法拉第电磁感应定律动力学、能量、电荷量的求法(最新整理)

1、第二讲 法拉第电磁感应定律的综合应用一、电磁感应中的动力学问题这类问题覆盖面广，题型也多种多样；但解决这类问题的关键在于通过运动状态的分析来寻找过程中的临界状态，如速度、加速度取最大值或最小值的条件等，基本思路是：i =e确定电源（e，r）r + r感应电流 f=bil运动导体所受的安培力界状态运动状态的分析 v 与 a 方向关系 a 变化情况 f=ma 合外力【例 1】如图所示，ab、cd 是两根足够长的固定平行金属导轨，两导轨间的距离为 l，导轨平面与水平面的夹角为，在整个导轨平面内都有垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场，磁感应强度为 b，在导轨的 ac端连接一个阻值为 r 的电阻，一根质量

2、为 m、垂直于导轨放置的金属棒 ab，从静止开始沿导轨下滑，求此过程中 ab 棒的最大速度。已知 ab 与导轨间的动摩擦因数为，导轨和金属棒的电阻都不计。【解析】ab 沿导轨下滑过程中受四个力作用，即重力 mg，支持力 fn 、摩擦力 ff 和安培力 f 安，如图所示，ab由静止开始下滑后，将是v e i f安 a （ 为增大符号），所以这是个变加速过程，当加速度减到 a=0 时，其速度即增到最大 v=vm，此时必将处于平衡状态，以后将以 vm 匀速下滑 ab 下滑时因切割磁感线，要产生感应电动势，根据电磁感应定律：e=blv闭合电路 ac ba 中将产生感应电流，根据闭合电路欧姆定律：i=e

3、/r据右手定则可判定感应电流方向为 aac ba，再据左手定则判断它受的安培力 f 安方向如图示，其大小为：f 安=bil取平行和垂直导轨的两个方向对 ab 所受的力进行正交分解，应有： fn = mgcosff= mgcos由可得 f安 =b 2 l2v r以 ab 为研究对象，根据牛顿第二定律应有：b 2 l2vmgsin mgcos-=marab 做加速度减小的变加速运动，当 a=0 时速度达最大因此，ab 达到 vm 时应有：b 2 l2vmgsin mgcos-=0rmg(sinq- mcosq)r由式可解得vm =b 2 l2【例 2】如图，两根足够长的金属导轨 ab、cd 竖直放

4、置，导轨间距离为 l，电阻不计。在导轨上端并接两个额定功率均为 p、电阻均为 r 的小灯泡。整个系统置于匀强磁场中，磁感应强度方向与导轨所在平面垂直。现将一质量为 m、电阻可以忽略的金属棒 mn 从图示位置由静止开始释放。金属棒下落过程中保持水平， 且与导轨接触良好。已知某时刻后两灯泡保持正常发光。重力加速度为 g。求：（1） 磁感应强度的大小；（2） 灯泡正常发光时导体棒的运动速率。【解析】（1）设小灯泡的额定电流为 i0，有0p = i 2r由题意，在金属棒沿导轨竖直下落的某时刻后，小灯泡保持正常发光，流经 mn 的电流为i = 2i0此时金属棒 mn 所受的重力和安培力相等，下落的速度达

5、到最大值，有mg = bli联立式得mgr2lpb =（2）设灯泡正常发光时，导体棒的速率为 v，由电磁感应定律与欧姆定律得e = blve = ri0联立式得v = 2pmg【答案】（1）2pmgr2lp（2）mg【例 3】如图所示，长平行导轨 pq、mn 光滑，相距l = 0.5 m，处在同一水平面中，磁感应强度 b=0.8t 的匀强磁场竖直向下穿过导轨面横跨在导轨上的直导线 ab 的质量 m =0.1kg、电阻 r =0.8，导轨电阻不计导轨间通过开关 s 将电动势 e =1.5v、内电阻 r =0.2 的电池接在 m、p 两端，试计算分析：（1） 在开关 s 刚闭合的初始时刻，导线 a

6、b 的加速度多大？随后 ab 的加速度、速度如何变化？（2） 在闭合开关 s 后，怎样才能使 ab 以恒定的速度 =7.5m/s 沿导轨向右运动？【解析】（1）在 s 刚闭合的瞬间，导线 ab 速度为零，没有电磁感应现象，e由a 到b 的电流 i 0= 1.5a ，ab 受安培力水平向右，此时瞬时 r + r加速度 a0= f0 m= bi 0 l = 6m / s 2mab 运动起来且将发生电磁感应现象ab 向右运动的速度为 时，感应电动势 e = blv ，根据右手定则，ab 上的感应电动势（a 端电势比 b 端高）在闭合电路中与电池电动势相反电路中的电流（顺时针方向，e - e i =

7、r + r）将减小（小于 i0=1.5a），ab 所受的向右的安培力随之减小，加速度也减小尽管加速度减小，速度还是在增大，感应电动势 e 随速度的增大而增大，电路中电流进一步减小，安培力、加速度也随之进一步减小，当感应电动势 e 与电池电动势 e 相等时，电路中电流为零，ab 所受安培力、加速度也为零，这时 ab 的速度达到最大值，随后则以最大速度继续向右做匀速运动设最终达到的最大速度为 m，根据上述分析可知： e - blum = 0e1.5所以um = bl = 0.8 0.5 m/s=3.75m/s（2） 如果 ab 以恒定速度u= 7.5 m/s 向右沿导轨运动，则 ab 中感应电动势

8、e = blv = 0.8 0.5 7.5 v=3v由于 e e ，这时闭合电路中电流方向为逆时针方向，大小为： i = e - er + r= 3 - 1.50.8 + 0.2a=1.5a直导线 ab 中的电流由 b 到 a， 根据左手定则， 磁场对 ab 有水平向左的安培力作用， 大小为f = bli = 0.8 0.5 1.5 n=0.6n所以要使 ab 以恒定速度v = 7.5 m/s 向右运动，必须有水平向右的恒力 f = 0.6 n 作用于 ab二、电磁感应中的能量问题无论是使闭合回路的磁通量发生变化，还是使闭合回路的部分导体切割磁感线，都要消耗其它形式的能量，转化为回路中的电能。

9、这个过程不仅体现了能量的转化，而且保持守恒，使我们进一步认识包含电和磁在内的能量的转化和守恒定律的普遍性。分析问题时，应当牢牢抓住能量守恒这一基本规律，分析清楚有哪些力做功，就可知道有哪些形式的能量参与了相互转化，如有摩擦力做功，必然有内能出现；重力做功，就可能有机械能参与转化；安培力做负功就将其它形式能转化为电能，做正功将电能转化为其它形式的能；然后利用能量守恒列出方程求解。【例 4】如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨 mn、pq 间距离为 l =0.5m，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成 30角。完全相同的两金属棒 ab、cd 分别垂直导轨放置，每棒两端都与导轨始终有良好接

10、触，已知两棒质量均为 m=0.02kg，电阻均为 r=0.1 w ，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度 b=0.2t，棒 ab 在平行于导轨向上的力 f 作用下，沿导轨向上匀速运动，而棒 cd 恰好能够保持静止。取 g=10m/s2，问：（1） 通过棒 cd 的电流 i 是多少，方向如何？（2） 棒 ab 受到的力 f 多大？（3） 棒 cd 每产生 q=0.1j 的热量，力 f 做的功 w 是多少？【解析】（1）棒 cd 受到的安培力fcd = ilb棒 cd 在共点力作用下平衡，则fcd= mg sin 30由式，代入数据得i=1a根据楞次定律可知，棒 cd 中的电流方

11、向由 d 至 c（2） 棒 ab 与棒 cd 受到的安培力大小相等fab=fcd对棒 ab，由共点力平衡知f = mg sin 30 + ilb代入数据解得f=0.2n（3） 设在时间 t 内棒 cd 产生 q=0.1j 热量，由焦耳定律知q=i2rt设棒 ab 匀速运动的速度大小为 v，其产生的感应电动势e=blve由闭合电路欧姆定律知i =2r由运动学公式知在时间 t 内，棒 ab 沿导轨的位移x=vt力 f 做的功w=fx11综合上述各式，代入数据解得w=0.4j12【答案】（1）1a由 d 至 c （2）0.2n（3）0.4j【例 5】如图，在水平面上有两条平行导电导轨 mn 、 pq

12、 ,导轨间距离为l ，匀强磁场垂直于导轨所在的平面（纸面）向里，磁感应强度的大小为 b ，两根金属杆 1、2 摆在导轨上，与导轨垂直，它们的质量和电阻21v0分别为 m1、m2 和 r1 、 r2 ，两杆与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦mn因数为m，已知：杆 1 被外力拖动，以恒定的速度v0 沿导轨运动；达到稳定状态时，杆2 也以恒定速度沿导轨运动，导轨的电阻可忽略，求此 pq时杆 2 克服摩擦力做功的功率。【解析】解法一：设杆 2 的运动速度为 v，由于两杆运动时，两杆间和导轨构成的回路中的磁通量发生变化，产生感应电动势感应电流e = bl(v0 - v)i =er1 + r2杆 2 作匀速

13、运动，它受到的安培力等于它受到的摩擦力，则bli = mm2 g导体杆 2 克服摩擦力做功的功率p = mm2 gv解得p = mmgv- mm2 g (r+ r )20b 2l 212解法二：以 f 表示拖动杆 1 的外力，以 i 表示由杆 1、杆 2 和导轨构成的回路中的电流，达到稳定时对杆 1 有对杆 2 有外力 f 的功率f - mm1g - bil = 0bil - mm2 g = 0pf = fv01以 p 表示杆 2 克服摩擦力做功的功率，则有p = pf- i 2 (r+ r2) - mm1 gv0由以上各式得p = mm2 gv0 -mmg gmmg g b 2l 2(r1

14、+ r2 )【答案】mm2 gv0 -b 2l 2(r1 + r2 )三、电磁感应中的电量问题根据法拉第电磁感应定律，在电磁感应现象中，只要穿过闭合电路的磁通量发生变化，闭合电路中就会产生感应电流。设在时间dt 内通过导线截面的电量为 q ，则根据电流定义式 i = q / dt 及法拉第电磁感应定律 e = ndf / dt ，得：q = i dt = e dt = ndf dt = ndfrrdtr如果闭合电路是一个单匝线圈（ n = 1 ），则q = df .r上式中n 为线圈的匝数， df 为磁通量的变化量，r 为闭合电路的总电阻。可见，在电磁感应现象中，只要穿过闭合电路的磁通量发生变

15、化，闭合电路中就会产生感应电流，在时间dt 内通过导线截面的电量q 仅由线圈的匝数n 、磁通量的变化量df 和闭合电路的电阻 r 决定，与发生磁通量的变化量的时间无关。因此，要快速求得通过导体横截面积的电量 q ，关键是正确求得磁通量的变化量df 。磁通量的变化量df 是指穿过某一面积末时刻的磁通量f2 与穿过这一面积初时刻的磁通量f1 之差，即df = f2 - f1。在计算df 时，通常只取其绝对值，如果f2 与f1 反向，那么f2 与f1 的符号相反。线圈在匀强磁场中转动，产生交变电流，在一个周期内穿过线圈的磁通量的变化量df =0，故通过线圈的电量 q=0。穿过闭合电路磁通量变化的形式

16、一般有下列几种情况：（1） 闭合电路的面积在垂直于磁场方向上的分量 s 不变，磁感应强度 b 发生变化时， df = db s ；（2） 磁感应强度 b 不变，闭合电路的面积在垂直于磁场方向上的分量 s 发生变化时， df = b ds ；（3） 磁感应强度 b 与闭合电路的面积在垂直于磁场方向的分量 s 均发生变化时， df = f2 - f1 。下面举例说明：【例 6】如图所示，闭合导线框的质量可以忽略不计，将它从如图所示的位置匀速拉出匀强磁场。若第一次用 0.3s 时间拉出，外力所做的功为w1 ，通过导线截面的电量为q ；第二次用0.9s 时间拉出，外力所做的功为w2 ，通过导线截面的电

17、量为 q2 ，则（）a. w1 w2 ，q1 q2b. w1 w2 ，q1 = q2d. w1 w2 ，q1 q2解析：设线框长为 l1，宽为 l2，第一次拉出速度为 v1，第二次拉出速度为 v2，则 v1=3v2。匀速拉出磁场时，外力所做的功恰等于克服安培力所做的功，有w = f l= bi l l= b 2 l 2 l v/ r ，1111 2 121 1同理w= b 2 l 2 l v/ r ，221 2故 w1w2；又由于线框两次拉出过程中，磁通量的变化量相等，即df1 = df2 ，由q = df / r ，得： q1 = q2故正确答案为选项 c。【例 7】如图所示，空间存在垂直于

18、纸面的均匀磁场，在半径为 a 的圆形区域内部及外部，磁场方向相反， 磁感应强度的大小均为 b。一半径为b ，电阻为 r 的圆形导线环放置在纸面内，其圆心与圆形区域的中心重合。当内、外磁场同时由 b 均匀地减小到零的过程中，通过导线截面的电量 q =。解析：由题意知：12f = bp(b2 - 2a2 ) ，f = 0 ， df =f2 - f1= pb b2 - 2a2 ，由q =df ，q =pb b2 - 2a2rr【例 8】如图所示，平行导轨置于磁感应强度为 b 的匀强磁场中（方向向里），间距为 l，左端电阻为 r，其余电阻不计，导轨右端接一电容为 c 的电容器。现有一长 2l 的金属棒

19、 ab 放在导轨上，ab 以 a 为轴以角速度w顺时针转过 90的过程中，通过 r 的电量为多少？【解析】（1）由 ab 棒以 a 为轴旋转到 b 端脱离导轨的过程中，产生的感应电动势一直增大，对 c 不断充电， 同时又与 r 构成闭合回路。ab 产生感应电动势的平均值=dfedt =bdsdtds 表示 ab 扫过的三角形的面积，即ds = 1 l 23l =3 l22e通过 r 的电量q1 = idt = r dt由以上三式解得q1 =3bl22r在这一过程中电容器充电的总电量 q=cumum 为 ab 棒在转动过程中产生的感应电动势的最大值。即u= b 2l ( 1w 2l) = 2bl

20、2wm22联立得： q = 2bl2wc（2）当 ab 棒脱离导轨后（电容器对 r 放电，通过 r 的电量为 q2，所以整个过程中通过 r 的总电量为：3q=q q = bl2 (+ 2wc)122r四、电磁感应中的图象问题1、定性或定量地表示出所研究问题的函数关系2、在图象中 e、i、b 等物理量的方向是通过正负值来反映3、画图象时要注意横、纵坐标的单位长度定义或表达【例 9】匀强磁场磁感应强度 b = 0.2t，磁场宽度 l = 3m，一正方形金属框边长 ab = l = 1m，每边电阻 r = 0.2w ， 金属框以 v = 10m/s 的速度匀速穿过磁场区，其平面始终保持与磁感线方向垂

21、直，如图所示，求：（1） 画出金属线框穿过磁场区的过程中，金属框内感应电流的 i-t 图像。（2） 画出 ab 两端电压的 ut 图像。【解析】（1）线框进入磁场区时， e1= blv = 2v，i1= e14r= 2.5a ，方向为逆时针，如图(a)实线 abcd 所示，感应电流持续时间t = l = 0.1s1 v线框在磁场中运动时， e2= 0，i 2= 0 ，无电流的持续时间t = l - t = 0.2s2 v线框穿出场区时， e3= blv = 2v，i 3= e34r= 2.5a ，此电流为顺时针方向，如图(a)虚线 abcd 所示。若规定电流方向逆时针为正，则 i-t 图线如图

22、(b)所示：23（2）线框进入磁场区 ab 两端的电压 u1 = i1r = 0.5v，线框在磁场中运动时，ab 两端的电压等于感应电动势 u = blv = 2v， 线框出磁场时 ab 两端的电压u = e - i 2r = 1.5v ，由此得 u-i 图线如图(c)所示。【答案】如上图所示。二、变 b 型【例 9】如图甲所示，在水平面上固定有长为 l = 2 m、宽为 d = 1 m 的金属“u”型导轨，在“u”型导轨右侧 l = 0.5 m 范围内存在垂直纸面向里的匀强磁场，且磁感应强度随时间变化规律如图乙所示。在 t = 0 时刻，质量为 m = 0.1 kg 的导体棒以 v0=1m/

23、s 的初速度从导轨的左端开始向右运动，导体棒与导轨之间的动摩擦因数为 m= 0.1 ，导轨与导体棒单位长度的电阻均为 l= 0.1w /m，不计导体棒与导轨之间的接触电阻及地球磁场的影响（取 g = 10 m/s2）。（1） 通过计算分析 4s 内导体棒的运动情况；（2） 计算 4s 内回路中电流的大小，并判断电流方向；（3） 计算 4s 内回路产生的焦耳热。【解析】（1）导体棒先在无磁场区域做匀减速运动，有-mmg = mav = v + atx = v t + 1 at 21002代入数据解得t = 1s, x = 0.5m ，导体棒没有进入磁场区域。导体棒在 1s 末已停止运动，以后一直

24、保持静止，离左端位置仍为 x = 0.5m（2） 前2s 磁通量不变，回路电动势和电流分别为e = 0, i = 0后2s 回路产生的电动势为djdbe = dt = ld dt= 0.1v回路的总长度为 5m，因此回路的总电阻为r = 5l= 0.5we电流为i = 0.2ar根据楞次定律可知在回路中的电流方向是顺时针方向（3） 前 2s 电流为零，后 2s 有恒定电流，焦耳热为q = i 2 rt = 0.04 j【答案】（1）导体棒先在无磁场区域做匀减速运动，在 1s 末已停止运动，以后一直保持静止，离左端位置仍为 0.5m； （2）0.2a 顺时针方向 （3）0.04j【例 9】在竖直

25、向上的匀强磁场中，水平放置一个不变形的单匝金属圆线圈，规定线圈中感应电流的正方向如图 1 所示，当磁场的磁感应强度 b 随时间 t 如图 2 变化时，下图中正确表示线圈中感应电动势 e 变化的是（ ）【答案】a 三、转动型【例 9】如图所示，一导体圆环位于纸面内，o 为圆心。环内两个圆心角为 90的扇形区域内分别有匀强磁场， 两磁场磁感应强度的大小相等，方向相反且均与纸面垂直。导体杆 om 可绕 o 转动，m 端通过滑动触点与圆环良好接触。在圆心和圆环间连有电阻 r。杆 om 以匀角速度w逆时针转动，t=0 时恰好在图示位置。规定从 a 到 b 流经电阻 r 的电流方向为正，圆环和导体杆的电阻忽略不计，则杆从 t=0 开始转动一周的过程中，电流随wt 变化的图象是（）p【解析