高等数学：7-4全微分(1)_第1页
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文档简介

1、则,函数的全微分,则,上述两个定理表明,函数在一点可微，则在该点可导（偏导数存在）且函数连续。（反之,例如,则,说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在,证,在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理,依偏导数的连续性,同理,可微=可导，函数连续 偏导数连续=可微,全微分的定义可推广到三元及三元以上函数,解,所求全微分,解,解,所求全微分,例,4,试证函数,在点,连续且偏导数存在，但偏导数在点,不连续，而,f,在点,可微,证,令,则,同理,不存在,12/16,连续、可导与可微的关系,TH2,TH3,可微的定义TH1,例,可知当,二、全微分在数值计算中的应用,1. 近似计算,由全微分定义,

2、较小时,及,有近似等式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,可用于近似计算; 误差分析,可用于近似计算,半径由 20cm 增大,解: 已知,即受压后圆柱体体积减少了,例3. 有一圆柱体受压后发生形变,到 20.05cm,则,高度由100cm 减少到 99cm,体积的近似改变量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求此圆柱体,例4.计算,的近似值,解: 设,则,取,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,分别表示 x , y , z 的绝对误差界,2. 误差估计,利用,令,z 的绝对误差界约为,z 的相对误差界约为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,特别注意,类似可以推广到三元及三元以上的情形,乘除后的结果相对误差变大,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 利用公式,求计算面积时的绝对误差与相对误差,解,故绝对误差约为,又,所以 S 的相对误差约为,计算三角形面积.现测得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 微分定义,2. 重要关系,机动 目录

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