一维无限深势阱估算，质子从第一激发态(n = 2)跃迁到基态(n =

7、1)时，释放的能量是多少MeV?核的线度按a = 1.0 10 J4 m计算。2 ；：2?解：二EV =2m2二 k:x-0(k22mE)泛定方程+0岸(0)=甲(a) =0二 B=0，2 2 - 2ln兀曲En2(n=,2,3 )2a m3二222a2m22二2一2 12二2一2 2 2 2a m 2a m6.1 106eV3x(6.626x104)28 (1.0 10d4)2 1840 9.1 10J31 1.6 10“10.理想金属细杆中的电子可以当成处于一维无限深势阱中而不能逸出，它们在细杆中可以认为是自由的。设细杆的长度为a,电子的初始波函数为 ？(x,0) = f (x)二Ax (

8、0xa,A为归一化常数)，试求任意t时刻电子的波函数 宇(x,t)。aa解:! 、+ 2(x,0)dx = A2 x2dx =1 ： A00n(X,t)二Cn?n(X)exp(-丄 Ent)由一维无限深势阱可知En2 -22a 需3 =2 sin(n x) a a6a . n-故 Cn 二 丁 n(x)?(x,0)dxxsin(x)dx = -cosn ；二(-1)n 16n 二sin( ) i exp(- Ent)2 2-2n -2 )2a mQO?(X,t) = 3，-n(x,t z (-1)n1 a nm11.设一个微观粒子的哈密顿不含时间，其本征方程为H n(x)二En(x),如果粒子

9、的初态为- k(x)，求粒子在任意时刻的波函数及几率密度。解：因为哈密顿不含时间，故 n(x,t)二 Cn (X)exp(-丄 Ent)Cn =胖(X)屮 k (X)dX =歸=丿门k)1( n = k)00i粒子在任意时刻的波函数为？(x,t) =n(x,t)k(x)exp( Ekt)222i几率密度为怦(x,t) =k(x)exp(-了Ekt) 12.设谐振子处于基态(n=0):1.写出其波函数的表示式；2.由哈密顿算符的本征方程及基态波函数 计算基态能量。解：八n()讥旳(冷2冋()An =(2nn)13.设想一个质量为m =1 g的小珠子悬挂在一个小弹簧下面做振幅为A=1 mm的简谐振

10、动。已知弹簧的劲度系数为k=0 .1N/m。按量子理论计算，此弹簧振子的能级间隔多大？与它现有的振动能量对应的量子数 n是多少？由此可以看出宏观谐振子与量子谐振子的关系是什 么？0.1 0.001= 10Hz . 6 626 10 33 二能级间距 E = 二1010 =1.05 103J2兀1 2 1 2_8E kA20.1 (0.001)2 =5 10 J2 2E15 汉 10125相应的量子数 n = -一 33 _ 15 10恋21.05 汉 102所以宏观谐振子与量子谐振子的关系是100 %10広1.05 10皿_85 10所以当：时，宏观谐振子与量子谐振子相一致14.H2分子中原子

11、的振动相当于一个谐振子，其等效劲度系数为k=1.13 10N/m,质量为=1.67 10kg。求此分子的能量本征值(以 eV为单位)。当此谐振子由某一激发态跃迁到 相邻下一个激发态时，所发射的光子的能量和波长各是多少？解:31.13 10:1.67 10 力:8.2 1014Hz1En =（n ）234此分子的能量本征值 E0 =- 1.05 10 一 8.2 1014 =4.3 10，J =0.27eV2 2所发射的光子的能量为E=0.54eV814223.910 mc _ 3.0 08.2 102 二 2 二15.证明：坐标与动量算符构成的算符A AA A A Ax px不是厄密算符，已知

12、 Px X = X Px。证明：X丄X,A +PxA A , A + A+ A A A A （XPx）二 Px x 二 PxX = XPxA A= X px不是厄密算符16.求角动量Z分量Lz - -i 的本征方程：-i1Z：G，给出本征函数和本征值。提示：利用周期性边界条件：门(0) = ：(2二)-解：i用分离变量法门=cex Pf-lz ）由归一化条件1、2 二exp（丄丨z）利用周期性边界条件:(0)=门(2 二)exp（-丄J2 二）=1 =lz=m （m = 0, _1，二2,.）1本征函数叮Jm( )exp(im )灯2兀17.氢原子处于基态(n = 1 ，l = 0, m =

13、0): 1.写出其本征函数；2.写出电子的径向几率密度；3.求电子的最可几半径；4.说明量子理论与玻尔理论的区别。解：1、本征函数:2r 11r-100 =Rio(r)Yoo(d, Jh 3 2 exp()3 expC )a a亠 l aa2 Ju2、电子的径向几率密度12rI -；10ol2exp(-)a兀a从(r, r dr)径向几率：丨22 4r2 2rr 2r2r100|24二r2dr3 exp(-)dr =4( )2exp(-2 )d Q = 42exp(-2)d()aaaaa=0= ：:-1= r= ao=W( ：、)d r3、电子的最可几半径：dW(：)= 8r2exp(_2 门

14、 8Texp(_2 门 d=?二径向几率密度：W()exp(-2 -)令 dW() 令d-4、量子理论与波尔理论的区别：波尔理论认为电子处于半径为a的轨道半径而量子理论认为电子可以出现在整个 空间中，在半径为a的地方出现的几率最大18.设氢原子的初始波函数为：1宇（r,0）；100宀210）,求任意时刻的波函数?(r,t)解：任意时刻波函数为1 15,0)八 C/n(r)二 100*210n叫 2J2- (r,t)二為 C? n(r)exp(-丄Ent)n=吉 exp(E1t)1i+ 屮 210 exp(币 Ezt)19.设厄密算符F有正交完备集I n*，相应的本征方程为F |二=，n I n

15、，则 任态矢量可以按|；展开为|吋八Cn | on（1） Cn称为什么？ |Cn|2表示什么？ （ 2）证明Cn二打|?；(3)证明算符F在态中的期待值为妙|F I甲=送|cn 2打：n解：(1)cn称为几率幅，ICn|2表示在任意态I(X)中发现本征态n(x)的几率(2)|宇 -、Cn | n=n，m | ?二 Cnm | n 二、Cn、； mn 二 Cm=nn畑 I F | 屮=畑 I 瓦 I n)m|FS | mh | 甲)(3)nm-7 / | n，m n | m m| ?n mH 冷 mCnCm |mn m八 n|Cn |2n20.设一个质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动，势阱表示

16、为:V(x) =0(0 c x c a)(x c0, x Aa)(1 )计算坐标算符的期待值;2)计算动量算符的期待值;(3)设阱内粒子的状态为？(x)二Ax,求归一化常数A解：(1)|x|弓二，2sin(匸0 V a a；2 n兀2 ,n兀2ax)x .；-sin(x)dx = xsin(x) dx = a2a。a(2)* | px I ? =-i - sin( x) 一sin( x)dxa 0 a dx aa n 二n 二n 二二-i 2 si n( x)cos( x)dx =0 a 0 aa(3)归一化条件:aa汀(x)2dx 二 A2 x2dx =1 二00A2a3.仁21.设谐振子的初态为基态和第一激发态的叠加态：|?(O)a30 - 4 11、求出归一化常数A; 2、求出谐振子任意时刻的状态|?(t);3、计算在态|?(t)中能量的期待值。解：1、归一化条件?(0)丨0) =1= A3?o - 4 门 l A3?o - 4门丨=25A23 i4i2、丨