概率论与数理统计习题7解答

1、习题七解答7.1.设 为抽自二项分布B(m,p) 的样本 试求p 的矩估计和极大似然估计。 解:（1）求p 的矩估计。，因此总体的一阶原点矩为 按矩法估计有 因此p 的矩估计 （2）求p 的极大似然估计。参数P的极大似然函数为令即 由此得P的极大似然估计 7.2设总体为指数分布 其概率密度函数为 求参数的矩估计和极大似然估计。 解 设为X的一个样本。（1）求的矩估计。因为总体为指数分布，因此总体的一阶原点矩为 按矩法估计有 因此的矩估计（2）求的极大似然估计。参数的极大似然函数为 lnL=似然方程为 =0解得 7.3设总体为上的均匀分布 求参数的矩估计和极大似然估计。 解 设为X的一个样本。（

2、1）求的矩估计。总体的一阶原点矩为 按矩法估计有 因此的矩估计。（2）求参数的极大似然估计。由总体X的密度函数知的似然函数为 由此可以看出，要使似然函数达到最大，必须 所以的极大似然估计为 7.4设总体为上的均匀分布 求参数的矩估计和极大似然估计。解：设为X的一个样本。（1）求的矩估计。总体的一阶原点矩为 按矩法估计有 因此的矩估计。（2）求参数的极大似然估计。由总体X的密度函数知的似然函数为 由此可以看出，要使似然函数达到最大，必须 所以的极大似然估计为 7.5假设为来自正态总体的样本，其中已知，求 的极大似然估计。解 似然函数为 于是 似然方程是 解得的极大似然估计量为 7.6设总体的概率

3、密度函数为（这是指数分布的另一种形式）.从该总体中抽出样本,考虑的如下四种估计 (1)这四个估计中，哪些是的无偏估计？ （2试比较这些估计的方差。 解：(1)因为是从总体中抽出的样本，所以因此都是的无偏估计。(2) 由上述各式知：。 7.7一个电子线路上电压表的读数X服从上的均匀分布,其中是该线路上电压的真值,但它是未知的，假设是此电压表上读数的一组样本，(1)证明样本均值不是的无偏估计。(2) 求的矩估计，证明它是的无偏估计。解：（1）因为是总体的一组样本，所以 因此样本均值不是的无偏估计。(2)令得的矩估计为 因为所以是的无偏估计。 7.8 设都是的无偏估计，且，构造一个新无偏估计 如果相

4、互独立, 确定c 使得 达到最小。解：因为 都是的无偏估计，所以 因此是的无偏估计。又因为，相互独立，所以 =当时，可使得 达到最小。7.9从工厂产品库中随机抽取16只零件，测得它们的长度(单位：厘米)为 2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,2.13,2.10, 2.15,2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11假设零件长度分布为，试分如下两种情况求的置信系数为0.90的置信区间：(1)；(2)未知。 解：(1)因为总体，对给定数据经计算可得，=2.125，n=16，对于置信系数0.9，可查标准正态分布表，得临界值，于是所求置信区间为 = (

5、2) 对给定数据经计算可得，S=0.017，因为总体服从正态分布，n=16，所以 t(15)，对于置信系数0.9，可查t分布表，得临界值，于是所求置信区间为 =(2.117,2.133) 7.10要比较两个汉字录入软件A和B的性能，考虑它们对于录入速度的影响。确定一篇文档， 随机挑选10名有3年工作经验但都没有使用过A和B的女性打字员，并请她们抽取使用A和B的顺序，使得5先用A，另5人先用B然后交换，记录下她们录入文档所用的时间(单位：分钟)如下： A：12.4,7.6,10.7,13.1,11.2,8.5,10.9,10.3,11.2,8.4 B：12.9,10.9,11.2,10.8,12

6、.2,11.6,10.7,10.5,13.1,11.6 假设使用两种软件的录入时间分别服从正态分布和.求 的置信系数为0.9的置信区间.(请读者思考：为什么要抽取5先用A,另5人先用B？)解：对给定数据经计算可得，置信系数为0.9，可查标准正态分布表，得临界值，又因为 于是所求置信区间为 7.11 甲、乙两组生产同种导线，现从甲组生产的导线中随机抽取4根 从乙组生产的导线中随机抽取5根，它们的电阻值(单位：欧姆)分别为 甲组：0.143,0.142,0.143,0.137 乙组：0.140,0.142,0.136,0.138,0.140, 假设两组电阻值分别服从正态分布和,其中未知试求的置信系数为0.95的置信区间 . 解：首先我们查t分布表得，对给定数据经计算可得，所以 故所求的二总体均值差1-2的99%置信区间为 =7.12某市随机抽取1000个家庭,调查知道其中有228家拥有小汽车.试据此数据求该市拥有小汽车家庭比例p的置信区间，取置信系数为0.95.解：n=1000，=228，所求置信区间为 = =0.202,0254 7.13 根据实际经验可以认为，任一地区单位时间内(如一天或一个月或一年)火灾发生次数服从泊松