2026年高考数学二轮复习：专题13 数列的综合大题（含知识融合）9大题型（专题专练）（全国适用）（原卷版）

1/2专题13数列的综合大题（含知识融合）目录第一部分考向速递洞察考向，感知前沿第二部分题型归纳梳理题型，突破重难题型01数列不等式的证明题型02不等式放缩题型03数列最值题型04参数求解题型05与三角函数综合题型06与概率综合题型07与导数综合题型08与解析综合题型09数列新定义第三部分分层突破固本培优，精准提分A组·基础保分练B组·重难提升练1．（数列不等式）（2025·广东·模拟预测）已知等差数列的前项和为，其中，.(1)求数列的通项公式；(2)求使得不等式成立的的值.2．（数列不等式的证明）（2025·江西景德镇·模拟预测）记和分别为数列的前项和，已知为等差数列，，且.(1)求的通项公式.(2)证明：.3．（数列最值）（2025·福建福州·模拟预测）已知数列是公差为2的等差数列，满足．(1)求的通项公式；(2)设的前项和为，若，求的最大值．4．（参数求解）（2025·山西忻州·模拟预测）已知数列的前n项和满足．(1)求的通项公式；(2)若，恒成立，求实数的取值范围．5．（参数求解）（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设为数列的前项和，已知，数列满足(1)求数列的通项公式；(2)记数列的前项和为，若对于任意恒成立，求实数的取值范围.6．（参数求解）已知数列的前n项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和；(3)若数列满足，不等式对一切恒成立，求的取值范围.7．（与概率综合）（2025·浙江温州·一模）每天锻炼一小时，幸福生活一辈子.小明每天都会在游泳和跑步中选择一个项目进行锻炼.如果当天选择游泳，则第二天选择游泳的概率为；如果当天选择跑步，则第二天选择游泳的概率为.已知小明第一天选择游泳，记小明第n天选择游泳的概率为.(1)求，；(2)求的表达式.8．（与概率综合）（2025·云南·模拟预测）在足球训练中，甲、乙、丙三人进行传球训练．每次传球按以下规则转移：当球在甲脚下时，他有的概率继续控球（不传给别人），的概率传给乙；当球在乙脚下时，他有的概率回传给甲，的概率传给丙；当球在丙脚下时，他有的概率传给甲，的概率传给乙．初始时球在甲处，每次传球是相互独立的．(1)求两次传球后球在乙处的概率，以及三次传球后球在丙处的概率；(2)记次传球后，球在甲处的概率为，在乙处的概率为．（i）证明：数列是等比数列；（ii）求和的通项公式．9．（与概率综合）（2025·山西临汾·二模）乒乓球体育俱乐部计划进行单打比赛，采用单淘汰制进行比赛，即每名选手负一次即被淘汰出局.现有8名乒乓球单打运动员随机编号到对阵位置，所有运动员在任何一场比赛中获胜的概率均为.现有甲､乙两位孪生兄弟参赛.(1)求甲､乙在第一轮比赛过程中相遇的概率；(2)求甲､乙在比赛过程中相遇的概率；(3)为使得甲､乙两人在比赛过程中相遇的概率小于0.01，俱乐部计划增加运动员人数到名，对阵图和上图类似.（i）求甲、乙两人在第3轮比赛中相遇的概率（用含的式子表示）；（ii）求的最小值.10．（与导数综合）（25-26高三上·河南·期中）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若，且对任意的恒成立，求的取值范围；(3)若，数列的前项和为，证明：．11．（与导数综合）（2025·四川遂宁·二模）已知数列的前项和为，，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和；(3)设，数列的前项的积为，求证：.12．（与解析综合）（2025·云南大理·模拟预测）已知点在抛物线上，过点作斜率为的直线交于另一个点，设与关于y轴对称，再过作斜率为的直线交于另一个点，设与关于y轴对称，以此类推一直作下去，设．(1)求t的值；(2)求数列的通项公式，并求数列的前项和的取值范围；(3)求的面积．13．（与解析综合）（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知椭圆经过点．(1)求的离心率．(2)设，分别为的左、右顶点，，为上异于，的两动点，且直线的斜率恒为直线的斜率的5倍．①当的值确定时，证明：直线过轴上的定点；②按下面方法构造数列：当时，直线过的定点为，且，证明：14．（数列新定义）（2025·湖北·模拟预测）已知是无穷正整数数列，定义操作为删除数列中除以余数为的项，剩下的项按原先后顺序不变得到新数列.若，，进行操作后剩余项组成新数列，设数列的前项和为.(1)求；(2)设数列满足，求数列的前项和.01数列不等式的证明15．（2025·吉林长春·三模）记为数列的前项和，已知，．(1)判断是否为等比数列，并求出的通项公式；(2)设递增的等差数列满足，且、、成等比数列．设，证明：．16．（2025·山东聊城·模拟预测）已知各项均为正数的数列满足，数列的前项和为．正项等比数列满足，．(1)求数列的通项公式；(2)若，证明：．17．（2025·安徽·二模）已知等差数列的前项和为，，对任意正整数，均有.(1)求和；(2)若数列满足，且，求数列的通项公式；(3)记数列的前项和为，证明：.18．（2025·四川·模拟预测）已知数列满足，且．(1)证明：为等比数列；(2)设，证明：；(3)设，且数列的前项和为，证明：．19．（2025·河南·模拟预测）已知函数，，记的零点为.(1)求；(2)求数列中的最小项；(3)证明：.20．（2025·江苏连云港·模拟预测）在数列中，，对于，，，成等差数列，其公差为．(1)判断是否成等比数列？并说明理由；(2)证明：，，成等比数列；(3)设，数列的前项和为，证明：．21．（2025·安徽滁州·二模）在数列中，，，其前项和为．数列是公差为的等差数列．(1)求；(2)若，（ⅰ）求数列的通项公式及前项和；（ⅱ）若，数列满足，，求证：对任意正整数，都有．02不等式放缩22．（2025·广东汕尾·一模）记为递增数列的前项和，.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和；(3)记的前项和为，证明：.23．如果函数满足以下两个条件，我们就称函数为型函数.①对任意的，有；②对于任意的，若，则.求证：(1)是型函数；(2)型函数在上为增函数；(3)对于型函数，有（为正整数）.24．（2025·贵州·模拟预测）已知数列中，，．(1)求，的值；(2)设，证明是等比数列，并求其通项公式；(3)证明：．03数列最值25．（24-25高二上·广西玉林·期末）已知数列的前项和为，，.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和；(3)若，求使取得最大值时的的值.26．（2025·陕西西安·模拟预测）等差数列的前n项和为，数列是等比数列，满足，，，．(1)求和的通项公式；(2)若数列满足，，求数列的前2n项和，(3)求的最大值和最小值．27．（2025·天津河西·二模）已知数列为等差数列或等比数列，前项和为，且满足，.(1)当数列为等差数列时，求的通项公式及；(2)当在单调递增时，设，求的值；(3)当数列为等比数列且为摆动数列时，设，求的最大值和最小值.28．（2025·广西来宾·模拟预测）已知数列的首项，且满足，数列前n项和为.(1)求证：数列为等比数列；(2)求证：；(3)若，求满足条件的最大整数n.04参数求解29．（2025·山东济南·三模）记等差数列的前n项和为，数列的前n项和为，已知．(1)求的通项公式；(2)求；(3)若成立，求实数k的最小值．30．（2025·河南·模拟预测）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且依次成等比数列.(1)求的通项公式；(2)对于任意，求实数的取值范围.31．（2025·广东江门·模拟预测）已知数列的前项和为．(1)证明：是等比数列．(2)求数列的前项和．(3)若，求的取值范围．32．（2025·山西吕梁·模拟预测）已知数列的前项和为，且，．(1)证明：数列为等比数列；(2)求数列的前项和；(3)若对恒成立，求实数的取值范围．33．（2025·陕西·模拟预测）已知数列满足．设．(1)求证：数列是等比数列，并求数列通项公式；(2)设数列，且对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．34．（2025·河南郑州·三模）已知数列的首项，且满足．(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．05与三角函数综合35．（2025·贵州·三模）在数列中，，，且.(1)证明：数列是等差数列；(2)记，数列的前项和为，证明：；(3)证明：.36．（2025·福建漳州·模拟预测）设函数，且的图象相邻两条对称轴的距离为.(1)求的单调递增区间；(2)将所有的正零点按从小到大顺序排列得到数列，求数列的前30项和.37．（2025·广东广州·模拟预测）已知向量，，函数，的所有大于0的零点构成递增数列．(1)写出的前6项；(2)记的所有偶数项构成数列，设，求数列的前n项和．38．（2025·湖南长沙·三模）若存在正实数，对任意，使得，则称函数在上是一个“函数”.(1)已知函数在区间上是一个“函数”，求；(2)证明:函数在区间上是一个“函数”;(3)证明:.39．（2025·河南·模拟预测）记.(1)判断并证明的奇偶性；(2)将的最小值记为，（i）求数列，（ii）若恒成立，求的最小整数值.06与概率综合40．（2025·湖北·模拟预测）甲、乙、丙三人进行玩具传递游戏，每次抛掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传递方式，当玩具在甲手中时，若骰子点数大于4，甲将玩具传给乙；若骰子点数不大于4，甲保留玩具；当玩具在乙手中时，若骰子点数大于3，乙将玩具传给甲；若骰子点数不大于3，乙传给丙；当玩具在丙手中时，若骰子点数大于2，丙将玩具传给甲；若骰子点数不大于2，丙传给乙.初始时，玩具在甲手中.(1)设前三次抛掷骰子后，玩具在甲手中的次数为，求的分布列和数学期望；(2)抛掷次骰子后，玩具在乙手中的概率为，求的通项公式；(3)求证：.012341．（2025·江西·模拟预测）马路上有盏连续排列的灯，每盏灯亮的概率均为，记存在至少连续盏灯亮的概率为，已知．(1)写出；(2)设为连续亮的灯数最大值，求时的期望；(3)求的值．42．（2025·广东东莞·模拟预测）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（ArtificialIntelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元，某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，作比例分配的分层随机抽样方法在全体学生中抽取100人，设事件A=“学生报名参加答题活动”，B=“学生为男生”，据统计(1)根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关联？性别男生女生合计报名参加答题活动未报名参加答题活动合计100(2)网络答题规则：答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定；每轮均设置道题，选手参与该轮答题，则至少答一道题，一旦答对一题，则其本轮答题结束，答错则继续答题，直到第道题答完，本轮答题结束．已知甲同学报名参加答题活动，假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为①求甲在一轮答题过程中答题数量的数学期望；②假设甲同学每轮答题对前两题中的一道，本轮答题得2分，否则得1分．记甲答题累计得分为的概率为，求的最大值．参考公式与数据：0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82843．（2025·福建厦门·三模）在一个不透明的口袋中装有大小、形状完全相同的n个小球，将它们分别编号为．每次从口袋中随机抽取一个小球，记录编号后放回，直至取遍所有小球后立刻停止摸球．记总的摸球次数为，其期望为．(1)求与；(2)求；(3)证明：．附：①若随机变量的可能取值为，则②若随机变量，则．44．（2025·四川·模拟预测）在高三年级排球联赛中，两支队进入到了比赛决胜局．该局比赛规则如下：上一球得分的队发球，赢球方获得1分，直到有一方得分达到或超过15分，且此时分数超过对方2分时，该队获得决胜局的胜利．假定该局比分已经达到了，此后每球比赛记为第球，队在第球比赛中得分的概率为，且；从第2球起，若队发球，则此球队得分的概率为，若队发球，则此球队得分的概率为．(1)若，求队以的比分赢得比赛的概率；(2)若，数列满足，记数列的前项和为，求证：；(3)当时，若，有，求的取值范围．07与导数综合45．（2025·湖南岳阳·模拟预测）已知函数，且.(1)求;(2)已知为函数的导函数，证明：对任意的，均有；(3)证明：对任意的，均有.46．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数在上的最小值为0(1)求实数的值：(2)对任意的，数列满足，且，证明：当大于1时，也大于1：(3)在（2）的条件下，若为数列的前项和，求证：47．（2025·重庆·模拟预测）已知.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)若对任意，恒有.（i）求的取值范围;（ii）证明:对任意的正整数，.48．（2025·广西·模拟预测）已知数列的前项和为，满足.(1)当时，分别求的值，并猜想此时数列的通项公式（直接写结论）；(2)当时，求的最大值；(3)当时，记数列的前项积为，求的最大值.49．（2025·安徽·一模）已知函数为函数的导函数.(1)证明：；(2)若函数，请判断在区间上的零点个数，并说明理由；(3)若函数，证明：当时，.50．（2025·天津红桥·二模）已知函数，其中为自然对数的底数，(1)当时，求函数在点处的切线方程;(2)证明:恒成立；(3)证明:51．（2025·福建福州·模拟预测）已知函数，记，若满足，则称是上的“可控函数”．由“可控函数”的定义可得：若函数是上的“可控函数”，则函数也是上的“可控函数”，其中，例如．(1)判断函数是否为上的“可控函数”，并说明理由；(2)已知函数是上的“可控函数”，且的最大值为．（i）求函数的解析式；（ii）若数列满足，是数列的前项和．求证：．08与解析综合52．（2025·陕西渭南·一模）已知双曲线．点在上．按如下方式构造点．过点作斜率为的直线与的下支交于点．点关于轴的对称点为．记点的坐标为(1)求的值：(2)记．证明：数列为等比数列；(3)记的面积为．证明：是定值．53．（24-25高三上·山东威海·期末）已知抛物线，点在上，为常数，，按如下方式依次构造点，过点作轴的垂线交于点，过且斜率为的直线与的另一个交点为.记的坐标为.(1)当时，求；(2)设，证明：数列是等差数列；(3)设为的面积，证明：为定值.54．（2025·江西赣州·二模）已知点M到点的距离比到y轴的距离大1，M的轨迹为C．点在C上，过作斜率为的直线交C于另一点，设与关于x轴对称，过作斜率为的直线交C于另一点，设与关于x轴对称，……，以此类推，设．(1)求C的方程；(2)设数列的前n项和为，证明：；(3)求的面积．55．（2025·安徽·三模）记抛物线的焦点为F，过原点O作斜率为1的直线l，l与E交于另一点，取的中点，直线与E交于另一点，取的中点，以此类推，记直线的斜率为．(1)求点的坐标；(2)证明：是递减数列；(3)记的面积为，证明：．56．（2024·河北·二模）已知椭圆的离心率.(1)若椭圆过点，求椭圆的标准方程.(2)若直线均过点且互相垂直，直线交椭圆于两点，直线交椭圆于两点，分别为弦和的中点，直线与轴交于点，设.①求；②记，求数列的前项和.57．（2025·四川·三模）已知双曲线的右焦点为，且点到双曲线的渐近线的距离为．过点作两条互相垂直的直线和，交双曲线于、两点，交双曲线于、两点，、分别是、的中点，直线过定点；再过点作两条互相垂直的直线和，交双曲线于、两点，交双曲线于、两点，、分别是、的中点，直线过定点，以这样的方式构造下去，可以得到一列定点、、、、．(1)求双曲线的方程；(2)求点的坐标；(3)若、，记的面积为，证明：．58．（2025·广东广州·模拟预测）已知曲线，（，），当变化时得到一系列的椭圆，我们把它称为“2~1椭圆群”.

(1)若“2~1椭圆群”中的两个椭圆、，对应的分别为、（），如图所示，若直线能与椭圆、依次交于，，，四点，证明：；(2)当（）时，直线与椭圆在第一象限内的交点分别为，设.（i）求证：为等比数列，并求出其通项公式；（ii）令数列，求证.09数列新定义59．（2025·河南·二模）记为正项数列的前项积，且，，.(1)求数列的通项公式；(2)表示不超过的最大整数，如，，设，求数列的前项和.60．（2025·贵州·二模）对于数列，记区间内偶数的个数为，则称数列为的偶数列．(1)若数列为数列的偶数列，求．(2)若数列为数列的偶数列，证明：数列为等比数列．(3)在（2）的前提下，若数列为等差数列的偶数列，，，求数列的前项和．61．（24-25高三下·甘肃白银·月考）定义“窄度数列”：若一个数列中任意两项的差均小于，则称该数列为“窄度数列”.(1)试问数列是否为“1000窄度数列”？（无需说明理由）(2)若数列的前项和为，证明：数列为“1窄度数列”.(3)若数列为等比数列，且，求数列的通项公式，并证明为“窄度数列”.62．（2025·全国·模拟预测）已知数列的通项公式为（表示不超过实数的最大整数），数列的通项公式为.(1)写出数列的前6项；(2)试判断与是否为数列中的项，并说明理由；(3)证明：数列与数列的公共项有无数多个.63．（2025·江苏连云港·模拟预测）中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，推导出了三角垛、方垛、刍甍多、刍童垛等的公式．我们把公差不为0的等差数列称为“一阶等差数列”，若数列是“一阶等差数列”，则称数列是“二阶等差数列”．定义：若数列是“阶等差数列”，则称原数列为“阶等差数列”．例如：数列，它的后项与前项之差组成新数列，新数列是公差为的等差数列，则称数列为二阶等差数列．(1)若数列满足，，且，求证：数列为二阶等差数列；(2)若三阶等差数列的前项依次为，求的前项和；64．（2025·新疆喀什·模拟预测）对于有限正整数数列，若存在连续子列和符号序列，，使得，其中，则称数列存在平衡连续子列．(1)写出数列2，1，2，3的一个平衡连续子列；(2)设对任意正整数，定义函数为满足的非负整数，其中为奇数，令．证明：数列不存在平衡连续子列；(3)设数列的每一项均为不大于的正整数，证明：当时，存在平衡连续子列．65．（2025·山东临沂·三模）定义：若数列满足，则称数列为“数项增数列”.(1)若，，判断数列，是否为“数项增数列”？(2)若等差数列为“数项增数列”，且，求的公差的取值范围；(3)若数列为共4项的“数项增数列”，满足，求所有满足条件的数列的个数.1．（2025·江西新余·模拟预测）已知数列的前n项和为，为等差数列，，．(1)直接写出的值；(2)求的通项；(3)求证：．2．（2025·浙江嘉兴·一模）已知等差数列的公差为，前项和为，且.(1)求的通项公式；(2)设为数列的前项和，求使得的的最小值.3．（2025·贵州黔南·模拟预测）已知数列为等差数列，为等比数列，．(1)求数列和的通项公式；(2)设，证明：．4．（2025·四川攀枝花·三模）已知数列的首项，．(1)求证：是等比数列；(2)求数列的前项和；(3)令，求数列的最大项．5．（2025·福建泉州·模拟预测）已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，其中．(1)写出，，并求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，证明：．6．（2025·安徽合肥·三模）已知等差数列的前n项和为，其中，数列的前n项积为，且．(1)求数列与的通项公式；(2)设为数列的前n项和，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．7．（2025·宁夏吴忠·二模）已知数列的前n项和为，且．(1)求数列的通项公式．(2)记，证明：．(3)记（），证明：．8．（2025·湖南·一模）张明在暑假为了锻炼身体，制定了一项坚持晨跑的计划：30天晨跑训练．规则如下：张明从第1天开始晨跑，若第天