复数的三角形式及乘除运算(最新整理)

1、复数的三角形式及乘除运算一、主要内容:复数的三角形式，模与辐角的概念及几何意义，用三角形式进行复数乘除运算及几何意义. 二 、 学 习 要 求 : 1熟练进行复数的代数形式与三角形式的互化，会求复数的模、辐角及辐角主值.2. 深刻理解复数三角形式的结构特征，熟练运用有关三角公式化复数为三角形式.3. 能够利用复数模及辐角主值的几何意义求它们的范围（最值）.4. 利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算，并能根据乘除运算的几何意义解决相关问题.5. 注意多种解题方法的灵活运用，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法.三、重点:复数的代数形式向三角形式的转换，复数模及复数乘除运算几何意义的综合运用.四、

2、学习建议:1. 复数的三角形式是彻底解决复数乘、除、乘方和开方问题的桥梁，相比之下，代数形式在这些方面显得有点力不从心，因此，做好代数形式向三角形式的转化是非常有必要的.前面已经学习过了复数的另两种表示.一是代数表示，即 z=a+bi(a,br).二是几何表示，复数 z 既可以用复平面上的点 z(a,b)表示，也可以用复平面上的向量来表示.现在需要学习复数的三角表示.既用复数 z 的模和辐角来表示，设其模为 r，辐角为 ，则 z=r(cos+isin)(r0).既然这三种方式都可以表示同一个复数，它们之间一定有内在的联系并能够进行互化. 代数形式 r=三角形式z=a+bi(a,br)z=r(c

3、os+isin)(r0)复数三角形式的结构特征是:模非负，角相同，余弦前，加号连.否则不是三角形式.三角形式中 应是复数 z的一个辐角，不一定是辐角主值.例 1下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式:(1) z1=-2(cos+isin)(2) z2=cos-isin(3) z3=-sin+icos(4) z4=-sin-icos(5) z5=cos60+isin30分析:由三角形式的结构特征，确定判断的依据和变形的方向.变形时，可按照如下步骤进行:首先确定复数 z 对应点所在象限（此处可假定 为锐角），其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角.此步骤可简称为“定点定名定角”.这样，

4、使变形的方向更具操作性，能有效提高解决此类问题的正确率.解:（1）由“模非负”知，不是三角形式，需做变换:z1=z(-cos-isin)复平面上 z1(-2cos,-2sin)在第三象限（假定 为锐角），余弦“-cos”已在前，不需再变换三角函数名称， 因此可用诱导公式“+”将 变换到第三象限.z1=z(-cos-isin)=2cos(+)+isin(+)（2） 由“加号连”知，不是三角形式复平面上点 z2(cos,-sin)在第四象限（假定 为锐角），不需改变三角函数名称，可用诱导公式“2-”或“-”将 变换到第四象限. z2=cos-isin=cos(-)+isin(-)或 z2=cos-

5、isin=cos(2-)+isin(2-)考虑到复数辐角的不唯一性，复数的三角形式也不唯一.（3） 由“余弦前”知，不是三角形式14复平面上点 z3(-sin,cos)在第二象限（假定 为锐角），需改变三角函数名称，可用诱导公式“+”将 变换到第二象限.z3(-sin,cos)=cos(+)+isin(+)同理（4）z4=-sin-icos=cos(-)+isin(-)（5）z5=cos60+isin30=+i=(1+i)=(cos+isin)=(cos+isin)小结:对这类与三角形式很相似的式子，如何将之变换为三角形式，对于初学者来讲是个难点.有了“定点定名定角”这样一个可操作的步骤，应能

6、够很好地解决此类问题.例 2求复数 z=1+cos+isin(2)的模与辐角主值.分析:式子中多 3 个“1”，只有将“1”消去，才能更接近三角形式，因此可利用三角公式消“1”.解:z=1+cos+isin=1+(2cos2-1)+2isincos=2cos(cos+isin).(1) 2,cos0(1)式右端=-2cos(-cos-isin)=-2coscos(+)+isin(+) r=-2cos, argz=+2k(kz)+2，argz=+.小结:（1）式右端从形式上看似乎就是三角形式.不少同学认为 r=2cos, argz=或 argz=错误之处在于他们没有去考虑 角范围，因此一定要用“

7、模非负，角相同，余弦前，加号连”来判断是否为三角形式.看了这道例题，你一定能解决如 z1=1-cos+isin(2) ，z2=1+cos-isin(2)等类似问题.例 3将 z=(3)化为三角形式，并求其辐角主值.分析:三角形中只有正余弦，因此首先想到“化切为弦”.下一步当然是要分母实数化，再向三角形式转化.解:=cos2+isin23, 26, 2-40)|z1z2|2=k2+(2k)2-2k2kcos=3k2 |z1z2|=k,而 k2+(k)2=(2k)2，oz1z2 为有一锐角为 60的直角三角形.小结:此题中利用除法几何意义来解决三角形中角的大小问题，十分方便.例 8已知直线 l 过

8、坐标原点，抛物线 c 的顶点在原点，焦点在 x 轴正半轴上，若点 a(-1,0)和 b(0,8)关于 l的对称点都在 c 上，求直线 l 与抛物线 c 的方程.解:如图，建立复平面 x0y，设向量、对应复数分别为x1+y1i, x2+y2i.由对称性，|oa|=|oa|=1, |ob|=|ob|=8, x2+y2i=(x1+y1i)8i=-8y1+8x1i1122 设抛物线方程为 y2=2px(p0)则有 y 2=2px , y 2=2px ,1 x1=, y 2=p2, 又|oa|=1，()2+p2=1,p=或-（舍）抛物线方程为 y2=x，直线方程为:y=x.小结:对于解析几何的许多问题，

9、若能借助于复数的向量来表示，常常有意想不到的功效.尤其涉及到特殊位置，特殊关系的图形时，尤显其效.五、易错点1. 并不是每一个复数都有唯一确定的辐角主值.如复数零的模为 0，辐角主值不确定.2. 注意 argz 与 argz 的区别.argz 表示复数 z 的辐角，而 argz 表示复数 z 的辐角主值.argz=argz+2k(kz),argz0,2), 辐角主值是0,2)内的辐角，但辐角不一定是辐角主值.3. 复数三角形式的四个要求:模非负，角相同，余弦前，加号连，缺一不可.任何一个不满足，就不是三角形式.4. 注意复数三角形式的乘除运算中，向量旋转的方向.六、练习1. 写出下列复数的三角

10、形式(1) ai(ar)(2) tg+i(）(3) -（sin-icos)2. 设 z=(-3+3i)n, nn，当 zr 时，n 为何值？3. 在复平面上 a，b 表示复数为 ,(0),且 =(1+i)，判断 aob 形状，并证明 saob=|d|2.参考答案:1（1）ai=（2）tg+i(）=-cos(-)+isin(-)（3）-(sin-icos)=cos(+)+isin(+)2n 为 4 的正整数倍3法一:0，=（1+i)=1+i=(cos+isin), aob=,分别表示复数 ，-，由 -=i，得=i=cos+isin，oab=90,aob 为等腰直角三角形.法二:|=|, |=|-

11、|=|i|=|,|=|又|=|=|(1+i)|=|,|2+|2=|2+|2=2|2=|2aob 为等腰直角三角形，saob=|=|2.在线测试选择题1. 若复数 z=(a+i)2 的辐角是，则实数 a 的值是（）a、1b、-1c、- d、-2. 已知关于 x 的实系数方程 x2+x+p=0 的两虚根 a， b 满足|a-b|=3， 则 p 的值是（）a、-2b、-c、d、13. 设，则复数的辐角主值为（）a、2-3b、3-2c、3d、3-4. 复数 cos +isin 经过 n 次乘方后，所得的幂等于它的共轭复数，则 n 的值等于（）a、3b、12c、6k-1(kz)d、6k+1(kz)5z

12、为复数，( )|z-3|=( )|z+3|( )-1 的图形是（）a、直线b、半实轴长为 1 的双曲线c、焦点在 x 轴，半实轴长为 的双曲线右支d、不能确定答案与解析答案：1、b2、c3、b4、c5、c解析：1z=(a+i)2=(a2-1)+2ai， argz=，a=-1，本题选 b.2求根 a，b=（=1-4p0）|a-b|=|=3， 4p-1=9， p= ，故本题应选 c.3=cos3+isin3. ，33，3-2，故本题应选 b. 4由题意，得(cos +isin )n=cos+isin=cos -isin由复数相等的定义 ，得 解得=2k- ，(kz)，n=6k-1.故本题应选 c.

13、5依题意，有 |z-3|=|z+3|-1， |z+3|-|z-3|=1.由双曲线定义，此方程表示焦点(3，0)，2a=1， a=的双曲线右支，故本题应选 c.复数三角形式的运算疑难问题解析1. 复数的模与辐角：(1)复数模的性质：z1z2=z1z2(2) 辐角的性质：积的辐角等于各因数辐角的和商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差 一个复数 n 次幂(nn)的辐角等于这个复数辐角的 n 倍注意：(1)辐角与辐角主值的区别，特别是解题过程中的不同点如下面两个问题： 若 arg(2-i)=，arg(3-i)=，求 + 的值(+(3，4)若 arg(2-i)=，arg(3-i)=，求 arg

14、(2-i)(3-i)的值(2)两个复数乘积的辐角主值不一定等于两辐角主值的和，商的辐角主值不一定等于辐角主值的差.2. 关于数的开方(1)复数的开方法则：r(cos+isin)的 n 次方根是几何意义：设对应于复平面上的点 ，则有：所以，复数 z 的 n 次方根，在复平面内表示以原点为中心的正 n 边形的 n 个顶点 (2)复数平方根的求法求-3-4i 的平方根解法一利用复数代数形式设-3-4i 的平方根为 x+yi(x，yr)，则有(x+yi)2=-3-4i,即(x2-y2)+2xyi=-3-4i，由复数相等条件，得-3-4i 的平方根是(1-2i)法二利用复数的三角形式3. 复数集中的方程

15、关于实系数的一元二次方程的解法：设 ax2+bx+c=0(a0，a，b，cr，x1，x2 为它的两个根) (1)当=b2-4ac0 时，方程有两个实数根当=b2-4ac0 时，方程有一对共轭虚根(4)二次三项式的因式分解：ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)关于复系数的一元二次方程的解法：设 ax2+bx+c=0(a0，a、b、cc，且至少有一个虚数，x1x2 为它的两个根)(4)二次三项式的因式分解 ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)仍然适用 关于二项方程的解法形如 anxn+a0=0(a0，anc 且 an0)的方程叫做二项方程，任何一个二项方程都可以化成 xn=b(bc

16、)的形式， 因此都可以通过复数开方来求根可以充分利用复数 z 的整体性质，复数 z 的三种表示方法及其转换来解方程已知方程 x2-4x+p=0 两虚数根为 、，且|-|=2 求实数 p 的值 解法 1实系数一元二次方程虚根共轭设 =a+bi，=a-bi，(a，br)+=2a=4，a=2又|-|=2, |2bi|=2 得 b=1即两根为 2+i，2-i 由韦达定理得：p=(2+i)(2-i)=5法 2由韦达定理可得：+=4，=p于是|-|2=|(-)2|=|(+)2-4|=|42-4p|=4，即|4-p|=1 又=42-4p0p4，p-4=1，得 p=5说明注意实系数一元二次方程有两个实根与有两

17、个虚根的区别一等式成立若有两个虚根则上述等式不成立因为-2(-)2因此在解题时要重视复数与实数知识点之间的区别与联系，要避免出现混淆与干扰已知方程 2x2+3ax+a2-a=0 有模为 1 的根，求实数 a 的值分析已知方程有模为 1 的根，此根可能是实数，也可能是虚数，故求实数 a 要注意分域讨论解(1)若所给方程有实根则=(3a)2-42(a2-a)=a2+8a0，即 a-8 或 a0由条件得根必为 1 或-1，将 x=1 代入原方程可得 a2+2a+2=0a 无实数解(2)若所给方程有虚根则=a2+80，即-8a0即 a2-a-2=0，a=-1 或 a=2(舍)已知方程 x2-(2i-1

18、)x+3m-i=0 有实数根，求实数 m分析求实数 m 的范围，若用判别式来判断是错误的，因为此方程的系数是复数利用求根公式或用韦达定理或选用复数相等，解方程组来求实数 m 均可以现仅介绍一种方法解x，mr，方程变形可得，(x2+x+3m)-(2x+1)i=0复数例题讲解与分析例 1已知 x, y 互为共轭复数，且(x+y)2-3xyi=4-6i,求 x, y.思路 1：确定一个复数即分别确定它的实部、虚部或模与一个辐角，设 z=a+bi 或三角形式，化虚为实。解法 1：设 x=a+bi(a,br), 则 y=a-bi, 代入原等式得：(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i. 或或或，或或或

19、。思路 2：“x, y 互为共轭”含义？x+yr, xyr,则(x+y)2-3xyi=4-6i.解法 2：x= ，x+yr, xyr, 由两复数相等可得：，由韦达定理可知：x,y 同是方程：z2+2z+2=0 或 z2-2z+2=0 的两根， 分别解两个一元二次方程则得 x,y（略）。例 2已知 zc,|z|=1 且 z2-1,则复数（）a、必为纯虚数b、是虚数但不一定是纯虚数c、必为实数d、可能是实数也可能是虚数思路分析：选择题，从结论的一般性考虑，若 z=1，显然 a、b 选项不成立，分析 c、d 选项，显然穷举验证不能得出一般结论只能推演解：法 1设 z=a+bi, a,br, a2+b

20、2=1,a0.则=r，故，应选 c。法 2设 z=cos+isin (r,且 k+)，则=r。法 3z =|z|2, 当|z|=1 时有 z =1,=r.法 4当|z|=1 时有 z =1，=r.法 5复数 z 为实数的充要条件是 z= ,而()=, 又|z|=1 时， =，=， r。评注：复习中，概念一定要结合意义落实到位，一方面深化理解（比如复数定义：“形如 a+bi (a,br)的数叫复数”深入理解就有凡是复数都能写成这样，求一个复数，使用一个复数都可通过这一形式将问题化虚为实；。）同时对一些概念的等价表达式要熟知。（比如：z=a+birb=0(a,br)z=z20； z=a+bi 是纯

21、虚数a=0 且 b0 (a,br)z+ =0 (z0)z20；.)在面对具体问题时要有简捷意识（比如该例方法 1，有同学可能会在算到时不注意及时化简分母又直接按两复数相除的运算法则进行），多方理解挖掘题目立意。例 3求使关于 x 的方程 x2+(m+2i)x+2+mi=0 至少有一个实根的实数 m.思路分析：根的判别式只适用实系数的一元二次方程，虚系数有实根用两复数相等，化虚为实。解：设 x0 为方程的一个实根，则有x02+mx0+2+(2x0+m)i=0，解得：m=2。例 4 设 zc， arg(z+2)=, arg(z-2)=, 求 z。思路分析：常规思路，设 z=a+bi, 由已知列关于

22、 a,b 的方程求解；数形结合思想，由题设可知 z+2 对应的点 a 在射线 oa 上，aox=，z-2 对应的点 b 应在射线 ob 上，box=，z 对应的点 z 应在 ab 中点上，|ab|=4，ab/ox 轴，aob=， 故而易得：z=-1+i.解：（略）例 5设 x,yr, z1=2-x+xi, z2=y-1+(-y)i,已知|z1|=|z2|，arg=, (1)求()100=?(2)设 z=, 求集合 a=x|x=z2k+z-2k, kz中元素的个数。思路分析：理解已知，|z1|=|z2|，arg=含义？=i, 即 z1=z2i两复数相等x, y. (1)解：|z1|=|z2|,

23、|=1,又 arg=,=|(cos+isin)=i, 即 z1=z2i, 2-x+xi=y-1+(-y)ii即，解得 x=y=+, ()100=(+i)100=(-+i)50=-i.简评 10本题的解法体现了等价转化和整体的思想方法，如果把两个已知条件割裂开来去考虑，则需要解关于 x, y 的二元二次方程组，其运算肯定很麻烦；20在计算题中对 1 的立方根之一：w=-+i 的特性要熟知即 w3=3=1,=w2,1+w+w2=0, 1+=0, 关于此点设计问题是命题经常参考的着眼点。(2) 思路分析：由(1)知 z=+i，z 的特性：z3=-1= 3, |z|=1,=； z=cos+isin,

24、z2=w, ，z2k+z-2k可怎么理解呢？ (z2)k+(z2)-k, z2k+ 2k, 解法 1：令 w=-+i，则 z2k+z-2k=wk+w-k,w3=1,而 kz, k=当 k=3m 时，z2k+z-2k=(w3)m+(w3)-m=2,当 k=3m+1 时，z2k+z-2k=w3mw+w-3mw-1=w+w-1=w+=-1,当 k=3m+2 时，z2k+z-2k=w3mw2+w-3mw-2=w2+w-2=w3w-1+w-3w=w-1+w=-1,综上可知，集合 a 中有 2 个元素。法 2：|z|=1, =,z2k+z-2k=z2k+ 2k=cos+isin+cos-isin=2cos

25、=由此可判定集合 a 中有 2 个元素。例 6设复数 z=cos+isin(0), w=, 并且|w|=, argw,求 。（93 年全国理）思路分析：欲用已知，需化简 w,解：w=tg2(sin4+icos4) |w|=|tg2|由|w|=得 tg2=. 0, 故有(i)当 tg2=时，得 =或 =.此时 w=(cos+isin)，argw=, 不合题意，舍去，故综合(i), (ii)知，=或 =.简评 10复数与三角的综合题目是命题的一个方向，其中应用三角公式“1cosa 的升幂式”及“诱导公式” 化复数代数形式为标准三角形式应用频率较高。20此题在 w 的化简中亦可利用 |z|=1, z

26、 =|z|来化简：w=以下略，这样可省去较为繁锁的三角变换。例 7已知|z|=1,且 z5+z=1, 求 z。思路分析 1：已知含未知数的等式求未知数，方程问题，设元化虚为实，解：法 1设 z=cos+isin，则由 z5+z=1 可得：由(1)2+(2)2 得：cos4=-（以下略）。思路分析 2：复数的概念，运算都有几何意义，由 z5+z=1，若设 z5, z,1 对应点为 a，b，c 则四边形 oacb为平行四边形。法 2：设 z5,z,1 在复平面上对应点分别为 a，b，c，则由 z5+z=1，可知，四边形 oacb 为平行四边形， 又 |z5|=|z|5=1=|z| oacb 为边长为 1 的菱形且aob=120， 易求得：z=+i 或 z=-i。可以验证当 z=i 时，z5=i 符合题意。简评：10数形结合思想方法应是处理复数有关问题的习惯思路，因复数中的概念，运算都有一定的几何含义，这源于 z=a+bi