方法归纳利用勾股定理解决折叠问题(最新整理)

1、方法归纳利用勾股定理解决折叠问题一、利用勾股定理解决平面图形的折叠问题【例 1】如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 ac=5 cm，bc=10 cm，将abc 折叠，使点 b 与点 a 重合，折痕为 de，则 cd 的长为()25152515a. cmb.cmc.cmd.cm2244【分析】图中 cd 在 rtacd 中，由于 ac 已知，要求 cd，只需求 ad，由折叠的对称性，得 ad=bd，注意到 cd+bd=bc， 利用勾股定理即可解之.【方法归纳】折叠问题是近几年来中考中的常见题型.解折叠问题关键是抓住对称性.勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式，求线段的长时，可由此列出方

2、程，运用方程思想分析问题和解决问题，以便简化求解.1.如图所示，有一块直角三角形纸片，c=90，ac=4 cm，bc=3 cm，将斜边 ab 翻折，使点 b 落在直角边 ac 的延长线上的点 e 处，折痕为 ad，则 ce 的长为()a.1 cmb.1.5 cmc.2 cmd.3 cm2.(2014青岛)如图，将长方形 abcd 沿 ef 折叠，使顶点 c 恰好落在 ab 边的中点 c上，若 ab6，bc9，则 bf的长为()2a.4b.3c.4.5d.53. 如图，长方形纸片 abcd 中，已知 ad=8，折叠纸片使 ab 边与对角线 ac 重合，点 b 落在点 f 处，折痕为 ae，且 e

3、f=3，则 ab 的长为()a.3b.4c.5d.64. 如图，长方形 abcd 的边 ad 沿折痕 ae 折叠，使点 d 落在 bc 上的 f 处，已知 ab=6，abf 的面积是 24，则 fc等于()a.1b.2c.3d.45. 如图，四边形 abcd 是边长为 9 的正方形纸片，将其沿 mn 折叠，使点 b 落在 cd 边上的 b处，点 a 对应点为a，且 bc=3，则 am 的长为()a.1.5b.2c.2.25d.2.56. 如图所示，在abc 中，b=90，ab=3，ac=5，将abc 折叠，使点 c 与点 a 重合，折痕为 de，则abe 的周长为.7. 如图，在 rtabc

4、中，c=90，bc=6 cm，ac=8 cm，按图中所示方法将bcd 沿 bd 折叠，使点 c 落在 ab 边的 c点，那么adc的面积是.8. 如图，已知 rtabc 中，c=90，ac=6，bc=8，将它的锐角 a 翻折，使得点 a 落在 bc 边的中点 d 处，折痕交 ac边于点 e，交 ab 边于点 f，则 de 的值为.二、利用勾股定理解决立体图形的展开问题【例 2】如图，圆柱形玻璃杯，高为 12 cm，底面周长为 18 cm，在杯内离杯底 4 cm 的点 c 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 4 cm 与蜂蜜相对的点 a 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm.【分析】

5、将圆柱形平面展开，将 a、c 两点放在同一平面内,然后利用勾股定理进行计算.【方法归纳】在曲面上求两点之间的最短距离，根据“两点之间线段最短”和“化曲面为平面”两种思想，利用勾股定理解决.解决本题时要注意展开后有一直角边长是 9 cm 而不是 18 cm.9. 如图，一圆柱体的底面周长为 24 cm，高 ab 为 5 cm，bc 是直径，一只蚂蚁从点 a 出发沿着圆柱体的表面爬行到点 c 的最短路程是( )a.6 cmb.12 cmc.13 cmd.16 cm10. 如图，在一个长为 2 m，宽为 1 m 的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和场地宽 ad 平行且棱长大于 ad，木块从

6、正面看是边长为 0.2 m 的正方形，一只蚂蚁从点 a 处到达 c 处需要走的最短路程是m（精确到 0.01 m）.11. 一位同学要用彩带装饰一个长方体礼盒.长方体高 6 cm，底面是边长为 4 cm 的正方形，从顶点 a 到顶点 c如何贴彩带用的彩带最短？最短长度是多少？12. 如图，一个长方体形状的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角 a 处沿着木柜表面爬到柜角 c1 处.(1) 请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；(2) 当 ab=4，bc=4，cc1=5 时，求蚂蚁爬过的最短路径的长.参考答案例 1要使 a，b 两点重合，则折痕 de 必为 ab 的垂直平

7、分线. 设 cd=x，则 ad=bd=10-x.15在 rtacd 中，由勾股定理，得 x2+52=(10-x)2.解得 x=.4故应选 d.变式练习131.a2.a3.d4.b5.b6.77.6 cm28.3例 2如图，圆柱形玻璃杯展开（沿点 a 竖直剖开）后，侧面是一个长 18 cm，宽 12 cm 的长方形，作点 a 关于杯上沿 mn 的对称点 b，连接 bc 交 mn 于点 p，连接 bm，过点 c 作 ab 的垂线交剖开线 ma 于点 d.由轴对称的性质和三角形三边关系知 ap+pc 为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，且 ap=bp.由已知和长方形的性质，得 dc=9,bd=12.dc 2

8、+ bd292 +122在 rtbcd 中，由勾股定理得 bc=15.ap+pc=bp+pc=bc=15.即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 15 cm.变式练习9.c10.2.6011.把长方体的面 dccd沿棱 cd展开至面 abcd 上，如图.构成矩形 abcd，则 a 到 c的最短距离为 ac的长度，连接 ac交 dc 于 o，易证aodcoc.od=oc. 即 o 为 dc 的中点，由勾股定理得 ac2=ad2+dc2=82+62=100,ac=10 cm.即从顶点 a 沿直线到 dc 中点 o，再沿直线到顶点 c，贴的彩带最短，最短长度为 10 cm.12.(1)如图，木柜的表面展开图是两

9、个矩形 abc1d1 和 acc1a1.蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图所示的ac1和 ac1 两种.42 + (4 + 5)297(2)蚂蚁沿着木柜表面经线段 a1b1 到 c1，爬过的路径的长 l1=.(4 + 4)2 + 5289蚂蚁沿着木柜表面经线段 bb1 到 c1，爬过的路径的长 l2=.l1l2，89最短路径的长是.“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderfu

10、l life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the