零极点的一系列分析

1、8-6 H(z)的零、极点分析对于阶线性时不变离散时间系统，其系统函数为式中,均为的多项式，并分别进行因式分解后可写为(8-60)式中， 是的零点；是的极点；为一个实常数。它们由差分方程的系数决定。、H(z)零、极点分布与系统的时域特性观看动画由于系统函数与单位序列响应是一对z变换，即所以，完全可以从的零、极点分布情况确定单位序列响应的性质。对于具有一阶极点的系统函数，由前一节讨论可知，其单位序列响应为式中,取决于的零、极点及常量。这样，上式可表示成(8-61)这里，极点可以是实数，也可以是成对的共轭复数。可见，离散时间系统的时域特性可由反映，而的极点决定的性质，零点只影响的幅度与相位。对于一

2、阶极点的情况，极点 分布与 中第 个分量形状之间的关系示意于图8-6。图中“X”表示的一阶单极点位置。对于一阶单极点，若所有极点位于z平面单位圆内，即， 随 增大而指数衰减，当时，；当含有单位圆即上极点外，其余极点位于单位圆内时，随 增大，逐渐稳定在某一有限范围内变化；当含有z平面单位圆外极点时，随 增大而增大，当时，。对于重极点，也可通过极点分布情况研究的特性，可知只要极点位于z平面单位圆内，必有，。当 含有上的多重极点时，必有，图8-6、H（z）零极点分布与系统频率特性示为对于线性时不变离散时间系统，当系统函数收敛域包括单位圆时，其频率特性表(8-62)式中,称为离散时间系统的幅频特性（或

3、幅频响应）；的幅角,称为离散时间系统的相频特性（或相频响应）。对于由实系数差分方程描述的离散系统，有与连续时间系统正弦激励下的响应类似,也可看做离散时间系统激励为正弦序列时的稳态响应“加权”。因当有仅考虑极点位于单位圆内的情况，则式中，对于稳态响应部分，可求得因此，当激励是正弦序列时，系统的稳态响应也是同频率正弦序列，其幅值为激励幅值与系统幅频特性值的乘积，其相位为激励初相位与系统相频特性值之和。如果已知系统函数在z平面上零、极点的分布，则可通过几何方法简便直观地求 出离散系统的频率响应，即已知有（8-63）仿照连续时间系统中计算的几何作图法，在 z平面也可逐点求得离散时间系统的频率响应。利用

4、极坐标表示形式有于是幅频响应为(8-64)相频响应为图8-7(8-65)式中， ，分别表示z平面上极点 到单位圆上某点的矢量的长度和夹角； ，分别表示零点 至U 的矢量的长度和夹角，如图8-7所示。如果单位圆上点 不断移动，就可以得到全部的频率响应。显然由于是周期为的周期函数，因而也是周期函数，因此只要点转一周就可以确定系统的频率响应。利用这种方法可以比较方便地由的零、极点位置求出系统的频率响应。可见频率响应的形状取决于的零、极点分布，也就是说，取决于离散时间系统的形式及差分方程各系数的大小。由的几何表示可以看出，位于 z=0处的零点或极点对幅频特性不产生作用，而只影响相频特性。当点旋转移动到某靠近单位圆的极点附近时，由于 取最小值，会使相应幅频特性呈现峰值； 相反，当 点移到某个靠近单位圆的零点附近时，由于取极小值，而会使相应幅频特性呈现谷值。图8-8例8-27图8-8所示为某离散时间系统z域模拟框图，求该系统的频率响应。解 由图8-8可写出系统z域方程为即系统函数为由式（8-62），得到频率响应为将上式分母有理化，并整理得故幅频响应为相频响应为幅频响应和相频响应曲线如图8-9所示。可见频率响应呈现周期性变化，在本例中，其 周期为图8-9、H(Z)与系统正弦稳态响应如果系统函数的收敛域包括z平面单位圆，激励信号为则对应系统的正弦稳态响应为(8-66)式中，