向量的数量积1

1、8.2 (1) 向量的数量积(1) 教学目标1.通过物理学中力的做功，领会向量的数量积的定义及几何意义；理解向量数量积的性质及运算律;2 .领略猜想、论证的数学思想，体会其中的数学思考过程;3 .感悟数学来自于生活实践，数学与其它自然科学密切关系，增强学习数学的兴趣 教学重点及难点 平面向量的数量积的定义及其重要性质的初步应用教学过程设计.情景引入我们学过功的概念：即一个物体在力 f的作用下产生位移S , 那么力f所做的功W=|f|S|cosT，其中e表示一个什么角度？_,3 Os 4表示力f的方向与位移S的方向的夹角.基于这种运算的大量存在和普遍应用， 我们对上述物理意义下的 “功”概念进行

2、抽象，就一般向量a、b ,来规定|a|b|cos日的含义.二. 学习新课首先学习向量的夹角的概念.1.对于两个非零向量a、，如果以O为起点，作oA=a,OB=b，那么II射线OA,OB的夹角0叫做向量a与向量b的夹角，其中0乞日G.-+BOA的Ob夹角为0,向量a与向量b方向相同；OA的Ob夹角为兀，向量a与向量b方向相反；II所以0 =0,兀时，表示向量a与向量b平行，记作a /b ;OA的Ob夹角为NAOB ；其中当日=2时，表示向量a与向量b垂直,记作a丄bOA的OB夹角为Q规定：0与其它向量的夹角可根据需要确定.2.如果两个非零向量a,b的夹角为9( 0“S ),那么我们把|a|b|c

3、os9IHa,l叫做向量a与向量b的数量积，记做茁，即ObTafl门 按数量积的定义，在力f的作用下，物体产生位移S所做的功W可表II示为：W = f S .T T. .T 2鸣 2 fl 12特别地，a a的数量积记作a ,读作向量a的数量平方，显然a =同.规定：零向量与任意向量的数量积为0,即O；=0 , 1=0 .注意:两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定.一种新的运算法则，以前所学的数的运算律、性质不一定适合.a b不能写成axb或ab , a咒b表示向量的另一种运算.例1如图，已知MBC是边长为6的正三角形,求 AB ”AC 和 AB BC .（课本P64例1）解：

4、 因为AB与AC的夹角为60。，所以AB 识C = |AB|AC|cos600 = 6x6冷=18B因为AB与BC的夹角为120所以= -18T T T r$AB BC = | AB|BC|cos120=6x6x3. 数量积的几何意义II定义：|b|cos8叫做向量b在a方向上的投影.AaO OB*Ob注意： 投影也是一个数量，不是向量.当e为锐角时投影为正值0B ;当e为钝角时投影为负值-0B,； 当e为直角时投影为0;当日=0。时投影为lb ；I当e =180。时投影为-|b .向量的数量积的几何意义：数量积a b等于a的长度与b在a方向上投影ibicos8|的乘积.正如物理上力所做的功实

5、际上是将力正交分解， 只有在位移方向上 的力做功.思考：向量b在a方向上的投影iblcos比能否由a,b的运算表示？答：根据a,b的数量积定义可知：ibicos日II由此可知向量b在a方向上的射影线段长短0B4. 向量的数量积的运算性质对于川R，有124 4=0时,(1) aa=|a| 0,当且仅当 a a(2) a b =b a证明：设a、的夹角为日，则a b a|bP/. a b =b4 44 T 4 4(3)(Aa) b = a几b) = k (a b )证明:牡 c 呻叫 HC若 几 0 , ( Za )b = Z a b cosQZ(a b ) = Z aa (b )胡a bblco

6、sBb cos 日若 A 0 , 呻哺w(ka )b = Aa耳 cos(兀 一 )= 一冲aFk -cos9 )= /Jacos日Aab1aZbcosOcos(兀日)=cos日II叫F 兀(a b )=a (kb )=N呻a)=A a b cos9（4）a（b+c）=ab+ac证明：（1）如果a,b,c至少有一个是0，上述等式显然成立斗（2）如果a,b,c都是非零向量BecB4 a：C4、19,0CA11 -41s4-t2b +ccosT =ab cos +ac4 4 4斗耳斗 4/. a (b +c) = a 七 +a c .co2 , b+c （即Oc）在a方向上的投影, 等于b：在:方向上的投影和，4b cos + c cos 日2 ,即：b +扌 cos8在平面内取一点0，作oA=a,oB=b,BC三. 巩固练习判断下列结论是否正确：1.若 a； = 0,贝 J a=0 或 b=0；44 442.若 abac ，贝J b=c;3 .若a,b,C为不共线向量，则(a b)d = a(b C);()垂JrcJr.4四. 课堂小结(I)向量的数量的物理模型是力的做功；4 44 4(2) a b