概率论与数理统计教案(最新整理)

1、上课时间第一周上课节次3 节课型理论课题概率论基本概念教学目的使学生掌握随机试验、样本空间、随即事件、频率、概率及古典概型等概念教学方法讲授重点、难点基本概念的掌握与理解时间分配教学内容板书或课件版面设计在大量重复试验或观察中所呈现出的固有规律性就是我们所说的统计规律性。在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象，我们称之为随机现象。1.1 随机试验具有如下特点的试验称为随机试验：可以在相同的条件下重复地进行。每次试验的结果可能不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果。进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。1.2 样本空间、随机事件（1）样本空间我们将

2、随机试验 e 的所有可能结果组成的集合称为 e 的样本空间，记为 s。样本空间的元素即 e 的每个结果，称为样本点。（2） 随机事件我们称试验 e 的样本空间 s 的子集为 e 的随机事件，简称事件。在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。由一个样本点组成的单点集称为基本事件。样本空间 s 包含所有的样本点，它是 s 自身的子集，在每次试验中它总是发生的，s 称为必然事件。空集 不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，它在每次试验中都不发生， 称为不可能事件。（3） 事件间的关系与事件的运算设试验 e 的样本空间为 s，而 a，b，ak（k=1，2，）是 s 的子

3、集：若 a b ，则称事件 b 包含事件 a，这指的是事件 a 发生必导致事件 b 发生。若 a b 且 b a ，即 a=b，则称事件 a 与事件 b 相等。事件 a b = x | x a x b 称为事件 a 与事件 b 的和事件。当且仅当 a，b 中至少有一个发生时，事件a b 发生。事件 a b = x | x a x b 称为事件 a 与事件 b 的积事件。当且仅当a，b 同时发生时，事件 a i b 发生。 a b 也记作 ab。事件 a - b = x | x a且x b称为事件 a 与事件 b 的差事件。当且仅当 a 发生，b 不发生时事件 a-b 发生。若 a b = ，则

4、称事件 a 与 b 是互不相容的，或互斥的。基本事件是两两互不相容的。若 a b = s a b = ，则称事件 a 与事件b 互为逆事件。又称事件 a 与事件 b 互为对立事件。a 的对立事件记为 a 。 a = s - a 。设 a，b，c 为事件，则有：交换律： a b = b a a b= b a结合律： a (b c) = ( a b) ca (b c) = ( a b) c分配率： a (b c) = ( a b) ( a c)a (b c) = ( a b) ( a c)摩根率： a b = a b a b = a b1.3 频率与概率（1） 频率定义：在相同的条件下，进行了 n

5、 次试验， 在这 n 次试验中，事件 a 发生的次数 na 称为事件a 发生的频数。比值na/n 称为事件a 发生的频率，并记为 fn(a)。频率具有如下基本性质：0fn(a)1fn(s)=1若 a1，a2，ak 是两两互不相容的事件则 fn(a1 a2 ak)=fn(a1)+fn(a2)+fn(ak)。（2） 概率定义：设 e 是随机试验，s 是它的样本空间。对于 e 的每一事件 a 赋予一个实数，记为p(a)，称为事件 a 的概率，如果集合函数p()满足下列条件：非负性：对于每一个事件 a，有 p(a)0。规范性：对于必然事件 s，有 p(s)=1。可列可加性：设 a1，a2，是两两互不相

6、容的事件，即对于 aiaj= ，ij，i，j=1， 2，有p(a1a2)=p(a1)+p(a2)+概率的性质： 性质 1： p() = 0性质 2（有限可加性）：若 a1，a2，an是两两互不相容的事件， 则有 p(a1a2an)=p(a1)+p(a2)+p(an)。性质 3：设 a，b 是两个事件，若 a b ， 则有 p(b-a)=p(b)-p(a)；p(b)p(a)。性质 4：对于任一事件 a，p(a)1。性质5（逆事件的概率）：对于任一事件a，有p( a) = 1 - p( a) 。性质6（加法公式）：对于任意两个事件ab，有p( a b) = p( a) + p(b) - p( ab

7、) 。1.4 等可能概型（古典概型）具有以下两个特点得试验是大量存在的，这种试验称为等可能概型，也成为古典概型：试验的样本空间只包含有限个元素。试验中每个基本事件发生的可能性相同。若事件 a 包含 k 个基本事件，即 a=ei1ei2eik，其中 i1，i2，ik 是 1， 2，n 中某 k 个不同的数，则等可能概型中事件 a 的概率计算公式为：kp( a) = p(e ) = k = a包含的基本事件数ijns中基本事件的总数j =1超 几 何 分 布 的 概 率 公 式 为 ： d n - d n k n - k n 实际推断原理：概率很小的事件在一次实验中实际上几乎是不发生的。教学后记本

8、次课的主要内容与目的在于让学生了解和掌握概率论的基本概念，学生对概念的掌握尚可，但对其在实例中的应用尚需多加练习。上课时间第二周上课节次3 节课型理论课题条件概率与独立性教学目的使学生了解条件概率与独立性的基本概念及其应用教学方法讲授重点、难点全概率公式与贝叶斯公式时间分配教学内容板书或课件版面设计1.5 条件概率（1） 条件概率定义：设 a，b 是两个事件，且 p(a)0， 称p(b | a) = p( ab) 为在事件a 发生的条件下p( a)事件 b 发生的条件概率。条件概率 p(|a)满足：非负性：对于每一事件 b，有 p(b|a)0。规范性：对于必然事件 s，有 p(s|a)=1。可

9、列可加性：设 b1，b2，是两两互不相容的事件，则有p( bi | a) = p(bi | a)i=1i=1概率的性质都适用于条件概率。（2） 乘法定理乘法定理：设 p(a)0，则有p(ab)=p(b|a)p(a)（乘法公式）一般地，设 a1，a2，an 为 n 个事件，n2，且 p(a1a2an)0，则有p(a1a2an)=p(an|a1a2an-1)p(an-1|a1a2an-2)p(a2|a1)p(a1)（3）全概率公式和贝叶斯公式定义： 设 s 为试验 e 的样本空间， b1， b2，bn 为 e 的一组事件，若bibj= ，ij，i，j=1,2，n b1 b2 bn = s则称 b1

10、，b2，bn 是样本空间 s 的一个划分。若b1，b2，bn是样本空间s 的一个划分，那么对每次试验，事件 b1，b2，bn 中必有一个且仅有一个发生。定理：设试验 e 的样本空间为 s，a 为 e 的事件，b1，b2，bn 为 s 的一个划分， 且 p(bi)0（i=1，2，n)，则p(a)=p(a|b1)p(b1)+p(a|b2)p(b2)+ +p(a|bn)p(bn)（全概率公式）定理：设试验 e 的样本空间为 s，a 为 e 的事件，b1，b2，bn 为 s 的一个划分，且 p(a)0，p(bi)0（i=1，2，n)，则p(b | a) = p(bi a) =p( a | bi )p(

11、bi )ip( a)np( a | bn )p)(bj )j =1（贝叶斯(bayes)公式）1.6 独立性定义：设 a，b 是两事件，若满足等式p(ab)=p(a)p(b)，则称事件 a，b 相互独立，简称 a，b 独立。定理：设 a，b 是两事件，且 p(a)0。若 a，b相互独立，则 p(b|a)=p(b)，反之亦然。定理：若事件 a 与 b 相互独立，则下列各式也相互独立：a 与b ， a 与 b， a 与b 。定义：设 a，b，c 是三个事件，若满足等式 p(ab)=p(a)p(b)， p(bc)=p(b)p(c)，p(ac)=p(a)p(c)，p(abc)=p(a)p(b)p(c)

12、，则称事件 a，b，c 相互独立。一般地，设 a1，a2，an 是 n（n2） 个事件， 若对于其中任意 2 个， 任意 3 个，任意 n 个事件的积事件的概率，都等于各事件概率之积， 则称事件 a1， a2，an 相互独立。推论：若事件 a1，a2，an（n2）相互独立，则其中任意 k（2kn）个事件也是相互独立的。若 n 个事件 a1，a2，an（n2）相互独立，则将 a1，a2，an 中任意多个事件换成它们各自的对立事件，所得的 n 个事件仍相互独立。教学后记本次课的主要内容与目的在于让学生了解和掌握条件概率与独立性的相关内容，学生对概念的掌握尚可，但对其在实例中的应用尚需多加练习。上课

13、时间第三周上课节次3 节课型理论课题概率论基本概念习题解析教学目的使学生巩固概率论基本概念所学内容教学方法讲授重点、难点古典概型、全概率公式与贝叶斯公式的应用时间分配教学内容板书或课件版面设计1.一俱乐部有 5 名一年级学生，2 名二年级学生，3 名三年级学生，2 名四年级学生。（1） 在其中任选 4 名学生，求一、二、三、四年级的学生各一名的概率。（2） 在其中任选 5 名学生，求一、二、三、四年级的学生均包含在内的概率。解：（1）共有 5+2+3+2=12 名学生，在其中任选 4 名共有12 =495 种选法，其中每 4 年级各选 1 名的选法有5 23 2 =60 种 1 1 1 1 选

14、法，因此，所求概率为 p=60/495=4/33。（2）在 12 名学生中任选 5 名的选法共有12 =792 种，在每个年级中有一个年级取25 名，而其它 3 个年级各取 1 名的取法共有5 23 25 23 25 23 2 + + + 21 1 1 1 21 1 1 1 21 5 23 2 =240 种，因此所求概率为1 1 1 2p=240/792=12/33。2. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号。求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率。若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？解：以 ai 表示事件“第 i 次拨号拨通电话”，i=1,2,3，以 a 表示事件“拨号

15、不超过 3 次拨通电话”，则有 a = a1 u a1 a2 u a1 a2 a3 。因 为p( a1 ) =a1，a1 a2，a1 a2 a3 两 两 互 不 相 容 ， 且110p( a a ) = p( a | a )p( a ) = 1 9 = 1 1 221191010p( a aa ) = p( a| a a )p( a| a )p( a ) = 11 2 331 221110所以p( a) = p( a ) + p( a a ) + p( a aa ) = 3 。11 21 2 310当已知最后一位数是奇数时，所求概率为p=1/5+1/5+1/5=3/5。3. 有两种花籽，发芽率

16、分别为 0.8,0.9，从中各取一颗，设各花籽是否发芽相互独立。求：（1） 这两颗花籽都能发芽的概率。（2） 至少有一颗能发芽的概率。（3）恰有一颗能发芽的概率。解：以 a，b 分别表示事件第一颗、第二颗花籽能发芽，既有 p(a)=0.8，p(b)=0.9。（1） 由 a，b 相互独立，得两颗花籽都能发芽的概率为p(ab)=p(a)p(b)=0.8*0.9=0.72。（2） 至少有一颗花籽能发芽的概率为事件ab 的概率p(ab)=p(a)+p(b)-p(ab)=0.8+0.9-0.72=0.98（ 3） 恰有一颗花籽发芽的概率为事件ab ba 的概率p( ab ba )=p(a)+p(b)-2

17、p(ab)=0.26。教学后记本次课的主要内容与目的在于让学生巩固所学概率论基本概念的相关内容，通过本次课的学习，学生对概率论基本概念的相关应用技巧有所提升。上课时间第四周上课节次3 节课型理论课题离散型变量及其分布律、随机变量及其分布函数教学目的使学生初步了解离散型随机变量的分布律及随机变量的分布函数教学方法讲授重点、难点随机变量及其分布函数时间分配教学内容板书或课件版面设计2.1 随机变量定义：设随机试验的样本空间为 s=e。x=x(e)是定义在样本空间 s 上的实值单值函数。称 x=x(e)为随机变量。2.2 离散型随机变量及其分布律有些随机变量，它全部有可能渠道的值是有限个或可列无限多

18、个，这种随机变量成为离散型随机变量。设离散型随机变量 x 所有可能去的值为 xk（k=1,2，），x 取各个可能值的概率，即事 件 x=xk 的 概 率 为 px=xk=pk， k=1,2，。（离散型随机变量 x 的分布律） 由概率的定义，pk 满足如下两个条件：pk0，k=1,2， pk = 1k =1（1）（0-1）分布设随机变量 x 只可能取 0 与 1 两个值，它的分布律是px=k=pk(1-p)1-k，k=0,1 （0p1），则称 x 服从以 p 为参数的（0-1）分布或两点分布。（2）伯努利试验、二项分布设试验e 只有两个可能结果：a 及 a ，则称e为伯努利（bernoulli）

19、试验。将 e 独立重复地进行 n 次，则称这一串重复的独立试验为 n 重伯努利试验。在 n 次 试 验 中 a 发 生 k 次 的 概 率 为 n kn-k p (1 - p)，记q=1-p，即有 k px = k = n pk qn-k ，k=0,1,2，n。 k 注意到 n pk qn-k 刚好是二项式(p+q)n 的展开 k 式中出现 pk 的那一项，我们称随机变量 x 服从参数为 n，p 的二项分布，并记为 x b(n,p)。特 别 ， 当 n=1 时 二 项 分 布 化 为px = k = pk qn-k ，k=0，1（0-1）分布）。（3）泊松分布设 随 机 变 量 x 所 有 可

20、 能 取 的 值 为0,1,2， ， 而 取 各 个 值 的 概 率 为lk e-lpx = k =，k=0,1,2，其中0k!是常数。则称 x 服从参数为的泊松分布， 记为 x()。泊松定理：设0 是一个常数，n 是任意正整数，设 npn=，则对于任一固定的非负整数 k，有： n k-n-k = lk e-l 。lim pn (1pn )x k k!上述定理表明，当 n 很大，p 很小（）时有以下近似式 n k-n-k lk e-l （其中 p (1p) k k!=np）。2.3 随机变量的分布函数定义：设 x 是一个随机变量，x 是任意实数，函数 f(x)=pxx，-x称为 x 的分布函数

21、。对于任意实数 x1，x2（x1x2），有 px1xx2=pxx2-pxx1=f(x2)-f(x1)。分布函数 f(x)具有以下基本性质：f(x)是一个不减函数 0 f(x) 1， 且 f (-) = lim f (x) = 0 ，x-f () = lim f (x) = 1xf(x+0)=f(x)，即 f(x)是右连续的。一般，设离散型随机变量 x 的分布律为px=xk=pk，k=1,2，。由概率的可列可加性得 x 的分布函数为f (x) = px x = px = xk xk x即f (x) = pk 。xk x教学后记本次课的主要内容与目的在于让学生了解和掌握离散型随机变量的分布律及随机

22、变量的分布函数的相关内容，学生对重要分布律及分布函数相关内容掌握尚可，但对其应用尚需多加练习。上课时间第五周上课节次3 节课型理论课题连续型随机变量及其概率密度、随机变量的函数分布教学目的使学生掌握概率密度与分布函数的相关内容教学方法讲授重点、难点正态分布时间分配教学内容板书或课件版面设计如果对于随机变量 x 的分布函数 f(x)，存在非负可积函数 f(x)，使对于任意实数 x 有xf ( x ) = - f (t)dt ，则称 x 为连续型随机变量，f(x)称为x 的概率密度函数，简称概率密度。概率密度具有以下性质：f(x)0 - f (x)dx = 1对于任意实数 x1，x2（x1x2）x

23、1221xpx x x = f (x ) - f (x ) =2 f (x)dx1若 f(x)在点 x 处连续，则有 f(x)=f(x)（1）均匀分布若连续型随机变量 x 具有概率密度 1a x b f (x) = b - a0其它则称 x 在区间(a,b)上服从均匀分布。记为xu(a,b)。0x a x - ax 的分布函数为: f (x) = x - ba x 0f (x) = q0其它其中0 为常数，则称 x 服从参数为的指数分布。x1 - e-x /qx 0的分布函数为： f (x) = 0其它服从指数分布的随机变量 x 具有以下性质： 对于任意 s，t0，有 pxs+t|xs=pxt

24、。上式称为无记忆性。（3） 正态分布若连续型随机变量 x 的概率密度为21-( x-m)f (x) =e2s2 ，-x0）为常数，则称 x 服从参数为，的正态分布或高斯（gauss）分布，记为 xn(,2)。正态分布具有如下性质：曲线关于 x=对称。当 x=时取到最大值 f (m) =1。2ps正态分布曲线在 x=处有拐点，曲线以 ox 轴为渐近线。如果固定，改变的值，则图形沿着 ox轴平移，而不改变其形状；若固定，改变，由于最大值 f (m) =1，可知当越2ps小时图形变得越尖。21x -(t -m)x 的分布函数为： f (x) = e 2s2 dt2ps -当=0，=1 时称随机变量

25、x 服从标准正态分布。引理：xn(,2)，则 z= x - mn(0,1)。s设xn(0,1若)，z满足条件 pxz=0，1，则称点 z为标准正态分布的上分位点。2.5 随机变量的函数的分布设xn(0,1)其，概率密度为j(x) =1e-x2 / 2 ，-2p x 0f ( y) = 2p，此时称 y 服y0y 0从自由度为 1 的2 分布。定理：设随机变量 x 具有概率密度 fx(x)，-x0（或恒有 g(x)0），则 y=g(x)是连续 型 随 机 变 量 ， 其 概 率 密 度 为f ( y) = f x h( y) | h( y) | a y 1000率密度： f (x) = x 2，

26、现有大批此0其它种器件（设各器件损坏与否相互独立），任取5只，问其中至少有 2 只寿命大于 1500 小时的概率是多少？解：任取一只该种器件，其寿命大于 1500h 100010002的概率为 p = 1500 x 2 dx = - x = 3 。1500任取 5 只这种器件，其寿命大于 1500h 的只数记为 x，则 xb(5,2/3)，故所求概率为：px 2 = 1 - px = 0- px = 1= 1 - (1- 2)5 - 5 2 (1 - 2)4 = 232 31 332433由某及其生产的螺栓的长度（cm）服从参数=10.05，=0.06 的正态分布。规定长度在范围 10.050

27、.12 内为合格品，求一螺栓为不合格产品的概率。解：记螺栓的长度为 x，xn(10.05,0.062)，螺栓不合格的概率为：1 - p10.05 - 0.12 x x1 时 f(x2,y)f(x1,y)； 对于任意固定的 x，当 y2y1 时，f(x,y2) f(x,y1)。0f(x,y)1，且：对于任意固定的 y，f(-,y)=0 对于任意固定的 x，f(x, -)=0 f(-, -)=0, f(, )=1f(x+0,y)=f(x,y)，f(x,y+0)=f(x,y)，即f(x,y)关于 x 右连续，关于 y 也右连续。对于任意(x1,y1)，(x2,y2)，x1x2，y10， 则 称px

28、= x | y = y = px = xi , y = y j = pij ，i=1，ijpy = y pj j2，为y=yj条件下随机变量x 的条件分布律。同样，对于固定的 i ，若 px=xj0，则称py = y | x = x = px = xi , y = y j = pij ，i=1，jipx = x pii2，为x=xi条件下随机变量y 的条件分布律。定义：设二维随机变量(x,y)的概率密度为f(x,y)，(x,y)关于y 的边缘概率密度为fy(y)。若对于固定的 y，fy(y)0，则称 f (x, y) 为在fy ( y)y=y 的条件下 x 的条件概率密度，记为f(x | y)

29、 = f (x, y) 。x |yf ( y)y称f(x | y)dx = f (x, y) 为在 y=y 的条件xx= x |y- f ( y)dxy下 x 的条件分布函数，记为 pxx|yy。教学后记本次课的主要内容与目的在于让学生了解和掌握二维随机变量、边缘分布与条件分布的相关内容。学生对边缘分布和条件分布的定义掌握较好，但对其性质尚需多加联系后方能熟悉。上课时间第八周上课节次3 节课型理论课题相互独立的随机变量与随机变量的函数分布教学目的使学生掌握相互独立的随机变量并了解几种常见的随机变量的函数分布教学方法讲授重点、难点相互独立的随机变量时间分配教学内容板书或课件版面设计3.4 相互独

30、立的随机变量定义：设 f(x,y)及 fx(x)，fy(y)分别是二维随机变量(x,y)的分布函数及边缘分布函数，若对于所有x， y 有 px x,y y=px xpy y， 即f(x,y)=fx(x)fy(y)，则称随机变量 x 和 y 是相互独立的。若对于所有的 x1,x2,xn 有f(x1,x2, ,xn)=fx1(x1)fx2(x2) fxn(xn)， 则 称x1,x2,xn 是相互独立的。若对于所有的 x1,x2,xm；y1,y2,yn 有f(x1,x2,xm,y1,y2,yn)=f1(x1,x2,xm)f2(y1,y2, yn)，其中 f1，f2，f 依次为随机变量(x1,x2,x

31、m)， (y1,y2,yn)和（x1,x2,xm,y1,y2,yn）的分布 函 数 ， 则 称 随 机 变 量 (x1,x2, ,xm)和(y1,y2,yn)是相互独立的。定理：设(x1,x2,xm)和(y1,y2,yn)是相互独立的，则 xi(i=1,2,m)和 yj(j=1,2,n)相互独立。又若 h， g 是连续函数， 则 h(x1,x2, ,xm)和g(y1,y2,yn)相互独立。3.5 两个随机变量的函数的分布（1） z=x+y 的分布设(x,y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度f(x,y)。则 z=x+y 仍为连续型随机变量，其概率密度为： f x +y (z) = - f (

32、z - y, y)dy或 f x +y (z) = - f (x, z - x)dx 。若 x 和 y 相互独立，设(x,y)关于 x，y 的边缘密度分别为 fx(x)，fy(y)，则上面两式可化为f x +y (z) = - f x (z - y) fy ( y)dy和 f x +y (z) = - f x (x) fy (z - x)dx 。以上两式称为 fx 和 fy 的卷积公式，记为 fx*fy，即f x * f y =且f x * f y =f x +y (z) = - f x (z - y) fy ( y)dy f x +y (z) = - f x (x) fy (z - x)dx

33、（2） z=y/x 的分布和 x=xy 的分布设(x,y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度f(x,y)，则 z=y/x 与 z=xy 仍为连续型随机变量，其概率密度分别为： fy / x (z) = - | x | f (x, xz)dx ， 1zf xy (z) = - | x | f (x, x )dx 。若 x 和 y 相互独立，设(x,y)关于 x，y 的边缘密度分别为 fx(x)， fy(y)， 则上式可化为：fy / x (z) = - | x | f x (x) fy (xz)dx ， 1zf xy (z) = - | x | f x (x) fy ( x )dx 。（3）m

34、=maxx,y及 n=minx,y的分布设 x，y 是两个相互独立的随机变量，它们的分布 函 数 分 别 为 fx(x) 和 fy(y)， 则 ： fmax(z)=fx(z)fy(z)，fmin(z)=1-1-fx(z)1-fy(z)。特别的，当 x1,x2,xn 相互独立且具有相同分布函数 f(x)时， 有： fmax(z)=f(z)n， fmin(z)=1-1- f(z)n。教学后记本次课的主要内容与目的在于让学生了解和掌握相互独立的随机变量与两种常见的随机变量的函数分布。学生相互独立的随机变量的定义掌握较好，其余部分需要多加练习。上课时间第九周上课节次3 节课型理论课题多维随机变量及其分

35、布习题解析教学目的使学生巩固多维随机变量及其分布所学内容教学方法讲授重点、难点边缘分布、条件分布与相互独立的随机变量时间分配教学内容板书或课件版面设计1设随机变量(x,y)的概率密度为k (6 - x - y)0 x 2，2 y 4f (x, y) = 0其它（1）确定常数 k（2）求 px1,y3（3）求 px1.5（4）求 px+y4 解：（1）由- - f (x, y)dxdy = 1得：x=21 = dy k (6 - x - y)dx = k (6 - y)x - 1 x 2 dy4242022x=044= k (12 - 2 y - 2)dy = k (10 y - y 2 )=

36、8k22所以 k=1/8。（2）p(x 1, y 3 = dy 1 (6 - x - y)dx3120 8x=1= 1 3(6 - y)x - 1 x 2 dy8 22x=0= 1 3 (11 - y)dy = 38 228（3）px 1.5 = dy 1 (6 - x - y)dx41.520 8x=1.5= 1 4 (6 - y)x - 1 x 2 dy8 22x=0= 1 4 ( 63 - 3 y)dy = 278 28232（4）px + y 4 = dy1 (6 - x - y)dx44- y208x=4- y= 1 4 (6 - y)x - 1 x 2 dy8 22x=0= 1 4

37、 (6 - y)(4 - y) - 1 (4 - y)2 dy8 22= 1 4 2(4 - y) + 1 (4 - y)2 dy8 221142=-(4 - y)2 -(4 - y)3 =86232. 设二维随机变量(x,y)的概率密度为e- y0 x 0解： f x (x) = 0x0其它y e- y dx = ye- yy 0fy ( y) = 00其它3. 设某种型号的电子元件的寿命（以小时计）近似地服从于正态分布 n(160,202)，随机地选取 4 只，求其中没有一只寿命小于180 的概率。解：以 xi（i=1,2,3,4）记所选取的第 i 只元件的寿命，由题设一只元件寿命小于 1

38、80 小时的概率为px 180 = p x i - 160 180 - 160i2020= f(180 - 160) = f(1) = 0.8413 20可认为 x1，x2，x3，x4 相互独立，故选取的4 只元件没有一只寿命小于180 小时的概4率为1 - px 180 = (1 - 0.8413)4 = 0.00063ii=1教学后记本次课的主要内容与目的在于让学生巩固所学多维随机变量及其分布的相关内容，通过本次课的学习，学生对随机变量及其分布的相关应用技巧有所提升。上课时间第十周上课节次3 节课型理论课题数学期望与方差教学目的使学生了解和掌握数学期望与方差的概念及其在实践中的应用教学方法

39、讲授重点、难点数学期望与方差的定义及相关定理时间分配教学内容板书或课件版面设计4.1 数学期望定义：设离散型随机变量 x 的分布律为：px=xk=pk，k=1，2，。若级数 xk pk 绝k =1对收敛，则称级数 xk pk 的和为随机变量xk =1的数学期望，记为 e(x)，即 e(x)= xk pk 。k =1若连续型随机变量 x 的概率密度为 f(x)，若积分- xf (x)dx 绝对收敛，则称积分- xf (x)dx的值为随机变量 x 的数学期望，记为 e(x)。即 e(x)= - xf (x)dx 。数学期望简称期望，又称为均值。数学期望 e(x)完全由随机变量 x 的分布律所确定。

40、若 x 服从某一分布，也称 e(x)是这一分布的数学期望。定理：设 y 是随机变量 x 的函数：y=g(x)（g 是连续函数）。若 x 是离散型随机变量，它的分布律为px=xk=pk，k=1,2,，若 g(xk )pk 绝对收k =1敛，则有e(y ) = eg( x ) = g(xk ) pk 。k =1若 x 是连续型随机变量，它的概率密度为f(x)， 若 - g(x) f (x)dx 绝 对 收 敛 ， 则 有e(y ) = eg( x ) = - g(x) f (x)dx 。数学期望重要性质：设 c 是常数，则有 e(c)=c。设 x 是一个随机变量，c 是常数，则有e(cx)=ce(x)。 设 x， y 是 两 个 随 机 变 量 ， 则 有e(x+y)=e(x)+e(y)。此性质可推广到任意有限个随机变量之和的情况。设 x，y 是相互独立的随机变量，则有e(xy)=e(x)e(y)。此性质可推广到任意有限个相互独立的随机变量之和的情况。4.2 方差定义：设x 是一个随机变量，若ex-e(x)2 存在，则称 ex-e(x)2为 x 的方