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文档简介

1、2. 设,是由方程,和,所确定的函数 , 求,解法1 分别在各方程两端对 x 求导, 得,1999考研,解法2 微分法,对各方程两边分别求微分,化简得,消去,可得,在许多问题中, 不仅要知道函数在坐标轴方向上的变化率 (即偏导数), 而且还要知道在其他特定方向上的变化率,这就是本节所要讨论的方向导数,返回,第六节 方向导数与梯度,一 问题的提出 二 方向导数的定义 三 方向导数的计算 四 梯度的概念,实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一个蚂

2、蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点,问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行,一、问题的提出,讨论函数 在一点P沿某一方向的变化率问题,如图,二 、方向导数的定义,当 沿着 趋于 时,是否存在,且,考虑,三、方向导数的计算,故有方向导数,重点:如何求方向导数,解,1. 根据定义,2. 通过偏导数,解,所求方向导数,推广可得三元函数方向导数的定义,其中,四、梯度的概念,由方向导数公式知,在各个方向导数中，沿梯度的方向导数为正且最大，沿负梯度的方向导数为负且最小，即，梯度的方向是函数上升最快的方向，负梯度的方向是函数下降最快的方向,利用隐函数求导,则法线方向,

3、等值线,在几何上 表示一个曲面,曲面被平面 所截得,所得曲线在xoy面上投影 如图,等高线,梯度为等高线上的法向量,等值线,梯度与等高(值)线的关系,此时 f ( x , y ) 沿该法线方向的方向导数为,故应从数值较低的等高线指向数值较高的等高线，梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数，这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向,类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值,梯度的概念可以推广到三元函数,梯度的基本运算公式,解,由梯度计算公式得,故,解,解,事实上,沿与梯度垂直的方向函数变化率为零,1、方向导数的概念,2、梯度的概念,注意方向导数与一般所说偏导数的区别,注意梯度是一个向量,四、小结

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