复变函数总结完整版(最新整理)

1、第一章 复数- 11i 2 =-1i =欧拉公式z=x+iy实部 re z虚部im z2 运算z1 z2 re z1 = re z2im z1 = im z2 (z1 z2 ) = re(z1 z2 ) + im(z1 z2 ) = (re z1 re z2 ) + (im z1 + im z2 )z1 z2= (x1 + iy1 )(x2 + iy2 )= x1 x2 + ix1 y2 + ix2 y1 - y1 y2z1z1 z2(x1 + iy1 )(x2 - iy2 )x1 x2 + y1 y2+ iy1 x2 -x1 y2=zz z(x + iy )(x - iy )x 2 + y

2、2x 2 + y 222= (x1 x2 - y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 )=22 2222222 z = x - iy共轭复数 z z = (x + iy)(x - iy) = x 2 + y 2运算律p1 页3 代数，几何表示共轭技巧z = x + iyz 与平面点(x, y)一一对应，与向量一一对应辐角 当 z0 时，向量 z 和 x 轴正向之间的夹角，记作=arg z=q0 + 2kp k=12 3把位于-q0 的q0 叫做 arg z 辐角主值 记作q0 = arg z04 如何寻找 arg zp例：z=1-i-4pz=i2pz=1+i4z=-15 极坐标：x

3、 = r cosq，y = r sinqz = x + iy = r(cosq+ i sinq)利用欧拉公式eiq = cosq+ i sinq可得到z = reiqz z= r eiq1 r eiq2= r r eiq1 eiq2= r r ei(q1 +q2 )12121 21 26 高次幂及 n 次方z n = z z z z = r neinq = r n (cos nq+ i sin nq)n z凡是满足方程wn = z 的值称为 z 的 n 次方根，记作 w=z = rei(q+2kp) = wn即 r = wn1w = r n第二章解析函数1 极限2 函数极限 复变函数q+ 2k

4、p= njj= q+ 2kpn对于任一 z d 都有w e与其对应w=f (z)注：与实际情况相比，定义域，值域变化例f (z) = z lim f (z) = az z0z z0称 f (z)当 z z0 时以 a 为极限 当a =f (z0 )时，连续例1证明 f (z) = z 在每一点都连续z - z0证： f (z) - f (z0 ) = z - z0 0z z0所以 f (z) = z 在每一点都连续3 导数f (z) = limf (z) - f (z0 ) = df (z)0z z0z - z0zz = z0例 2f (z) = c时有(c ) = 0= f (z + dz)

5、 - f (z)c - c证：对 z 有 limlim0所以(c ) = 0dz0dzdz0dz例 3 证明 f (z) = z 不可导f (z) - f (z0 )z - z0z - z0wx - iy解：令w= z - z0z - z0=z - z0=z - z0= w= x + iy当w 0 时，不存在，所以不可导。定理： f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 在 z = x + iy 处可导 u，v 在(x, y)处可微，且满足 c-ruv条件=u = - v且 f (z) = u + i vxyyxxx例 4 证明 f (z) = z 不可导解： f (z) = z

6、= x - iy其中u(x, y) = xv(x, y) = - yu,v 关于 x,y 可微u = 1 v = -1不满足 c-r 条件所以在每一点都不可导xy例 5f (z) = re z解： f (z) = re z = xu(x, y) = xv(x, y) = 0u = 1 v = 0不满足 c-r 条件所以在每一点都不可导xy例 6：f (z) = z 2解： f (z) =z 2 = x 2 + y 2其中u(x, y) = x 2 + y 2v(x, y) = 0根据 c-r 条件可得2x = 0,2 y = 0 x = 0, y = 0所以该函数在 z = 0 处可导4 解析

7、若 f (z)在 z0 的一个邻域内都可导，此时称 f (z)在 z0 处解析。用 c-r 条件必须明确 u,v四则运算( f g ) =f g ( f (g(z) =f (g ) g (z)(kf ) = kf (z n ) = nzn-1( f g ) =f g + f g (e z ) = e z f f g - f g = g g 2例：证明 f (z) = e z(e z ) = e z解： f (z) = e z= ex cos y + ie x sin y则u(x, y) = ex cos yv(x, y) = ex sin yu = ex cos y = v = ex cos

8、yxyu = -ex sin y = - v = -ex sin y任一点 z = x + iy 处满足 c-r 条件yx所以ez 处处解析f (z) = u + i v = ex cos y + ie x sin y = e zxx练习：求下列函数的导数f (z) =z 2 z解: f (z) =z 2 z = (x 2 + y 2 )(x + iy) = x3 + ix 2 y + xy 2 + iy 3 = x3 + xy 2 + i(x 2 y + y 3 )u(x, y) = x3 + xy 2v(x, y) = x 2 y + y 3u22所 以 x = 3x + yv = x 2

9、 + 3y 2yu = 2xyy- v = -2xyx根 据 c-r 方 程 可 得u = 3x 2 + y 2 = v = x 2 + 3y 2xyu = 2xy = - v = -2xy x = 0, y = 0yx所以当 z = 0 时 f (z)存在导数且导数为 0，其它点不存在导数。初等函数常数指数函数e z = ex (cos y + i sin y) 定义域e z1 e z2= e z1 + z2 e z+2pi = e z (cos 2p+ i sin 2p) = e z (e z ) = e z对数函数 称满足 z = ew的w叫做 z 的对数函数，记作w= ln z分类：类

10、比 n z 的求法（经验）目标：寻找 w j= argw幅角主值可用： z = ewz = reiqw= u + iv过程： z = reiq = ew = eu+iv = eu eiv= r eiq r = eu , eiq = eiv u = ln r, v = q+ 2kpk = 0,1,2 所以w= u + iv = ln r + i(q+ 2kp) = ln r + iargz = ln z + i(arg z + 2kp)k = 0,1,2 例：求 ln(- 1) arg(- 1) = pln(1 + i)ln(i) 的 值ln(- 1) = ln - 1 + i(arg(- 1)

11、 + 2kp) = ip(2k + 1)arg(1 + i) = p4k = 0,1,2 4ln(1 + i) = ln1 + i + i(arg(1 + i) + 2kp) = 1 ln 2 + ip+ 2kpk = 0,1,2 arg(i) = p22ln(i) = ln i + i(arg i + 2kp) = 1 + ip+ 2kp k = 0,1,2 2幂函数 对于任意复数a，当 z 0 时w= za = ealnz例 1：求i1+i 的值(1+i )i p 2kp(i-1) p 2kp解：k = 0,1,2 i1+i= eln i1+ i= e(1+i )lni= e(1+i )(

12、ln i +iarg (i ) = e + 2 = e + 2 1 p ()3+iln(1-i )3+i(3+i ) ln 2+i - +2kp (3+i )ln(1-i )24例 2：求 1 - i= e= e三角函数= e eiy= cos y + i sin ycos y =eiy + e-iy2 -iye= cos y - i sin ysin y =eiy - e-iy2i定义：对于任意复数 z = x + iy ，由关系式可得 z 的余弦函数和正弦函数cos z =eiz + e-iz2sin z =eiz - e-iz2i例：求sin(1 + i)解： sin(1 + i) =c

13、os(5 + i)1 ei(1+i ) - e-i(1+i ) 2icos(5 + i) = 1 ei(5+i) + e-i(5+i) 2第三章复变函数的积分1 复积分定理 3.1 设 c 是复平面上的逐段光滑曲线f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 在 c 上连续， 则f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 在c 上可积，且有c f (z)dz = c u(x, y)dx - v(x, y)dy + ic u(x, y)dy + v(x, y)dx注：c 是线方式跟一元一样方法一：思路：复数实化把函数 f (z) = u + iv 与微分 dz = dx + i

14、dy 相乘，可得c f (z)dz = c u(x, y)dx - v(x, y)dy + ic u(x, y)dy + v(x, y)dx方法二：参数方程法核心：把 c 参数c： z(t )a t bcaz tzt dt f (z)dz = b ( )( )例：求zdzcc：01 + i 的直线段 0 c1 1 ；1 c2 1 + i解：c：z(t ) = t + it0 t 1c00 zdz = 1 (t - it )(t + it ) dt = 1 t(1 - i)(1 + i)dt = 1 c1 : z(t ) = t0 t 1c2 : z(t ) = 1 + it0 t 1 zdz

15、= zdz + zdz = 1 tdt + 1 (1 - it )dt = 1 + 1 + i = 1 + icc1c20022 结果不一样2 柯西积分定理12pin = 1例： c (z - a)n dz = 0n 1c：以 a 为圆心，为半径的圆，方向：逆时针解 ： c：z = a + reiqz = x + iy0 q 2p1c (z - a)ndz =2p(reiq)n dz =02p10 (reiq)n2pi rieiqdqi2p(1-n )iq12p (n = 1= rn-1 0 edq= (1 - n)i 0e 1-n)iqd (1 - n)iq) = 0 n 1 积分与路径无关

16、：单联通 处处解析x = a(q- sinq)例：求 (2z 2 + 8z + 1)dz ，其中 c 是连接 o 到点(0,2pa)的摆线： ()c y = a 1 - cosq - +解：已知，直线段 l 与 c 构成一条闭曲线。因 f (z) = 2z 2 + 8z + 1 在全平面上解析， 则(2z 2 + 8z + 1)dz = 0c l即 (2z 2 + 8z + 1)dz = (2z 2 + 8z + 1)dzcl把函数沿曲线 c 的积分化为沿着直线段 l 上的积分。由于1 (2z 2 + 8z + 1)dz = 2pa (2x 2 + 8x + 1)dx = 2pa 8p2a 2

17、 + 8pa + l故 c0 3 31(2z 2 + 8z + 1)dz = 2pa 8p2a 2 + 8pa + 关键：恰当参数合适准确带入 z3 不定积分定义 3.2 设函数 f (z)在区域 d 内连续，若 d 内的一个函数f(z)满足条件f(z) =f (z)z d定理 3.7若可用上式，则例：计算 i e z dz0z f (z)dz = f(z) - f(z )z00z, z0 d00解： i e z dz = e z i= ei - 1练习：计算 2+i ze3z 2 +1dz2解： 2+i ze3z 2 +1dz = 1 2+i e3z 2 +1d (z 2 ) = 1 2+i

18、 e3z 2 +1d (3z 2 + 1) = 4i - 122 26 224 柯西积分公式定理 处处解析 f (z)在简单闭曲线 c 所围成的区域内则 f (a) = 1 f (z) dz例 1： z =1e z - 1dzz2pic z - a解： z =1e z - 1dzze z - 1=z =1 z - 0 dz= (ez - 1)= 0z =0sin z例 2： z =2 z 2 - 1 dzsin z1sin z1sin z解： z =2 z 2- 1 dz = 2 z =2 z - 1 dz - 2 z =2 z +dz = 2pi sin1 1z例3： z =2 (9 - z

19、)2 (z + 7) dzz解： z =2 (9 - z 2 )(z + 7)dz =z9 - z 2z =2 z - (- i)dz = 2piz9 - z 2pz =-i = 5f (z) = 1 f (z) dzz d2pi c z- z注：c： z d1一次分式z- z找到 f (z)f (z)在 d 内处处解析sin z + z例 4： z =2 2z(z - 1) dz解：dzsin z + zz =2 2z(z - 1)sin z + zsin z + z= 2dz - 2 dz = 2pisin z + z- sin z + z = pi(sin1 + 1)z =2z - 1z

20、 =2z - 02z =12z =0 5 解析函数的高阶导数公式： f (n) (z) = n! f (z) dzz dn=1，22pi c (z- z)n+1应用要点： z d1 (z- z)n+1n f (z)精准分离3sin zdzz =1 2z(z- z)n+1例： =sin z 2dzz =1 (z - 0)2+1= 2pi sin z 2! 2 z =0= 06 调和函数()d= 2 g + 2 g =()若 g x, y 满 足 gx 2y 20 则称 gx, y叫做 d 内的调和函数若 f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 在 d 内解析 2u所以x 2+ 2u

21、y 2= 2vxy- 2v =0xy把u, v 称为共轭调和函数第四章级数理论1 复数到znn=1距离 d (z,w) =z -w谈极限对zn 若有 z0 d 使得d (zn , z0 ) =zn - z0 0(n )此时 z0 为zn 的极限点记作0nz = lim zn或 zn z0(n )推广：对一个度量空间(x, d ) 都可谈极限2 极限的性质z zzn wn z0 w0n0(n ) z w z w(n )w 0w wnn00nn0zn z0wnw03 zn = xn + iyn z0 = x0 + iy0 (n ) xn x0(n )y y n04 zn 级数问题sn = z1 +

22、 z2 + z3 + znsn 部分和数列若 lim sn = s0 zn则zn 收敛，反之则发散。n性质：1 若 znn=1wn 都收敛，则( zn ) (wn ) = (zn wn ) 收敛2 若一个收敛，一个发散，可推出发散 sn s03(n )s n+1 s0(n )若 an + an绝对收敛若 an= +但 an 收敛 ，为条件收敛2等比级数 ： sn = z + z+ + z n= z(1 - z n )1 - zsn zn1 - zz 1时收敛，其他发散(n )幂级数cn n=0(z - z0 )z = z - z0则c znnn=00 l +cn+1cn求收敛域= limln=

23、 l = 0 l = + 1 l0 l +r = + l = 0 0 z nl = +n例：求n=1的收敛半径及收敛圆解：因为lim cn+1 = limn= 1所以级数的收敛半径为 r=1，收敛圆为 z 1n cnn n + 1泰勒级数n泰勒定理：设函数 f (z)在圆 k： z - z0 r 内解析，则 f (z)在 k 内可以展成幂级数f (z) = n=0cn (z - z0 )其中， cn =f (n) (z )0n!，（n=0,1,2），且展式还是唯一的。例 1：求 f (z) = e z 在 z = 0 处的泰勒展式解 ： f (z) = e z 在全平面上解析， f (n) (

24、z) = e z所以在 z = 0 处的泰勒展式为， f (n) (0) = 1e z = 1 + z 2 + + z n+ ( z )z2!n!11 - z例 2： 将函数 f (z) = ()2 展成 z - i 的幂级数解：1 1 11 z - i z - i n-1f (z) = = =1 + 2 + + n+ (1 - z)2 1 - z 1 - i - (z - i)(1 - i)2 1 - i 1 - i (z - i 2 )罗朗级数罗朗定理 若函数 f (z)在圆环 d： r nz - z0 r(0 r r )内解析，则当 z d 时，有 f (z) =cn n=-(z - z

25、0 )其中c= 1 f (z) dz(n = 0,1,2 )0n2pi g (z- z)n+1例：将函数 f (z) = (1z - 1)(z - 2)在圆环（1）1 z 2（2） 2 z +1zz2内展成罗朗级数。解：（1）在1 z 2 内，由于 1, 1，所以f (z) =1=1-1= - 11- 11=(z - 1)(z - 2)z - 2z - 12 1 - z2z 1 - 1z1 z n1 1 nz n1- 2 2 - z z = - 2n+1 - z n+1n=0 n=0 n=0n=0（2）在2 z + 内，由于 1, 1，所以1z2zf (z) =1=1-1= - 11- 11=

26、(z - 1)(z - 2)z - 2z - 12 1 - 2zz 1 - 1z1 2 n1 1 n 2n-1 - 1z z - z z = z nn=0 n=0 n=1孤立奇点定义：若函数 f (z)在 z0 的去心邻域0 析，则称 z0 为 f (z)的孤立奇点。z - z0 r(0 r +)内解析，在 z0 点不解sin z例 ：z= 1 -z 2 +3!z 4 - +5!(- 1)nz 2n+ (2n + 1)!z = 0 为可去奇点sin z = 1 - z + + (-)n-1z 2n-3+ =z 2z3!1(2n - 1)!z0 为一级极点zz3! z 32n - 1 ! z 2

27、n-1sin 1 = 1 - 1 1 + + (- 1)n-1 (1)1+ z = 0 为本性奇点第 5 章 留数理论（残数）定义： 设函数f (z)以有限项点 z0 为孤立奇点， 即f (z)在 z0 的去心邻域0 z - z0 r 内解析，则称积分12pi cf (z)dz 的值为函数 f (z)在点 z0处的留数记作： re s( f (z), z0 ) =12pi cf (z)dz其中， c : z - z0= r r ，c 的方向是逆时针。例 1：求函数 f (z) =sin z z 4 - 1在 z = 1 处的留数。解：因为 z 4 - 1 以 z = 1为一级零点，而sin1

28、0 ，因此 f (z)以 z = 1为一级极点。re s( f (z),1) =sin z(z 4 - 1)z =1= sin z4z 3z =1= 1 sin14例 2：求函数 f(z)z + 1= e z 在 z = 0 处的留数解： z = 0 是 f (z)的本性奇点，因为f (z) = ez + 1z1= e z e z2z= 1 + z + +z n-111z+ 1 +1 + + 11 + (0 z )2!(n - 1)!2! z 2n! z n1111所以c-1 = 1 +2!2!3!+ + (n - 1)! n! + 2!2!3!n - 1 !n!可得re s( f (z),0

29、) = 1 + 1 + 1 + + (1 )+ 第7章傅里叶变换通过一种途径使复杂问题简单化，以便于研究。定 义 ： 对 满 足 某 些 条 件 的 函 数f (w) = + f (t )e-iwt dt-为傅里叶变换。f (t )在 (- ,+)上 有 定 义 ， 则 称同时 f (t ) = + f (t ) eiwt dw 为傅里叶逆变换-注：傅里叶变换是把函数 f (t )变为函数 f (w)傅里叶逆变换是把函数 f (w)变为函数 f (t )求傅里叶变换或傅里叶逆变换，关键是计算积分两种常见的积分方法：凑微分、分部积分 ax= 1 ax(a ) = eax(a )复习积分： e d

30、xa e dxa0 sin(7x + 1)dx = 1 sin(7x + 1)d (7x + 1) = - cos(7x + 1)773x2 -3 x e3x2 -3 dx = 1 e3x2 -3 d (x 2 ) = 1 e3x2 -3 d (3x 2 - 3) = e266 x3exdx= x3ex - exd (x3 )= x3ex - 3 ex x2dx= x3ex - 3(ex x2 - exd (x2 )= x3ex - 3ex x2 + 6 ex xdx= x3ex - 3ex x2 + 6(xex - exdx)= x3ex - 3ex x2 + 6xex - 6ex x2 s

31、in xdx= x2 sin x - sin xd (x2 )= x2 sin x - 2 x sin xdx= x2 sin x - 2(x sin x - sin xdx)= x2 sin x - 2x sin x - 2 cos x注： u vdx = u v - udv例 1：求f (t ) = 10t s t s的 f (w)f (w) = + f (t )e-iwt dt-ss= -s 0 e-iwt dt + s 1 e-iwt dt + + 0 e-iwt dt= i s e-iwt d (- iwt )w -s解 ： = ie-iwt sw-s= i (e-iws - eiws )w= 2 sin(sw)w例 2：求f (t ) = e0-btt0 t 0(b0) 的 f (w)f (w) = + f (t )e-iwt dt-= 0 0 e-iwt dt + + e-bt e-iwt dt-0解： = + e-(b+iw)t dt0+= -1e-(b+iw)tb+ iw0= b- iwb2 +w2d-函数定 义 ： 如 果 对 于 任 意 一 个 在 区 间(- ,+)上 连 续 的 函 数f (t )， 恒 有0+d(t - t0) f (t )d