高中数学 精讲优练课型 第三章 三角恒等变换 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一) 新人教版必修4

1、3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一,知识提炼】 1.两角和的余弦公式 cos(+)=_，简记为_，其中， 都是_,coscos-sinsin,C(,任意角,2.两角和与差的正弦公式 (1)两角和的正弦： sin(+)=_，简记为_，其中， 都是_. (2)两角差的正弦： sin(-)=_，简记为_，其中， 都是_,sincos+cossin,S(,任意角,sincos-cossin,S(,任意角,即时小测】 1.思考下列问题 (1)sin(+)=sin+sin一定不成立吗？ 提示：一般情况下上面式子是不成立的，但在特殊情况下如当=0，R，或R，=0时，sin(+)=sin+sin

2、成立,2)S(+)与S(+)有什么关系？S(-)与S(-)相等吗？ 在利用S(-)时需要注意什么？ 提示：sin(+)=sincos+cossin，sin(+) =sincos+cossin观察可得S(+)与S(+)相等. sin(-)=sincos-cossin， sin(-)=sincos-cossin，可知一般情况下sin(-) sin(-)，在利用公式时要注意做差顺序,2.计算sin40sin80-cos40cos80的值为() A.0 B. C. D. 【解析】选C. sin40sin80-cos40cos80 =-cos(80+40)=cos60=,3.设 则 等于_. 【解析】因

3、为 是第二象限内的角，根据sin2+cos2=1， sin= ，其中cos0可得 又根据两角和的正弦公式得 答案,4.cos 71sin 11-sin 71cos 11=_. 【解析】cos 71sin 11-sin 71cos 11=sin(11-71) =-sin 60= . 答案,5.若 则 _. 【解析】因为 所以 所以 答案,知识探究】 知识点1 两角和的余弦公式 观察如图所示内容，回答下列问题： 问题1：运用两角和的余弦公式时需要注意什么？ 问题2：两角和的余弦公式的适用条件只能是一个角吗？能不能是角的组合,总结提升】 1.两角和的余弦公式的应用技巧 (1)应用两角和的余弦公式要区

4、分三角函数的名称和符号，不能混淆，即cos(+)=coscos-sinsin. (2)要灵活进行正用、逆用两角和的公式计算或化简,2.两角和的余弦公式的适用条件 公式中的，不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”， 如 中的“ ”相当于公式中的角，“ ” 相当于公式中的角,知识点2 两角和与差的正弦公式 观察如图所示内容，回答下列问题： 问题1：两角和差的余弦公式以及正弦公式的结构有何异同？ 问题2：在计算两角的和与差时，如何利用两角和与差的正弦公式,总结提升】 1.两角和差的余弦公式以及正弦公式的结构特点 (1)公式中的，均为任意角. (2)两角和与差的正、余弦公式可以看成是诱导公式的推

5、广，诱导公式可以看成是两角和与差的正、余弦公式的特例. (3)两角和与差的正弦公式结构是“正余余正，加减相同”，两角和与差的余弦公式结构是“余余正正，加减相反,2.两角和与差的正弦公式的一般使用方法 (1)正用：把sin()，从左向右展开. (2)逆用：公式的右边化简成左边的形式，当结构不具备条件时，要用相关公式调节后再逆用. (3)变形应用：它涉及两个方面，一是公式本身的变用；二是角的变用，也称为角的拆分变换，如=(+)-，2=(+)+(,题型探究】 类型一 给角求值 【典例】1.(2015全国卷) =() A. B. C. D,2.求下列各式的值. (1) (2)sin(x+27)cos(

6、18-x)-sin(63-x)sin(x-18). (3,解题探究】1.典例1中cos160如何处理？ 提示：利用诱导公式将cos160转化为-cos20. 2.(1)典例2(1)中当代数式中的结构不满足公式S()时，常借助什么工具给予变形？ 提示：当代数式中的结构不满足公式S()时，常借助诱导公式给予变形，之后再求值,2)观察典例2(2)，角“27+x”与角“63-x”有什么关系？ 提示：角“27+x”与角“63-x”和为90. (3)典例2(3)中对tan 10如何处理？ 提示：采用切化弦，即tan 10,解析】1.选D.原式=sin20cos10+cos20sin10 =sin30= .

7、 2.(1)原式,2)原式=sin(x+27)cos(18-x)-cos90-(63-x) sin(x-18) =sin(x+27)cos(x-18)-cos(x+27)sin(x-18) =sin(x+27)-(x-18)=sin45=,3)方法一：原式= = = = 方法二：原式= =,方法技巧】解决给角求值问题的策略 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形. (2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式,变式训

8、练】 的值是() A. B. C. D. 【解析】选C.原式= = =,类型二 给值(式)求值 【典例】1.(2015荆州高一检测)若 则cos(-)的值为() A. B. C. D.1 2.(2015青岛高一检测)已知 求sin2的值,解题探究】1.典例1中，如何将 联系起来？ 提示：对两式分别平方，然后相加. 2.如何利用已知角表示待求角？ 提示：2=(-)+(,解析】1.选B.因为 所以(sin-sin)2+(cos-cos)2 所以2-2(coscos+sinsin)= 所以coscos+sinsin= ，即 cos(-)=,2.因为 所以sin2=sin(-)+(+)=sin(-)c

9、os(+)+ cos(-)sin(,延伸探究】典例2中的条件不变，如何求sin2的值. 【解析】因为 所以sin2=sin(+)-(-) =sin(+)cos(-)-cos(+)sin(,方法技巧】给值(式)求值的策略 (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式. (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角,变式训练】设 【解题指南】由已知角 与所求角 建立关系， 可知,解析】因为 因为 所以,所以,补偿训练】已知 求sin(+)的值,解题探究】本题中角+与已知条件中的角 如何联系起来

10、？ 提示,解析】因为 因为 因为 因为 所以sin(+)=-sin+(,类型三 给值求角 【典例】1.已知 则的值为 () A. B. C. D. 2.(2015泰安高一检测)已知 且 求：(1)cos(2-)的值. (2)的值,解题探究】1.典例1中，如何通过-，与建立联系？ 在本题中是否必不可少？ 提示：由题目不难发现=-(-)，从而进行求解.在本题 中 必不可少.因为由其可确定 ，从而确定cos(-)与sin(-)的值,2.典例2中，求cos(2-)和的值的思路分别是什么？ 提示：(1)根据2-=-+及两角和的余弦公式求cos(2-). (2)先根据=-(-)及两角差的余弦公式求cos，

11、然后求,解析】1.选C.由 又因为 所以 由 得 由=-(-)，得cos=cos-(-) 所以,2.(1)因为 且 所以 因为 所以 所以cos(2-)=cos(-)+ =coscos(-)-sinsin(,2)cos=cos-(-)=coscos(-)+sinsin(-) 又因为,方法技巧】知值求角的步骤 (1)首先考虑界定角的范围，根据条件确定角的范围，有时需要根据已知条件把角度的范围缩小. (2)求所求角的某种三角函数值，为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数，如角的范围是0，时取余弦更方便些；而角的范围是 时，取正弦更方便. (3)求角，结合三角函数值及角的范围求角,变式训练】

12、且，是锐角，则 =_. 【解题指南】利用同角三角函数的基本关系，求出cos= ， 由cos=cos(+)- =cos(+)cos+sin(+)sin，进而求出结果,解析】由 且，是锐角，求得 所以 所以 答案,补偿训练】满足 的最小 正角A=_. 【解析】由 得 所以sinAcos45-cosAsin45 =sin30cos10-cos30sin10， 所以sin(A-45)=sin(30-10)=sin20， 因为A是满足条件的最小正角，所以A-45=20，故A=65. 答案：65,易错案例 两角和与差的正弦、余弦公式逆用 【典例】(2015秦皇岛高一检测)已知 则 等于( ) A. B. C. D,失误案例,错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？ 提示：错误的根本原因是两角差的余弦公式和诱导