专题五第1讲空间几何体

1、空间几何体【考情解读】1.以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算.2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题.准高考主干知识梳理1.四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系ft 底 rtf1I立P4战柱卜底正im方I止W饋件MJ吒平甲亍六面怵1底矩lAl 为曲面为平右冋血怡132.空间几何体的三视图(1)三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影形成的平面图形.(2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右 面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样

2、.(3)画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高.看不到的线画虚线.3 空间几何体的两组常用公式(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式:1 1S柱侧=chS锥侧=S台侧=2(c + c )h S球表=4 n2柱体、锥体和球的体积公式: V柱体=ShV锥体=1ShV 台 = 1(S +PSS + S，)hV球=号tR3.热点分类突破热点一三视图与直观图【例1】某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.8B. 8C.32 D . 16侧视图某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(A. 54 B. 60 C. 66 D. 725IlFLh4H-3正视图割視图(3) 个正方

3、体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为W视图1(B) -71(C) 61(D) -5变式训Si(1)条侧棱的长度是(胶州市2016届高三上学期期末)四棱锥的三视图如图所示,则最长的一A. 5 B. 729C. Via D. 242(2)将长方体截去个四棱锥，得到的几何体如图所示,AB则该几何体的侧视图为zCD热点二几何体的表面积与体积【例2 (1) 2014辽宁卷某几何体三视图如图1-2所示，则该几何体的体积为主观ffif 2L 左崔图图i-2nA . 84C . 8 n（2）如图，在棱长为6的正方体ABCD AiBiCiDi 中,且 CiE=

4、4,CiF = 3,连接EF, FB, DE，则几何体E，F 分别在 CiDi 与 CiBi 上,EFCi DBC的体积为（）A . 66 B .68 C. 70 D. 72变式训练21.多面体 MN ABCD的底面ABCD为矩形,其正视图和侧视图如图，其中正视正（主）视图侧（左）视图( )C2-：_ 沪Pl图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则该多面体的体积是吓B.屮C.乎D.2033332.正方体ABCD AiBiCiDi的棱长为1, E, F分别为线段 AAi, BiC上的点，则三棱锥Di EDF的体积为思维升华（i）利用三视图求解几何体的表面积、体积，关键是确定几何体的相关数据，掌握应用

5、三视图的“长对正、高平齐、宽相等”；（2）求不规则几何体的体积，常用“割补”的思 想.热点三多面体与球【例3】1如图所示，平面四边形 ABCD中，AB = AD = CD = 1 , BD =, BD丄CD，将其沿对角线BD折成四面体 ABCD ,使平面ABD丄平面BCD ,若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）A.爭n B . 3n C.2.三棱锥S ABC的所有顶点都在球O的表面上,ACDSA!平面 ABC,AB丄BC,又SA= AB= BC = 1,则球O的表面积为（【思维升华n B.|n求棱长为a的正四面体的内切球与外接球的体积比求各棱长均为a的正四棱锥的内切球与外接

6、球的体积比。多面体与球接、切问题求解策略（1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题， 再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，（直径）与该几何体已或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径 知量的关系，列方程（组）求解.（2）若球面上四点 P, A, B, C构成的三条线段 FA, PB, PC两两互相垂直，且 PA = a, PB =b, PC=c，般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，则4R 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何

7、体的体积是= a2+ b2+ c2求解.变式训黯13（1）（2014湖南）一块石材表示的几何体的三视图如图所示.将该石材MA阳切削、打磨,加工成球，则能得到的最大球的半径等于；若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积I本讲规律总结w视圈1 .空间几何体的面积有侧面积和表面积之分，表面积就是全面积， 是一个空间几何体中“暴露”在外的所有面的面积，在计算时要注意区分是“侧面积还是表面积” 多面体的表面积就是其所有面的面积之和，旋转体的表面积除了球之外，都是其侧面积和底面面积之和.2 .在体积计算中都离不开空间几何体的“高”这个几何量（球除外），因此体积计算中的关键一环就是求出这个量在计算这个

8、几何量时要注意多面体中的“特征图”和旋转体中的轴截面.3. 一些不规则的几何体， 求其体积多采用分割或补形的方法，从而转化为规则的几何体， 而补形又分为对称补形（即某些不规则的几何体， 若存在对称性，则可考虑用对称的方法进行补形）、还原补形（即还台为锥）和联系补形（某些空间几何体虽然也是规则几何体，不过几何量不易求解，可根据其所具有的特征，联系其他常见几何体，作为这个规则几何体的一部分来求4 .长方体的外接球（1）长、宽、高分别为a、b、c的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即Pa2+b2+ c2 = 2R;棱长为a的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即屆 =2R.真题与押题备战咼考【真题

9、感悟】1 . (2014 北京)在空间直角坐标系Oxyz 中，已知 A(2,0,0), B(2,2,0), C(0,2,0), D(1,1 , 2).若Si,色，S3分别是三棱锥D ABC在xOy, yOz, zOx坐标平面上的正投影图形的面积， 则（）A . Si= S2= S3B . S2= Si且刼丰S3C. S3= Si 且 SsM S2D . S3= S2 且 S3* Si2 . （2014江苏）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1, S2,体积分别为 V1, V2.若它们的侧面积相等，且12=9则涉值是 【押题精练】（如图所示），则其侧视图的面积为（）1把边长为（2的正方形ABCD沿

10、对角线BD折起，连接AC,得到三棱锥C ABD，其正视 图、俯视图均为全等的等腰直角三角形A.申 B.l C. 1 D.爭AC, AD两两垂直， ABC, ACD , ABD的面积分2 .在三棱锥 A BCD中，侧棱 AB,别为豎，享 ，则三棱锥A BCD的外接球体积为（）C . 3(6 n D. 4/6 n3. （15年福建文科）如图， AB是圆0的直径，点C是圆0上异于A, B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO = OB =1.（I）若D为线段AC的中点，求证 AC丄平面PDO ;（n）求三棱锥 P - ABC体积的最大值;（川）若BC = J2，点E在线段PB上，求CE +OE的最小

11、值.4. （15年陕西文科）如图1，在直角梯形 ABCD中,辽1AD/BC,NBAD =二，AB =BC =AD =a , E 是 AD 的中点，O是OC 与 BE 的交点,22将 MBE沿BE折起到图2中比ABE的位置，得到四棱锥 A - BCDE .（I）证明：CD丄平面AOC ；（II）当平面ABE丄平面BCDE时,四棱锥 A BCDE的体积为36/2，求a的值.CA2rAEB俯视图R专题突破练、选择题1.已知正三棱锥V ABC的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图的面积为（A. 2 B. 4 C.2 .右图是棱长为2的正方体的表面展开图， 则多面体ABCDE的体积为( )2 48

12、A. 2 B-C-D.-3 333 如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四 边形，则该几何体的体积为 （）A . 15+ 3西B . 5/3 C. 30+ 6百 D. 18*3正视图侧视图4 已知正四棱锥的底面边长为2a，其侧（左）视图如图所示当正（主）视图的面积最大时，该正四棱锥的表面积为（B . 8+ 82俯视图D . 4 + 8 迈5某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1恻视图疋视图俯视图的半圆，该几何体的体积为 （）A./3的正三棱锥 V ABC中，/ AVB=/ BVC =/ CVA =40过A作截面 AEF，则截面 AEF的周长

13、的最小值为 .9 .如图，正方体 ABCD AiBiCiDi的棱长为1, E, F分别为线段AAi, BQ上的点，则三棱锥D1 EDF的体积为10.已知矩形ABCD的面积为8,当矩形周长最小时，沿对角线AC 把 ACD 折起，则三棱锥 D ABC的外接球的表面积等于 .E三、解答题11.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.(1)求该几何体的体积 V ；(2)求该几何体的侧面积S.12.如图，在Rt ABC中,AB = BC= 4，点E在线段 AB上.过点E作EF / BC交AC于点F，将 AEF沿EF折起到PEF的位置(点

14、A与P重合)，使得/ PEB = 30 (1)求证：EF丄PB;(2)试问：当点 E在何处时,四棱锥 P EFCB的侧面PEB的面积最大？并求此时四棱锥P EFCB的体积.F空间几何体面积是 4 nX 22= 16 n.参考答案：例1】答案 (1)B(2)B变式练习1答案(1)B(2)D例 2】答案(1) C(2)A 例 31.A2. B变式练习2: 1.D12 -6变式训练3答案(1)B(2)13 n真题感悟】(3) D111.解(1)V= 3X (8X 6) X 4= 64. 40 + 24/2.12.(1)证明 EF 丄 AB, EF丄平面 EF 丄 PB./ EF / BC 且 BC

15、丄 AB,艮卩 EF丄 BE, EF丄 PE.又 BEA PE = E,PBE，又 PB?平面 PBE,(2)解 设 BE = x, PE = y,贝U x + y= 4.1511. D 2.- Speb = -BE PE sin/ PEB押题精练】=4xyW迸卜 1.1. B 2.A3.(n)当且仅当x= y= 2时，PEB的面积最大.4.(I)证明略(II) 专题训练：1. C此时，BE = PE = 2.由(1)知EF丄平面PBE, 平面PBE丄平面EFCB ,解析如图，作出正三棱锥V ABC的直观图,取 BC边的中点D，连接VD , AD ,结合题意,作VO丄AD于O.可知正视图实际上就是V VAD，于是三棱锥的棱长 VA= 4，从俯视图中可以得到底面边长为2羽,侧视图是一个等腰三角形,在平面 PBE中，作 P0丄BE于 0,贝U P0丄平面EFCB.即PO为四棱锥P EFCB的高.1又 PO=PE sin 30 = 2X= 1.1Sefcb = 2X(2+ 4) X 2= 6.此三角形的底