复数的基本概念和几何意义(最新整理)_1

1、复数一、考点、热点回顾1. 复数的有关概念（1） 复数定义：形如 abi（a，br）的数叫做复数，其中 i 叫做虚数单位，满足 i21.表示方法：复数通常用字母 z 表示，即 zabi（a，br），这一表示形式叫做复数的代数形式.a 叫做复数 z 的实部，b 叫做复数 z 的虚部.注意：复数 mni 的实部、虚部不一定是 m、n，只有当 mr，nr 时，m、n 才是该复数的实部、虚部.（2） 复数集定义：全体复数所成的集合叫做复数集.表示：通常用大写字母 c 表示.2. 复数的分类b 0 )实数（b0） （1） 复数 zabi（a，br） 虚数（） 纯虚数a0非纯虚数a 0（2） 复数集、实数

2、集、虚数集、纯虚数集之间的关系3. 复数相等的充要条件设 a、b、c、d 都是实数，则 abicdiac 且 bd，abi0ab0.注意：（1）应用复数相等的充要条件时注意要先将复数化为 zabi（a，br）的形式，即分离实部和虚部.（2） 只有当 ac 且 bd 的时候才有 abicdi，ac 和 bd 有一个不成立时，就有 abicdi.（3） 由 abi0，a，br，可得 a0 且 b0.4. 复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.5. 复数的两种几何意义一一对应（1） 复数 zab

3、i（a，br）复平面内的点 z（a，b）.（2） 复数 zabi（a，br） 一一对应 平面向量 .oz6. 复数的模复数 zabi（a，br）对应的向量为 ，则 的模叫做复数 z 的模，记作|z|，且|z|a2b2.oz注意：复数 abi（a，br）的模|abi| 比较大小.oza2b2，两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以二、典型例题考点一、复数的概念例 1、下列命题：若 ar，则（a1）i 是纯虚数；若 a，br，且 ab，则 aibi；若（x24）（x23x2）i 是纯虚数，则实数 x2；实数集是复数集的真子集.其中正确的是（）a.b.c.d.【解析】对于复数 abi（a，b

4、r），当 a0 且 b0 时，为纯虚数.对于，若 a1，则（a1）i 不是纯虚数，即错误.两个虚数不能比较大小，则错误.对于，若 x2，则 x240，x23x20，此时（x24）（x23x2）i0，不是纯虚数，则错误.显然，正确.故选 d.【答案】d变式训练 1、1.对于复数 abi（a，br），下列说法正确的是（）a. 若 a0，则 abi 为纯虚数b.若 a（b1）i32i，则 a3，b2c.若 b0，则 abi 为实数d.i 的平方等于 1解析：选 c.对于 a，当 a0 时，abi 也可能为实数； 对于 b，若 a（b1）i32i，则 a3，b1； 对于 d，i 的平方为1.故选 c.

5、2. 若 43aa2ia24ai，则实数 a 的值为（）a.1 b.1 或4c.4d.0 或42 ) ，解析：选 c.易知 43aa2， 解得 a4.a4a考点二、复数的分类m（m2）例 2、已知 mr，复数 zm1（m22m3）i，当 m 为何值时，（1）z 为实数？（2）z 为虚数？（3）z 为纯虚数？m（m2）【解】（1）要使 z 为实数，m 需满足 m22m30，且m（m2）m1有意义，即 m10，解得 m3.（2） 要使 z 为虚数，m 需满足 m22m30，且m（m2）m1有意义，即 m10，解得 m1 且 m3.（3） 要使 z 为纯虚数，m 需满足m10，且 m22m30，解得

6、 m0 或2.变式训练 2、当实数 m 为何值时，复数 lg（m22m7）（m25m6）i 是（1） 纯虚数；（2）实数.解：（1）复数 lg（m22m7）（m25m6）i 是纯虚数，则 lg（m22m7）0，解得 m4. m25m6 0， ) 2 ) m ，（2）复数 lg（m22m7）（m25m6）i 是实数，则 m22m7 0， 解得 m2 或 m3.5m60考点三、复数相等例 3、（1）若（xy）yi（x1）i，求实数 x，y 的值；（2） 已知 a2（m2i）a2mi0（mr）成立，求实数 a 的值；a（3） 若关于 x 的方程 3x2 x1（10x2x2）i 有实根，求实数 a 的

7、值.2xy0，x，【解】（1）由复数相等的充要条件，得)解得2yx1，1y. 1)2（2）因为 a，mr，所以由 a2am2（2am）i0，可得a2am20，)解得 a 2， )或a 2，)2所以 a 2.2am0，m2m2 2，（3）设方程的实根为 xm，a则原方程可变为 3m2 m1（10m2m2）i，2a)所以 3m2m10， 解得 a1171.2或 510m2m20，变式训练 3、已知 a1，2，a23a1（a25a6）i，b1，3，ab3，求实数 a 的值.解：由题意知，a23a1（a25a6）i3（ar），所以 a23a13，即 a4或a1，a25a60，)a6或a1，)所以 a1

8、.考点四、复数与复平面内的点例 4、已知复数 z（a21）（2a1）i，其中 ar.当复数 z 在复平面内对应的点 z 满足下列条件时，求 a的值（或取值范围）.（1） 在实轴上；（2） 在第三象限.【解】（1）若对应的点在实轴上，则有12a10，解得 a .212（2）若 z 对应的点在第三象限，则有a21 0， 解得 2a1 0. )1a .故 a 的取值范围是(1， ).12变式训练 4、求实数 a 取什么值时，复平面内表示复数 za2a2（a23a2）i 的点（1） 位于第二象限；（2） 位于直线 yx 上.解：根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数 za2a2（a23a2）i 的点

9、就是点 z（a2a2，a23a2）.（1） 由点 z 位于第二象限，得a2a2 0，解得2a 0，)故满足条件的实数 a 的取值范围为（2，1）.（2） 由点 z 位于直线 yx 上，得a2a2a23a2，解得 a1. 故满足条件的实数 a 的值为 1.考点五、复数与复平面内的向量 例 5、（1）已知 m（1，3），n（4，1），p（0，2），q（4，0），o 为复平面的原点，试写出om，on，op，oq所表示的复数；（2） 已知复数 1，12i，3i，67i，在复平面内画出这些复数对应的向量；（3） 在复平面内的长方形 abcd 的四个顶点中，点 a，b，c 对应的复数分别是 23i，32i

10、，23i，求点 d 对应的复数.【解】（1）om表示的复数为 13i；on表示的复数为 4i；op表示的复数为 2i；oq表示的复数为4.（2）复数 1 对应的向量为oa，其中 a（1，0）；复数12i 对应的向量为ob，其中 b（1，2）；复数3i 对应的向量为oc，其中 c（0，3）；复数 67i 对应的向量为od，其中 d（6，7）.如图所示.（3）记 o 为复平面的原点，由题意得oa（2，3），ob（3，2），oc（2，3）.设od（x，y），则ad（x2，y3），bc（5，5）.x25，x3，由题知，adbc，所以y35，)即y2，)故点 d 对应的复数为32i.变式训练 5、在复平

11、面内， 把复数 3 . 3i 对应的向量按顺时针方向旋转 3 ， 所得向量对应的复数是解析：33i 对应向量为（3，3），与 x 轴正半轴夹角为 30，顺时针旋转 60后所得向量终点在 y 轴负半轴上，且模为 23. 故所得向量对应的复数是23i.答案：2 3i考点六、复数的模例 6、（1）设（1i）x1yi，其中 x，y 是实数，则|xyi|（）3a.1b. 2c.d.2（2）已知复数 z 满足 z|z|28i，求复数 z.【解】（1）选 b.因为 xxi1yi，所以 xy1，所以|xyi|1i| 1212 2.（2）法一：设 zabi（a，br），则|z| a2b2，代入原方程得 abi

12、a2b228i， 根据复数相等的充要条件，得a a2b22，)解得a15，)所以 z158i.b8，b8.法二：由原方程得 z2|z|8i（*）.因为|z|r，所以 2|z|为 z 的实部，故|z| （2|z|）282，即|z|244|z|z|264，得|z|17. 将|z|17 代入（*）式得 z158i.变式训练 6、已知复数 z3ai（ar），且|z|4，求实数 a 的取值范围.解：法一：因为 z3ai（ar），所以|z| 32a2，由已知得 32a242，所以 a27，所以 a（ 7，7）.法二：由|z|4 知 z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以 4 为半径的圆内（不包括边界），

13、由 z3ai 知 z对应的点在直线 x3 上，所以线段 ab（除去端点）为动点 z（3，a）的集合，由图可知7a 7.三、课后练习1.若(x+y)i=x-1(x,yr),则 2x+y 的值为()a.b.2c.0d.1解析:由复数相等的充要条件知, x+y，故 x+y=0.故 2x+y=20=1.答案:d2.已知集合 m=1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i,n=-1,3,且 mn=3,则实数 m 的值为()a.4b.-1c.-1 或 4d.-1 或 6解析:由于 mn=3,故 3m,必有 m2-3m-1+(m2-5m-6)i=3,所以得 m=-1.答案:b3. 给出下列复数:-2i

14、,3+,8i2,isin,4+i;其中表示实数的有(填上序号).解析:为实数;8i2=-8 为实数;isin=0i=0 为实数,其余为虚数. 答案:4. 下列复数模大于 3,且对应的点位于第三象限的为()a.z=-2-ib.z=2-3ic.z=3+2id.z=-3-2i解析:a 中|z|=3. 答案:d5. 已知复数 z 满足|z|2-2|z|-3=0,则复数 z 对应点的轨迹为()a.一个圆b.线段c.两点d.两个圆解析:|z|2-2|z|-3=0,(|z|-3)(|z|+1)=0,|z|=3,表示一个圆,故选 a.答案:a6. 已知在abc 中,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,则对

15、应的复数为.解析:因为对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,所以=(-1,2),=(-2,-3).又=(-2,-3)-(-1,2)=(-1,-5),所以对应的复数为-1-5i.答案:-1-5i7. 在复平面内,若复数 z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i 的对应点, (1)在虚轴上,求复数 z;(2)在实轴负半轴上,求复数 z.答案:(1)若复数 z 的对应点在虚轴上,则 m2-m-2=0,所以 m=-1 或 m=2.此时 z=6i 或 z=0.(2)若复数 z 的对应点在实轴负半轴上,则 m2-3m+2=0，m2-m-20).1|z|=1,a2=.而 a0,2a=2 .z= -2 +

16、2 i2答案:z= -222 +2 i2211. 已知复数 z 满足 z+|z|=2+8i,则复数 z=.解析:设 z=a+bi(a,br),a2 + b2则|z|=,a2 + b2代入方程得,a+bi+=2+8i,解得 a=-15z=-15+8i.答案:-15+8i12.已知 m=1,(m2-2m)+(m2+m-2)i,p=-1,1,4i,若 mp=p,求实数 m 的值.解析:mp=p,mp,即(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1 或(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i. 由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,得解得 m=1;由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i, 解得

17、m=2.综上可知 m=1 或 m=2.答案:m=1 或 m=213.已知复数 z=2+cos+(1+sin)i(r),试确定复数 z 在复平面内对应的点的轨迹是什么曲线.解析:设复数 z=2+cos+(1+sin)i 对应的点为 z(x,y),则 x=2+cos,y=1+sin 即 cos=x-2,sin=y-1 所以(x-2)2+(y-1)2=1.所以复数 z 在复平面内对应点的轨迹是以(2,1)为圆心,1 为半径的圆.答案:复数 z 在复平面内对应点的轨迹是以(2,1)为圆心,1 为半径的圆.14 已知复数 zm(m1)(m22m3)i(mr)(1) 若 z 是实数，求 m 的值；(2)

18、若 z 是纯虚数，求 m 的值；(3) 若在复平面 c 内，z 所对应的点在第四象限，求 m 的取值范围答案: (1)z 为实数，m22m30，解得 m3 或 m1.(2)z 为纯虚数，error!解得 m0. (3)z 所对应的点在第四象限，error!解得3m0.“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the la