概率论与数理统计答案第四版第2章(浙大)(最新整理)

1、1、 考虑为期一年的一张保险单，若投保人在投保一年后因意外死亡，则公司赔付 20 万元， 若投保人因其他原因死亡，则公司赔付 5 万元，若投保人在投保期末生存，则公司无需付给任何费用。若投保人在一年内因意外死亡的概率为 0.0002，因其他愿意死亡的概率为 0.0010，求公司赔付金额的分布律。解：设 x 为公司的赔付金额，x=0,5,20 p（x=0）=1-0.0002-0.0010=0.9988 p（x=5）=0.0010 p（x=20）=0.0002x0520p0.99880.00100.00022.(1) 一袋中装有 5 只球，编号为 1,2,3,4,5.在袋中同时取 3 只球，以 x

2、 表示取出的三只中的最大号码，写出随机变量的分布律.5解：方法一: 考虑到 5 个球取 3 个一共有c3=10 种取法，数量不多可以枚举来解此题。设 样 本 空 间 为 s s=123,124,125,134,135,145,234,235,245,345 136易得，px=3=10；px=4=10；px=5=10；x345pk1/103/106/10方法二：x 的取值为 3,4,5当 x=3 时，1 与 2 必然存在 ，px=3=2c12c53 =10;cc2533当 x=4 时，1,2,3 中必然存在 2 个， px=4=3 =10；当 x=5 时，1,2,3,4 中必然存在 2 个， p

3、x=5=2c64c53 =10；x345pk1/103/106/10(2)将一颗骰子抛掷两次，以 x 表示两次中得到的小的点数，试求 x 的分布律.解：px=1= p (第一次为 1 点)+p（第二次为 1 点）- p（两次都为一点）11111= 6 + 6 - 36= 36；px=2= p (第一次为 2 点，第二次大于 1 点)+p（第二次为 2 点，第一次大于 1 点）- p（两次都为 2 点）151519= 6 6 + 6 6 - 36= 36；px=3= p (第一次为 3 点，第二次大于 2 点)+p（第二次为 3 点，第一次大于 2 点）- p（两次都为 3 点）141417=

4、6 6 + 6 6 - 36= 36；px=4=p (第一次为 4 点第，二次大于 3 点)+p（第二次为 4 点第，一次大于 3 点- ）p（两次都为 4 点）131315= 6 6 + 6 6 - 36= 36；px=5= p (第一次为 5 点，第二次大于 4 点)+p（第二次为 5 点，第一次大于 4 点）- p（两次都为 5 点）121213= 6 6 + 6 6 - 36= 36；px=6= p (第一次为 6 点，第二次大于 5 点)+p（第二次为 6 点，第一次大于 5 点）- p（两次都为 6 点）111111= 6 6 + 6 6 - 36= 36；x123456pk11/

5、369/367/365/363/361/363.设在 15 只同类型的零件中有 2 只是次品，在其中取 3 次，每次任取 1 只，作不放回抽样.以 x 表示取出的次品的只数. (1)求 x 的分布律.c2231513解：px=0=c 3 =35;c 2 c112px=1=13 2c315=35;px=2=1 2c c13 2c3151=35;x012pk22/3512/351/35分布律图形0.700.6022/350.500.400.3012/350.200.100.00011/352xpx=k(2)画出分布律的图形.4、进行独立重复试验，设每次试验的成功率为 p，失败概率为 q=1-p（0

6、p3,即p（x 3） = 1 p（x 3） = 1 p（x = 0） p（x = 1） p（x = 2） p（x = 3）71= 1 3 4 = 0.5665= 1 4 4 442 42!43 43!13. 某公安局在长度为 t 的时间间隔内收到的紧急呼叫的次数 x 服从参数为（1/2）t 的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计）。（1） 求某一天中午 12 点至下午 3 点未收到紧急呼叫的概率；（2） 求某一天中午 12 点至下午 5 点至少收到 1 次紧急呼叫的概率。解：(1) 设某一天中午 12 点至下午 3 点未收到紧急呼叫的概率为 p，时间间隔长度 t=3，依题意有 p（x

7、 = 0） =t 2(2) !33 0 2(2) =0!3= 2 = 0.2231(2) 依 题 意 ， 即x 1， 时 间 间 隔 长 度t=5， 则p（x 1） = 1 p（x = 0）t 2= 1 5(2) != 1 55 0 2(2) 0!= 1 2 = 0.917914. 某人家中在时间间隔 t（小时）内接到电话的次数 x 服从参数为 2t 的泊松分布。（1） 若他在外出计划用时 10 分钟，问其间有电话铃响一次的概率是多少？（2） 若他希望外出时没有电话的概率至少为 0.5，问他外出应控制最长时间是多少？ 解：(1) 设 其 间 有 电 话 铃 响 一 次 的 概 率 为 p， t

8、=1/6， 依 题 意 有1(2)p（x = 1） = 2=1 1 1(3) 31 3 = 0.2388!1!= 3(2) 外出时没有电话的概率至少为 0.5,即为p（x = 0） 0.5(2) 2(2)0 2p（x = 0） =即!=0! 0.5 2 0.5求解得1t 2ln 2 = 0.3466（小时）即外出时间不得超出 20.79 分钟.15. 保险公司在一天内承保了 5000 张相同年龄，为期一年的寿险保单，每人一份，在合同有效期内若投保人死亡，则公司需赔付 3 万元。设在一年内，该年龄段的死亡率为 0.0015，且各投保人是否死亡相互独立。求该公司对于这批投保人的赔付总额不超过 30

9、 万元的概率（利用泊松定理计算）。解：设投保人在一年内死亡人数为 x,则 xb（5000,0.0015），若公司赔付不超过 30 万元，30则死亡人数不该超过 3 =10 个人，px10=10( )(0.0015)(0.9985)5000 = 05000根据泊松定理，=np=50000.0015=7.5107.5 7.5= 0.8622px10 = 0!.16. 有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设一辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为 0.0001。在某天的该时间段内有 1000 辆汽车通过。问出事故的车辆数不小于 2 的概率是多少？（利用泊松定理计算）解：设某天该时段汽车站汽车出事故

10、的辆数为 x，则 xb（1000,0.0001），所求为 px2=1-px=0-px=1.其中，根据泊松定理，=np=1000 0.0001 = 0.1.(1 ) px=k= !.所以，px2=1-px=0-px=11- 0.1 0.1 0.1 = 0.0047.17.（1）设 x 服从（0-1）分布，其分布律为 px=k=pk(1-p)1-k,k=0，1，求 x 的分布函数，并作出其图形。（2）求第 2 题（1）中的随机变量的分布函数。解：（1） x 服从（0-1）分布，即，当 x=0， = 1 ；当 x=1， = .当 x0,f(x)= 0;当 0x1,f(x)=1-p;当 x1,f(x)

11、=(1-p)+p=1.x 的分布函数为f(x) =1 ,0 11, x 1，0, x 0（2）第 2 题(1)中，x 的分布律为所以，当 x 3，f(x) = 0;3 x 4，f(x) = 0.1;4 x 0，求下列概率：（1） p至多 3 分钟.（2） p至少 4 分钟.（3） p3 分钟至 4 分钟之间.（4） p至多 3 分钟或至少 4 分钟.（5）p恰好 2.5 分钟.解：（1）p至多 3 分钟=px3=（3）=1- 0.4 3=1- 1.2（2）p至少 4 分钟=px4=1-px4=1-（4）= 0.4 4= 1.6（ 3） p3 分钟至 4 分钟之间=p3 x 4=（ 4） -（

12、3） =（ 1- 0.4 4） -（ 1- 0.4 3）= 1.2- 1.6（4）p至多 3 分钟或至少 4 分钟=px3ux4=px3+px4=（1- 1.2）+ 1.6=1+ 1.6- 1.2（5）p恰好 2.5 分钟=px=2.5=00，120.设随机变量 x 的分布函数为（x）= ，1 ，1， .（1）求 px2，p0x3，p2x2.5.（2）求概率密度（x）.解：（1）根据连续型随机变量的分布函数的定义和性质可得px2=（2）=ln2 p0x3=（3）-（0）=1-0=1p2x2.5=（2.5）-（2）=ln2.5-ln2=ln1.25（2）根据概率密度的定义可得（x）=（x）1=

13、0，其他，121.设随机变量 x 的概率密度为1（1）f（x）= 2（1 2），1 20，其他.，0 1，（2）f（x）= 2 ，1 2，0，其他求 x 的分布函数 f（x），并画出（2）中 f（x）及 f（x）的图形.解：（1）f（x）=p（xx）=（t）dt 当 x1 时，f（x）=0dt=0 当 1x2 时，f（x）=10dt+2（1 1 ）dt 1 12=2（x+-2）当 2x 时，f（x）=10dt+221 1dt+0dt =1 1 （10，1故分布函数为 f（x）= 2（x +- 2），1 x 21，22） 2（2）f（x）=p（xx）=（t）dt 当 x0 时，f（x）=0dt=

14、0 002当 0x1 时，f（x）= dt+0 dt = 20012 2当 1x2 时，f（x）= dt+0 dt+ 1（）dt=2x-2 -1当 2x 时，f（x）=00dt+1dt+2（2 ）dt+0dt =1 0 2120，x0故分布函数为 f（x）=2x -2 ，0 x122- 1，1 x21，2 xf（x）和 f（x）的图形如下0,.其他222.（1）分子运动速度的绝对值 x 服从麦克斯韦（maxwell）分布，其概率密度为： f（x）=2 /， 0,其中 b=m/(2kt)，k 为玻尔兹曼常数，t 为绝对温度，m 是分子的质量，试确定常数 a。 /241（2）研究了英格兰在 187

15、5 年1951 年期间，在矿山发生导致不少于 10 人死亡的事故的频繁程度。得知相继两次事故之间的时间 t（日）服从指数分布，其概率密度为 1 其他.（t）= 0,241， 0,求分布函数 f(t)，并且求概率 p（50t100）.（1） 解：由题意可知 () = 1, 可得 () = 00 + 2 2/ 0=-a 2 | + 2 不妨令2= 02 0 4ab 2 =则原式可写为 204由此可得 a= （2） 解：当 t0 时， （t） = （t）dt = 0 + 1 /241 241 = 1 故所求的分布函数为 0241 （t）=1 241， 0,而 p50t 1000, 0,其他.1000

16、现有一大批此种器件（设各种器件损坏与否相互独立），任取 5 只，问其中至少有 2 只寿命大于 1500 小时的概率是多少？解：任取一只该种器件，其寿命大于 1500h 的概率为10001000 2p= 1500 2 = |1500 = 3任取 5 只这种器件，其中寿命大于 1500 小时的只数记为 x，则 xb(5，2 3).故所求概率为 px2=1-px=0-px=1=1 1 22 12(1 2)4 = 232（ 3） 53324324. 设顾客在某银行的窗口等待服务时间 x(min)服从指数分布，其概率密度为(x)=50,其他. 1 /5, 0,某顾客在窗口等待服务，若超过 10min，他

17、就离开，他一个月要到银行 5 次，以 y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出 y 的分布律，并求 p(y1).解：顾客在窗口等待服务超过 10min 的概率为p= (x) = 1 5 = 210 105故顾客去银行一次因未等到服务而离开的概率为 2，从而 yb(5, 2)5那么，y 的分布律为 py=k=( 2)(1 2)5 ， k=0,1,2,3,4,5.=0.5167py1=1-py=0=1-(1 2)525、设 k 在（0,5）服从均匀分布，求 x 的方程 42+4kx+k+2=0 有实根的概率。解：42+4kx+k+2=0 有实根即（4k）2 4 4 （k + 2） 0解得

18、k 1 或 k 2由题知 k 在（0,5）服从均匀分布即0 k 5设 方程 42+4kx+k+2=0 有实根为事件 ap(a)=p(2 k 5) = 513 =25d526、设 xn(3，22)(1)求p2 5，p 4 2，p 3(2)确定 c 使得p = p (3)设 d 满足p 0.9，问d至多为多少? 解 ：z = n(0,1)(1) p2 5 = p2 3 3 5 3222= p 1 3 1222= (1) ( 1)2= (1) 1 + (1) = 0.5328p 4 10 = p 7 2 = p 2= p 3 12222= ( 5) + (1)p 3 = 1 - p( 322= 0.

19、69772 = p 即p 3 3 = p 3 32222 3 3 3 31 - p 32 2= p2 2= 0.5即 2 = 0可得c = 3(3) p 0.9即p 3 3 0.922( 3)即 2 0.9 3即 2 1.29即 0.42则 d 至多为 0.4227、某地区 18 岁的女青年的血压（收缩压，以 mmhg 计）服从 n(110，122) 分布，在该地区任选一 18 岁的女青年，测量她的血压 x，求(1)p 105，p100 0.05. 解 ：z = n(0,1)(1) p 105 = p 110 105 1101212= ( 0.417) = 0.3383p100 120 = p

20、 0.833 12 0.05即p 110 110 0.051212即p 110 0.05.28. 由某机器生产的螺栓的长度（cm）服从参数=10.05,=0.06 的正态分布。规定长度在范围 10.05 0.12内为合格品，求一螺栓为不合格品的概率。解：设螺栓的长度为 x。产品合格的概率p(合格) 0.12 = 2，根据3法则，=p(10.05 0.12 x 10.05 + 0.12) = 95.44% 不合格概率：p(不合格)= 1 p(合格) = 4.56%29. 一工厂生产的某种元件的寿命（h）x 服从参数为 = 160，（ 0）的正态分布，若要求 p120 x 200 0.80，允许最

21、大为多少？40解：由正态分布图形得，越小时，x落在附近的概率越大。当p120 x 200 = p160 40 x 160 + 40 = 0.8时（ ） = 0.9根据标准正态分布表查得，40 = 1.28 31.20即最大为31.20.30. 设在一电路中，电阻两段的电压（v）服从n(120，22)，今独立测量了 5 次，试确定 2次测定值落在区间118,122之外的概率。解：设第 i 次测定值为 xi， i=1,2,3,4,5，则 xi-n（120,22）p118xi122=（ 122 -120 ）-（ 118 -120 ）22=（1）-（-1）=2（1）-1=0.6826pxi【118,1

22、22】=1-p118x122=0.3174（i=1,2,3,4,5）xi 之间相互独立若以 y 表示 5 次测量其测定值 xi 落在【118,122】之外的个数yb（5,0.3174）所求概率py=2=c2 5（0.3174）2(0.6826)3=0.320431. 某人上班，自家里去办公室要经过一个交通指示灯，这指示灯有 80%时间亮红灯，此时他在指示灯旁等待直至绿灯亮。等待时间在区间0，30（以秒计）服从均匀分布。以 x 表示他的等待时间，求 x 的分布函数 f（x）。画出 f（x）的图形，并问 x 是否为连续性随机变量，是否为离散型的？（要说明理由）解 当他到达交通指示灯处时，若是亮绿灯

23、则等待时间为 0，若是亮红灯则等待时间 x服从均匀分布。记“指示灯亮绿灯”为事件 a。则对于固定的 x0，全概率公式有px x = px xap(a) + px xp()30当 0x30 时，px x = 1 0.2 + x当 x30 时，px x = 1 0.2 + 1 0.8 = 12 0.8 = 0.2 + 75(x) = p x) =20.2 + 750 30于是得到 x 的分布函数为 0 01 0f（x）的图像如图所示因 f(x)在 x=0 处有不连续点，故随机变量 x 不是连续型，又因不存在一个可列的点集，使得在这个点集上 x 取值的概率为 1，所以随机变量也不是离散型的，x 是混

24、合型随机变量。32 设 f（x），g(x)都是概率密度函数，求证 h（x）=f（x）（1）g（x），01 也是一个概率函数。解 因为 f（x），g(x)都是概率密度函数，故有f（x）0，g(x)0 且 + （ ）1， + 1.- fx因 01，故 10，所以有dx =- g（x）dx =f（x）0，（1）g（x）0，于是 h（x）0.又 + h（x）dx = + f（x）dx + （1 ） + g（x）dx = + （1 ） = 1- - - 所以 h（x）是一个概率分布函数。33. 设随机变量 x 的分布律为x-2-1013p1111115651530求 y=x的分布律。解y=x的所有取值为

25、 0，1,4, 9.1py = 0 = px = 0 = 5py = 1 = p(x = 1) + p = 1 =1py = 4 = px = 2 = 5115 +176 = 3011py = 9 = px = 3 = 30所以 y 的分配率为y0149p1711153053034. 设随机变量 x 在区间（0,1）服从均匀分布。x（1） 求y = e 的概率密度。（2） 求y = -2 ln x 的概率密度。解：（1）由 x 服从均匀分布可知(x) = 1fx00 x 0故g(x)在（0,1）严格单调递增由 y = ex 可得 1x = h( y) = ln y1 y 0yy故 f （y）=

26、 y 0其他10 x 1（2） 由 x 服从均匀分布可知f （x）= x0其他y = g(x) = -2 ln x， 在（0,1）上恒有g(x) = - 2 0,x故g(x)在（0，1）严格单调递减- y1- y由 y = -2 ln x 可得 x = h( y) = e 2h( y) = - 2 e 2 0 2y0y = 035.设 xn(0，1)。（1） 求y = ex 的概率密度。（2） 求y = 2x 2的概率密度.（3） 求y = x的概率密度.-1x2解：由 xn(0，1)可知（y）=fx2pe2 - x 0故g(x)在（- ,+）严格单调递增由 y = ex 可得x = h( y

27、) = ln yh( y) = 1 0y1-(ln y )2f ( y) = e 2y 0y y 2p0y 0（2） fy( y) = p (y y) = p (2 x 2 +1 y) = p ( x 2 y -1)2当 y 1时， fy ( y) =0，当 y 1时，（y）=0fyp( x y -1) = p (-y -1 x y -1) =（ y -1 - f (-y -1)22211- yfx2 ） x 2f y ( y) = fy ( y) = 2综上p( y -1) e 411- yyf （y）= 2p( y -1) e 4y 1（3）0y 1yf（y）= p (y y) = p ( x y)y 0时，fy ( y) = 0, fy ( y) = 0y 0时，p ( x y) = p (- y x y) = fx ( y) - fx (- y) y2e2-fy (